不定積分2014.3.6

1、1不定積分的概念與基本積分公式2 換元積分法與分部積分法3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第八章 不定積分. 基本積分表 換元積分法 分部積分法 有理函數(shù)積分本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容：1不定積分的概念與基本積分公式不定積分的概念與基本積分公式第八章 不定積分引例：已知曲線 上任一點(diǎn) 處切線的斜率是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍。求該曲線的方程。 )(xfy ),(yx 例如，在區(qū)間 (-, +)內(nèi)，因?yàn)?(sin x)cos x，所以 sin x是 cos x的一個(gè)原函數(shù)。 提問：提問： cos x還有其它的原函數(shù)嗎？提示：提示： cos x的原函數(shù)還有sin x+C。 定義1 如果在區(qū)間 I 上，可導(dǎo)函

2、數(shù) F(x) 的導(dǎo)數(shù)為 f(x)，即對任一 xI ，都有F (x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx，則稱函數(shù) F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)。 原函數(shù)概念。 原函數(shù)概念問題1：是否任意的函數(shù)都存在原函數(shù)？問題2：滿足何種條件的函數(shù)一定存在原函數(shù)？ 問題3：如果函數(shù)存在原函數(shù)是否唯一？問題4：如果函數(shù)存在原函數(shù)如何把它求出來？若函數(shù)在區(qū)間I上含有第一類間斷點(diǎn)，則函數(shù)一定在I上沒有原函數(shù)定理8.1 若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則必有原函數(shù)定理8.2 1、如果F(x)是 f(x)的原函數(shù) ，那么F(x)+C 都是 f(x) 的原函數(shù)，其中 C 是任意常數(shù) 2、f(x) 的任意兩個(gè)原

3、函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)，即如果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函數(shù)，則(x)-F(x)C (C為某個(gè)常數(shù))。注注2. 原函數(shù)差別：與xxfd)(1. 定義：定義：設(shè)I為某區(qū)間，稱f (x)在I上的原函數(shù)的全體為f (x)在I上的不定積分，記作xxfd)(積分號(hào)被積函數(shù)積分變量注注1. (3)式中積分號(hào)下的f (x)dx, 可看作是原函數(shù)的微分。一族函數(shù)(3)由定理由定理8.2可得：可得： 設(shè)F(x)是f (x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則CxFxxf+)(d)(4)其中C為任意常數(shù)，并稱其為積分常數(shù))(d)(dd) 1 (xfxxfx+Cxfxx f)(d)()2(利用不定積分的定義，

4、我們有 如果 F(x)是 f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則dxxf)(F(x)+C。 當(dāng) x0 時(shí)，(ln x)x1，x1，Cxdxx+ln 1(x0)； x0 時(shí)，ln(-x)x0 時(shí)，ln(-x)xx1) 1(1-xx1) 1(1-，xx1) 1(1-，Cxdxx+-)ln( 1(x0 時(shí)，(ln x) 解：解： 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。 函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。0 x0yxy = F(x)+C1y = F(x)+C2y = F(x)+C3y = F(x)+C4 例例4求過點(diǎn)(1, 3)，且其切線斜率為2x的曲線方程

5、。 解：解：設(shè)所求的曲線方程為 yf(x)，則 y f (x) 2x，即f(x)是2x 的一個(gè)原函數(shù)。 因?yàn)樗笄€通過點(diǎn)(1, 3)，故 31+C，C2。于是所求曲線方程為yx2+2。-2 -1O 12x-2-112 yyx2+2yx2(1, 3) 因?yàn)镃xxdx+22， 所以y=f(x)x2+C。二二. 基本積分公式基本積分公式積分公式積分公式導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式123kckx+ )(xx) 1()(1+0 1)(lnxxx0 1)(ln(-xxx)( d為常數(shù)kCkxxk+) 1( 11d1-+CxxxCxxx+|lnd11)2)3)5)6)7)5671, 0ln1d+aaCaaxaxxCx

6、xx+sindcosCxxx+-cosdsin1, 0 ln)(aaaaaxxxxcos)(sinxxsin)(cos-4xxee)(Cexexx+d4)10)11)10119)9Cxxx+-ctgdcsc2xx2csc)(ctg-CxCxxx+-+-arccos arcsin1d2CxarcCxxx+-+cot arctg1d2211)(arcsinxx-211)arctg(xx+8)8Cxxx+tgdsec2xx2sec)tg(2. 不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)：不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)：1) 2) +xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(為常數(shù),d)(d)(xxfxxf4. 積分公式的簡單

