2.1從阿基里斯追趕烏龜談起--數(shù)列極限

1、第二章 微積分直接基礎(chǔ)-極限 數(shù)列極限數(shù)列極限 函數(shù)極限函數(shù)極限 第一個(gè)應(yīng)用第一個(gè)應(yīng)用-連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 第二章 2.12.1數(shù)列的極限數(shù)列的極限阿基里斯追烏龜阿基里斯追烏龜10, 1，0.1，0.01， ，102-n ，10米米1米米0.1米米得到了一系列的數(shù)得到了一系列的數(shù)這是兔子與烏龜?shù)木嚯x這是兔子與烏龜?shù)木嚯x1.數(shù)列的概念數(shù)列的概念例如例如, 2, 4, 8, . , 2n, .2n,21,81,41,21nn12以正整數(shù)為自變量以正整數(shù)為自變量的函數(shù)的函數(shù) y=f (n), an 稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)), 該數(shù)列記為該數(shù)列記為 an當(dāng)當(dāng)自變量自變量 n 依次取依次取 1，2

2、，3， 時(shí)時(shí)， 所得到的一列函數(shù)值所得到的一列函數(shù)值a = f(1),a= f(2),a= f(3),.,a= f(n)123n,.稱為稱為無窮無窮數(shù)列數(shù)列，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.注意：注意：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列. .可可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取12na ,a ,.,a ,.;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 1a2a3a4ana“割之彌細(xì)，所失割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，彌少，割之又割，以至于不可割，則以至于不可割，則與圓周合體而無所與圓周合體而無所失

3、矣失矣”(1)(1)、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽極限概念的引入極限概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS(2)(2)、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnXn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnX211 1就像阿基里斯追烏龜似得就像阿基里斯追烏龜似得.定義定義1記作記作aann lim或或 ana (n)如果如果n

4、時(shí)時(shí), an不以任何常數(shù)為極限不以任何常數(shù)為極限, 數(shù)列的收斂或發(fā)散的性質(zhì)稱為數(shù)列的數(shù)列的收斂或發(fā)散的性質(zhì)稱為數(shù)列的.數(shù)列數(shù)列an的的通項(xiàng)通項(xiàng) an無限趨近于常數(shù)無限趨近于常數(shù) a, 則稱該數(shù)列以則稱該數(shù)列以a為為極限極限,如果如果n無限增大時(shí)無限增大時(shí),也稱該數(shù)列也稱該數(shù)列收斂收斂.2. 數(shù)列極限的定性描述數(shù)列極限的定性描述則稱數(shù)列則稱數(shù)列 an 發(fā)散發(fā)散.例：例： 2, 4, 8, . , 2n, .1 1 11,2 4 82n例例：limnn12lim 2nn . 0. 11, 1,1,( 1),;n 例例：11 4( 1)2,;2 3nnn 例例：1( 1)limnnnn 1和和-1交

5、錯(cuò)出現(xiàn)交錯(cuò)出現(xiàn), 沒有極限沒有極限. 數(shù)列發(fā)散數(shù)列發(fā)散.1( 1)lim1nnn 1.發(fā)散發(fā)散.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn3. 3. 數(shù)列的極限的定量描述數(shù)列的極限的定量描述1( 1),11.nnann 當(dāng)當(dāng)無無限限增增大大時(shí)時(shí)無無限限接接近近于于問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它.1na nnn11)1(1 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:距離刻畫距離刻畫接近程度接近程度？如何用數(shù)學(xué)語言刻畫？如何用數(shù)學(xué)語言刻畫？,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n11,10

6、0na 有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n11,10000na 有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n11,1000na 有有0, ,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn1.na 有有成成立立1na nnn11)1(1 無限接近無限接近-距離越來越小距離越來越小定義定義2 2aann lim或或 ana (n)注意注意:(1) 不等式不等式 |an a| 刻劃了刻劃了an與與a的無限接近的無限接近;(2) N與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) 有關(guān)有關(guān),但是不唯一但是不唯一.如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論不論它多么小它多么小),不等式不等式 |an a|

7、N的一切的一切 n, a1a2a2 Na1 Na3a 2 a aaaann lim 0, 幾何解釋幾何解釋:當(dāng)當(dāng) nN 時(shí)時(shí), 所有的點(diǎn)所有的點(diǎn) an 都落在都落在 (a , a+ ) 內(nèi)內(nèi),只有有限個(gè)只有有限個(gè)(至多只有至多只有N個(gè)個(gè))落在其外落在其外.定義定義2- N定義定義, :存在存在其中其中 :任取任取 N0, 當(dāng)當(dāng) nN 時(shí)時(shí),恒有恒有|an a| .注注: 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法例例1 證明證明1)1(lim1 nnnn證證|an 1|1)1(1 nnnn1 要要|an 1|N時(shí)時(shí),就有就有 1)1(1nnn即即1)1(lim1 nnnn

8、0, 例例2 設(shè)設(shè)an C (C為常數(shù)為常數(shù)),證明證明Cann lim證證任給任給 0,|an C|對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù)n,=|C C|=00,尋找尋找N, 但不必要求最小的但不必要求最小的N?| (naaf(n) 或或)1( )nf 1N( )f 取取例例3 證明證明 ,其中其中|q|0若若q=0,則則00limlim nnnq若若 0|q|1, |an 0|nq nln|q|N時(shí)時(shí),就有就有 |0|nq0lim nnq即即例 證明：. 021limnn證明：設(shè)為任意小的正數(shù) ，由 （不妨設(shè) ）求N：nn210211.2lglg,12nn即取 由前面的推導(dǎo)過程可知，則當(dāng)nN時(shí)，就有

9、 ,2lglgN得證。恒成立,021n數(shù)列數(shù)列數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想, ,精確定義精確定義, ,幾何意義幾何意義用用 -N定義證明定義證明axnn lim的步驟的步驟:1. 給定任意正數(shù)給定任意正數(shù) 2. 由由|an a| 尋找正整數(shù)尋找正整數(shù)N3. 按照定義的模式寫出結(jié)論按照定義的模式寫出結(jié)論內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)我國古代偉大數(shù)學(xué)家我國古代偉大數(shù)學(xué)家祖沖之祖沖之祖沖之（祖沖之（429500），我國南北朝時(shí)期的偉大），我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家、數(shù)學(xué)家，生于劉宋文帝元嘉六年，卒于科學(xué)家、數(shù)學(xué)家，生于劉宋文帝元嘉六年，卒于南齊東昏侯永元二年，他天資聰明，勤奮好學(xué)。南齊東昏侯永元二年，他天資聰明，勤奮好學(xué)。(1) 在天文、歷法方面，祖沖之制定了在天文、歷法方面，祖沖之制定了“大明歷大明歷”；(2) 在數(shù)學(xué)方面，祖沖之求出圓周率在數(shù)學(xué)方面，祖