集合的表示方法

1、1.1.2 1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法1 1、知識目標：、知識目標：使學(xué)生掌握常用的集合表示方法，能選擇自使學(xué)生掌握常用的集合表示方法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題；同的具體問題；2 2、能力目標：、能力目標：提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言的能力，感受集合語提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言的能力，感受集合語言的意義和作用，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)的角度認識世界；言的意義和作用，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)的角度認識世界；3 3、情感目標：、情感目標：通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神. .學(xué)習(xí)目標前面我們學(xué)過，可

2、以用自然語言前面我們學(xué)過，可以用自然語言描述一個集合，也可以用一個描述一個集合，也可以用一個“ ” ”來表示一個集合，元素來表示一個集合，元素之間用逗號隔開，那表示一個集之間用逗號隔開，那表示一個集合具體有哪些方法呢？這一節(jié)課合具體有哪些方法呢？這一節(jié)課我們就來研究！我們就來研究！引入新課思考思考1 1 怎樣表示怎樣表示“方程方程x x2 2-5x=0 -5x=0 在實數(shù)內(nèi)解的全體在實數(shù)內(nèi)解的全體” ” 組成的集合組成的集合C C？解答：解答：可以這樣表示：可以這樣表示：C=0C=0，5.5.像這樣把集合的元素一一列舉出來，并用花括號像這樣把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ” ”括起來表

3、示集合的方法叫做列舉法括起來表示集合的方法叫做列舉法. .思考思考2 2 怎樣用列舉法來表示怎樣用列舉法來表示“由大于由大于3 3小于小于1010的整數(shù)組成的集合的整數(shù)組成的集合”？解答：解答：44，5 5，6 6，7 7，8 8，9.9.列舉法的優(yōu)點與適應(yīng)范圍：列舉法的優(yōu)點與適應(yīng)范圍：(1)(1)優(yōu)點優(yōu)點: :可以明確集合中具體的元素可以明確集合中具體的元素及元素的個數(shù)及元素的個數(shù). .(2)(2)使用列舉法必須注意使用列舉法必須注意: :元素間用元素間用“，”分隔分隔. .集合中的元素必須滿足三個特性集合中的元素必須滿足三個特性. .元素不能遺漏元素不能遺漏. .適用范圍適用范圍: :.含

4、有有限個元素且個數(shù)較少的集合含有有限個元素且個數(shù)較少的集合. .有些集合的元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)有些集合的元素較多，元素的排列又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不致于發(fā)生誤解的情況下，也可以列出一定的規(guī)律，在不致于發(fā)生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示. .例如例如: :不大于不大于100100的自然數(shù)構(gòu)成的集合可表示為的自然數(shù)構(gòu)成的集合可表示為 0,1,2,3,0,1,2,3,，100100.無限集有時也可用上述的列舉法表示無限集有時也可用上述的列舉法表示. .例如例如: :自然數(shù)集自然數(shù)集N N可表示為可表示為0,1,2,3,0,1,

5、2,3,，n,.n,.思考思考3 3 能不能用列舉法表示能不能用列舉法表示“由大于由大于3 3小于小于1010的實數(shù)組成的實數(shù)組成的集合的集合”? ?解答：解答：我們不能用列舉法來表示大于我們不能用列舉法來表示大于3 3小于小于1010的實數(shù)組成的實數(shù)組成的集合，因為這個集合的元素是列舉不完的，而元素的排的集合，因為這個集合的元素是列舉不完的，而元素的排列又不呈現(xiàn)明顯的規(guī)律列又不呈現(xiàn)明顯的規(guī)律. .對于元素較多的集合或者根本就不能將元素一一列舉的對于元素較多的集合或者根本就不能將元素一一列舉的集合用集合用“描述法描述法”來表示就顯得簡潔明了。來表示就顯得簡潔明了。什么是描述法呢？什么是描述法呢

6、？一般地，如果在集合一般地，如果在集合I I中，屬于集合中，屬于集合A A的任意一個元素的任意一個元素x x都都具有性質(zhì)具有性質(zhì)p(x),p(x),而不屬于集合而不屬于集合A A的元素都不具有性質(zhì)的元素都不具有性質(zhì)p p (x),(x),則性質(zhì)則性質(zhì)p p (x)(x)叫做集合叫做集合A A的的一個特征性質(zhì)一個特征性質(zhì). .于是，集合于是，集合A A可以可以用它的特征性質(zhì)用它的特征性質(zhì)p p (x)(x)描述為描述為 xI|pxI|p (x)(x)它表示集合它表示集合A A是由集合是由集合I I中具有性質(zhì)中具有性質(zhì)p(x)p(x)的所有元素構(gòu)成的的所有元素構(gòu)成的. .這種表示集合的方法，叫做這