7、應(yīng)用積分公式的簡單應(yīng)用例例1.求-+xxxxxd)2(322解解:-+xxxxxd)2(322-+xxxxxxd2dd3252Cxxx+227317231例例2.求+xxxxxd)1 (122解解:+xxxxd1d2Cxx+|lnarctan+xxxxxd)1 (122例例3.求解解:xxdtan2xxd ) 1(sec2-Cxx+- tanxxdtan2-xxxddsec2例例4.求其中,d)(xxff (x)=x2+1, x0.1 ,1xx10 , 1 x解解:作函數(shù)，待定和原函數(shù)內(nèi)分別有和在),(ln,3, 1 1 , 0),0 ,()(21213CCCxCxxxxf+-F(x)=0 ,

8、33+xxx1 ln2+xCx10 1+xCx而要使F(x)成為f (x)在R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而C10，C21，因此滿足條件的函數(shù)為F(x)=0 ,33+xxx. 1 1ln+xx10 , xx故CxFxxf+)(d)( 2772x+C72x3x+C。 (2) xdx 11+x+1+C， dx x -3dx131+-x -3+1+C x -3+1+C 221x-+C。 dx 25xdxdx1251251+x+C 34 -xdx134134+-+-x+C134134+-+-x+C33x-+ C。 例 1 31xdx 例例5例 2 x2xdx 例例6例 3 3xxdx例例7dxxg

9、xf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxdxx-21255dxxdxx-21255 Cxx+-232732572Cxxxx+-310723dxxx)5(2-dxxx)5(2125- dxxdxx-21255dxxdxx-21255 Cxx+-232732572Cxxxx+-310723。 例 4 dxxx)5(2-dxxx)5(2125-例例8dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。 dxxxx)133(2-+- dxxdxxdxxdx-+-21133 221x-3x+3ln|x|x1+C。 dxxx-23) 1(-+-d

10、xxxxx223133 5 dxxx-23) 1(-+-dxxxxx223133例例9 (4) axdx aaxln+C， (6) cosxdx sinx+C， dx2sectgx+C， (ex-3cosx)dx ex-3sinx+C。 2x exdx (2e)x dx(2e)x dx)2ln()2(eex+C)2ln()2(eex+C2ln12+xxe+C。 tg2xdx (sec2x-1)dx tgx-x+C。 (sec2x-1)dx tgx-x+C。 2xdxx)cos1 (21-Cxx+-)sin(21dxx)cos1 (21-Cxx+-)sin(21。 dxxx2cos2sin122

11、dxx2sin14 -4ctg x+C。 6 (ex-3cosx)dx ex-3sinx+C。 例例107 2x exdx 例例118 tg2xdx 例例129 sin 22xdx例例1310 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例14 (3) x1dx ln|x|+C， (11) 211x+dx arctgx+C。 +-dxxx)111(2231+dxxx241+-dxxx24111+-+dxxxx22211) 1)(1(+dxxx241+-dxxx24111+-+dxxxx22211) 1)(1( +-dxxx)111(2231x3-x+arctgx+C。 12 +dxxx2

12、41+-dxxx24111+-+dxxxx22211) 1)(1(例例15 y)257(x+dxxx507 +C 。 解：解：因?yàn)榭偝杀臼强偝杀咀兓蕐的原函數(shù)，所以 已知當(dāng) x0 時(shí)，y1000， 例例17某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成本 y 的變化率是日產(chǎn)量 x 的函數(shù) yx257 +，已知固定成本為1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。因此有 C =1000，作業(yè)：作業(yè)： P181：1,2,3,4,5(1) (16).于是總成本 y 與日產(chǎn)量 x 的函數(shù)為 yxx507 +1000。 上頁下頁結(jié)束返回首頁鈴2 換元積分法與分部積分法第八章 不定積分2 換元積分法與分部積分法換元

13、積分法與分部積分法但是但是 xdx2cos,sinCx + + 2解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct + + sin21.2sin21Cx + + 一一 問題的提出問題的提出 + + Cxxdxsincos我們知道我們知道xCx22cos)(sin + +?122 - - dxxx令令txsin - - dxxx221tdtttcossin1)(sin22 - -tdtt22cossin 利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的；我們可以

14、把復(fù)合函數(shù)的微分定積分是非常有限的；我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法。 目的是去掉根式。目的是去掉根式。若若),()(ufuF 則則.)()( + + CuFduuf設(shè)設(shè))(xu （且可微，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，）（且可微，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，）dxxxfxdF)()()( + + CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 于是可得下述定理于是可得下述定理二二 第一類換元法第一類換元法uxdxxxf)( )()()(duuf第一類換元公

15、式（第一類換元公式（湊微分法湊微分法）)(xu 可可導(dǎo)導(dǎo)，定理定理1 1CxFxuCuF+)( )( )(設(shè)函數(shù) 具有原函數(shù) )(uf),(uF使用這種方法的基本想法 從被積函數(shù)中找到一個(gè)作中間變量的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是作為一個(gè)因子出現(xiàn)的。這個(gè)想法在相差一個(gè)常數(shù)因子時(shí)也可以用。使用這種方法要求想象出復(fù)合函數(shù)的形式。例例1. 求xxxdcos332解：解：函數(shù)3x2cosx3看上去象某復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)而得：cosx3 3x2sinu的導(dǎo)數(shù) 中間變量u 中間變量u的導(dǎo)數(shù)因此猜測sinx3是一個(gè)原函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證2333cos)(sinxxx所以Cxxxx+332sindcos3例例2.+xxexd12求解：

16、解：觀察12+xxe中間變量u=x2+1但 u=x2+1的導(dǎo)數(shù)為u = 2x在被積函數(shù)中添加2個(gè)因子12 221+xex uu因此Cexxexx+112221d例例3.+xxxd543求解解:+xxxd 534Cu+1211211415 4+ xuudu 41 21Cx+234)5(61uudu+xxxd4 54134重算一遍+)5(d415d54443xxxxxCx+1214)5(121141Cx+234)5(61例例4.)0(d22-axax求解：解：能想出原函數(shù)的形式嗎？Cxxx+-arcsin1d2記得這個(gè)公式嗎？如何用這個(gè)公式？-22)(1d)(1daxaxaxaxCax+ arcs

17、in例例5.求sin2xdx解：解：-xxxxd22cos1dsin2-xxxd2cos21d21-)2(d2cos4121xxxCxx+-2sin4121例例8.解：解：-22dxax求-+xxaxaad)11(21-22dxax-+xaxaxaxaa)(d)(d21Cxaxaa+-+|ln|ln21Cxaxaa+-+ln21例例9.解：解：xxdsec求xxxxcosddsecxxxdcoscos2)8(|sin1sin1|ln21由例Cxx+-+-xx2sin1)(sindCxx+2cossin1ln21Cxx+|tansec|ln例例3 3 求求.dxx + + 231解解,)(+xx

18、x2323121231dxx+ 231dxxx)(+2323121duu 121Cu+ + ln21.)ln(Cx +2321xu23+例例4 4 求求.)ln51(1dxxx + +解解dxxx + +)ln51(1)(lnln511xdx + + )ln51(ln51151xdx+ + + xuln21+ + duu151Cu+ + ln51熟練以后就不需要進(jìn)行熟練以后就不需要進(jìn)行)(xu 轉(zhuǎn)化了轉(zhuǎn)化了Cx + + + )ln51ln(51例例4 4 求求.)(dxxx + +21解解dxxx + +21)()()()(xdxx+ + +- -+ + 11111221111CxCx+ +

19、+ + + + )()ln(dxxx + +- -+ + 2111)(Cxx+ + + + + )()ln(111例例5 5 求求.122dxxa + +解解dxxa + +221dxaxa + + 222111 + + axdaxa2111.arctan1Caxa+ + 例例6 6 求求dxx 2cos + + dxx22cos1Cxx+ + + 42sin2dxx 2cos解解 + + ) )2(221(21xxdcoxdx例例7 7解解dxx 3sinCxxxdxxdxxdxx+ +- - - - - - )cos(coscos)cos(sinsinsin3223311正弦余弦三角函數(shù)積

20、分偶次冪降冪齊次冪拆開正弦余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪齊次冪拆開放在微分號(hào)放在微分號(hào)d后面。 + + dxex11dxeedxeexxxx - - - -+ + + +1)1(1xxxxdeexdee- - - - - + +- - - -+ +- - 11)(1)1(11xxede- - -+ + +- - .)1ln(Cex+ + +- - - - 解解例例8 8 求求.11dxex + +例例9 9 求求xdxx 35sectanxdxx 35sectan 解解xdxxxxtansecsectan 24xxdxsecsec)(sec2221- - xdxxxsec)secsec(sec24