7、種表示集合的方法，叫做特征性質(zhì)描述法特征性質(zhì)描述法，簡稱，簡稱描述法描述法. . xR3 x10 注意：注意：在不致發(fā)生誤解時，在不致發(fā)生誤解時，x x的取值集合可以省略不寫的取值集合可以省略不寫. .例如，在實數(shù)集例如，在實數(shù)集R R中取值中取值“R R”常常省略不寫，像上述常常省略不寫，像上述集合也可以寫作集合也可以寫作x|3x|3x x10.10.大于大于3 3小于小于1010的實數(shù)組成的集合可表示為：的實數(shù)組成的集合可表示為：代表元素代表元素所有元素所共有所有元素所共有的的“特征性質(zhì)特征性質(zhì)”描述法的一般形式為：描述法的一般形式為： xI|p(x) xI|p(x)x x為該集合為該集合

8、的代表元素的代表元素p(x)p(x)表示該集表示該集合中的元素合中的元素x x所具有的性質(zhì)所具有的性質(zhì)使用描述法必須注意：使用描述法必須注意：寫清該集合中元素的代表符號；寫清該集合中元素的代表符號；準確說明該集合中元素的特征；準確說明該集合中元素的特征；應(yīng)對代表元素進行說明；應(yīng)對代表元素進行說明；多層描述時多層描述時, ,應(yīng)當準確使用應(yīng)當準確使用“且且”與與“或或”；所有描述的內(nèi)容都要寫在所有描述的內(nèi)容都要寫在“ ”內(nèi)；內(nèi)；集合符號集合符號“ ”已包含已包含“所有所有”的意思的意思, ,因而大括號內(nèi)的文字描述因而大括號內(nèi)的文字描述, ,不應(yīng)該再用不應(yīng)該再用“全體全體”，“全部全部”，“所有所有

9、”或或“集集”等詞語等詞語. .例例1 1 用列舉法表示下列集合：用列舉法表示下列集合：（1 1）A AxNxN0 x5 0 x5 ；（2 2）B Bxx |x|x2 2-5x+6-5x+6 0.0. 分析分析 對于對于(1)(1)集合集合A A中中“xNxN”且且“0 x 503x3，且，且x=2n,nN.x=2n,nN.于是這個集合可以表示為于是這個集合可以表示為 x|x3,x|x3,且且x=2n,nN.x=2n,nN.（3 3）設(shè)點）設(shè)點P P為線段為線段ABAB的垂直平分線上任一的垂直平分線上任一點，點點，點P P和線段和線段ABAB都在平面都在平面 內(nèi)，則這內(nèi)，則這個集合的特征性質(zhì)可

10、以描述為個集合的特征性質(zhì)可以描述為 PAPAPBPB 于是這個集合可以表示為于是這個集合可以表示為 點點PP平面平面 PAPAPB.PB.a aa a在幾何中，在幾何中，通常用大寫通常用大寫字母表示點字母表示點（元素），用（元素），用小寫字母表小寫字母表示點的集合，示點的集合，應(yīng)注意區(qū)別應(yīng)注意區(qū)別. .技巧點撥：技巧點撥：使用描述法時，還應(yīng)注意以下幾點：使用描述法時，還應(yīng)注意以下幾點：寫清集合中代表元素的符號，如實數(shù)或?qū)崝?shù)對或點的坐寫清集合中代表元素的符號，如實數(shù)或?qū)崝?shù)對或點的坐標表示；標表示；說明該集合中元素具有的特征性質(zhì)，如方程、不等式、說明該集合中元素具有的特征性質(zhì)，如方程、不等式、函數(shù)

11、或幾何圖形等；函數(shù)或幾何圖形等；描述法的語言形式主要有兩種：文字語言和符號語言，描述法的語言形式主要有兩種：文字語言和符號語言，如表示直角坐標軸上的點的集合如表示直角坐標軸上的點的集合文字語言：文字語言： 點點P|PP|P是直角坐標軸上的點是直角坐標軸上的點 ；符號語言：符號語言：(x(x，y)|xyy)|xy00練習(xí)練習(xí): :用描述法表示下列給定的集合：用描述法表示下列給定的集合：（1 1）不等式）不等式4x4x5 35 323的解的集合；的解的集合；(4)(4)二次函數(shù)二次函數(shù)y yx x2 21 1圖象上所有點組成的集合圖象上所有點組成的集合分析分析: :由題目可獲取以下主要信息：由題目

12、可獲取以下主要信息：已知已知4 4個集合；個集合；用適當?shù)姆椒ū硎靖鱾€集合對于用適當?shù)姆椒ū硎靖鱾€集合對于(1)(1)，比，比4 4大大2 2的數(shù)就的數(shù)就是是6 6，宜用列舉法；對于，宜用列舉法；對于(2)(2)，方程為二元二次方程，可將，方程為二元二次方程，可將方程左邊因式分解后求解，宜用列舉法；對于方程左邊因式分解后求解，宜用列舉法；對于(3)(3)，不等，不等式的解有無數(shù)個，宜采用描述法；對于式的解有無數(shù)個，宜采用描述法；對于(4)(4)，所給二次函，所給二次函數(shù)圖象上的點有無數(shù)個，宜采用描述法數(shù)圖象上的點有無數(shù)個，宜采用描述法解：解：(1)(1)比比4 4大大2 2的數(shù)顯然是的數(shù)顯然是

13、6 6，故可表示為，故可表示為66(2)(2)方程方程x x2 2y y2 24x4x6y6y13130 0可化為可化為(x(x2)2)2 2(y(y3)3)2 20 0， 方程的解集為方程的解集為 或或(2(2，3)3)(3)(3)由由x x2323，得，得x5.x5.故不等式的解集為故不等式的解集為x|x5x|x5(4)(4)“二次函數(shù)二次函數(shù)y yx x2 21 1的圖象上的點的圖象上的點”用描述法用描述法表示為表示為(x(x，y)|yy)|yx x2 211x =2x =2，y =-3y =-3x =2x =2y =-3y =-3規(guī)律總結(jié)：規(guī)律總結(jié)：用什么方法表示集合，要具體問題具體分

14、析：用什么方法表示集合，要具體問題具體分析：（1 1）列舉法對于元素較少的集合可以一目了然，方便快）列舉法對于元素較少的集合可以一目了然，方便快捷，但元素較多時就不太方便了捷，但元素較多時就不太方便了. .（2 2）用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的類型，是）用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他的類型描述法多用于元素個數(shù)無數(shù)集、點集還是其他的類型描述法多用于元素個數(shù)無限的集合限的集合練習(xí)練習(xí)【分析分析】對于用描述法表示集合，一清楚符號對于用描述法表示集合，一清楚符號“x|xx|x的屬的屬性性 ”表示的是所有具有某種屬性的表示的是所有具有某種屬性的x x的全體，而不是

15、部分；的全體，而不是部分；二從代表元素入手，弄清楚代表元素是什么二從代表元素入手，弄清楚代表元素是什么解：解：(1)(1)由由x x3 3=x=x，即，即x(xx(x2 2-1)-1)0 0，得，得x x0 0或或x x1 1或或x x1 1，因為因為1 1 N N，故集合，故集合xN|xxN|x3 3xx用列舉法表示為用列舉法表示為0,10,1(2)(2)集合表示中的符號集合表示中的符號“ ”已包含已包含“所有所有”、“全體全體”等含義，而符號等含義，而符號“R R” 表示所有的實數(shù)構(gòu)成的集合，實數(shù)集表示所有的實數(shù)構(gòu)成的集合，實數(shù)集正確的表示應(yīng)為正確的表示應(yīng)為x|xx|x為實數(shù)為實數(shù) 或或R

16、.R.2222集集合合(x,y)|y=x+1(x,y)|y=x+1與與集集合合y|y=x+1y|y=x+1以以及及2 2x|y=x+1x|y=x+1是是同同一一集集合合嗎嗎？拓展探究.2 2222222222 22 2他他們們是是不不同同的的集集合合集集合合(x,y)|y=x +1(x,y)|y=x +1是是點點集集，集集合合y|y=x +1y|y=x +1與與x|y=x +1x|y=x +1是是數(shù)數(shù)集集，而而集集合合y|y=x +1y|y=x +1與與x|y=x +1x|y=x +1的的代代表表元元素素又又是是不不一一樣樣的的，實實際際上上前前者者可可看看成成拋拋物物線線y=x +1y=x +1所所有有點點的的橫橫坐坐標標構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合，后后者者是是拋拋物物線線y=x +1y=x +1所所有有點點