21、62+ +- - Cxxx+ + +- - 357315271secsecsec例例1010 求求解解.cos11 + +dxx + +dxxcos11 - - - dxxx2cos1cos1 - - dxxx2sincos1 - - )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx+ + +- - 例例1 11 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin - - )(sin)sin1(sin222xdxx + +- - )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx+ + +- - 說明說明 當(dāng)被積函數(shù)是三

22、角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分. )(sincossinxxdx42例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx+ + + + dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx+ + + 利用三角學(xué)中的積化和差公式，得利用三角學(xué)中的積化和差公式，得解解 dxxsin1 xdxcsc - - - )(coscos112xdx - - - duu211 + + +- - - duuu111121Cuu+ + +- - 11ln21.cos1cos1ln21Cx

23、x+ + +- - 類似地可推出類似地可推出例例1313 求求.csc xdx dxxx2sinsin.)tanln(secsecCxxxdx+ + + .)cotln(cscCxx+ +- - -xdxcoscos112Cxx+-+-|cos1cos1|ln21 Cxx+-|sincos1|lnxdxsec+)2()2csc(xdx Cxx+-+| )2(ctg)2csc(|ln-xdxcoscos112Cxx+-+-|cos1cos1|ln21 Cxx+-|sincos1|lnln|cscx-ctgx|+C。 xdxsec+)2()2csc(xdx Cxx+-+| )2(ctg)2csc(

24、|lnln|secx+tgx|+C。 xdxcscdxxsin1dxxx2sinsinxdxcscdxxsin1dxxx2sinsin 9 xdxcscdxxsin1dxxx2sinsin例例15三三 第二類換元法第二類換元法 duufdxxxf)()()(化為積分化為積分第一類換元法是通過變量替換第一類換元法是通過變量替換 將積分將積分)(xu 下面介紹的第二類換元法是通過變量替下面介紹的第二類換元法是通過變量替換換 將積分將積分)(tx dtttfdxxf)()()(化為積分化為積分其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf

25、 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又設(shè)又設(shè))()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，定理定理2 2第二類積分換元法第二類積分換元法 + + CxFdxxf)()(,)(Cx+ + )(tf ).(xf 說明說明)(xF為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù), 根式代換根式代換三角代換三角代換分為兩種基本類型分為兩種基本類型)()()()(xtdtttfdxxf 例例1313 求求解解).0(22 - - adxxatd

26、tadxcos - -tdtatadxxacoscos2222,sin - - ttaxtataaxacossin22222 - - - - + + dttatdta22cos1cos222Cttata+ + + cossin2222Cxaxaxaaxt+ +- -+ + 222212arcsinarcsint22xa - -xa1 1 三角代換三角代換例例1414 求求解解).0(122 - - adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec - - dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt+ + + )tanln(sectax22ax - -.

27、ln22Caaxax+ + - -+ + 例例1515 求求解解).0(122 + + adxax令令taxtan tdtadx2sec + + dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt+ + + )tanln(sectax22ax + +.ln22Caaxax+ + + + + - - 2,2t注注三角代換的目的是化掉根式三角代換的目的是化掉根式.例例1616 求求解解.dxex + +11xet 令令,dttdx1 dttt - - )(122dttt + +- - 1112Ctt+ + +- - )ln(ln12,lntx2 2 2 根式代換根式代換考慮到被積函數(shù)中

28、的根號(hào)是困難所在，故考慮到被積函數(shù)中的根號(hào)是困難所在，故dxex + +11回代回代將將xet .lnCeexx+ + + + 12原式原式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例1717 求求.)1(13dxxx + +解解令令6tx ,65dttdx dxxx + +)1(13 + + dtttt)1(6235 + + dttt22163 3 其他形式代換其他形式代換注注1 積分中為了化掉根式除采用上述代換外還積分中為了化掉根式除采用上述代換外還可

29、用雙曲代換可用雙曲代換.122 - -tshtchachtxashtx ,也可以化掉根式也可以化掉根式 中中, 令令dxax + +221ashtx dxax + +221 dtachtacht + + CtdtCaxarsh+ + .ln22Caaxax+ + + + + achtdtdx 注注2 2 倒數(shù)代換倒數(shù)代換 也是常用的代換之一也是常用的代換之一 .1tx 例例1818 求求dxxxn + + )(11令令tx1 ,12dttdx- - dxxxn + + )(11dttttn - - + + 2111 + +- - - -dtttnn11Ctnn+ + +- - |ln 11.|

30、lnCxnn+ + +- - 111解解例例1919 求求解解.dxxxa - -422令令tx1 ,12dttdx- - dtttta - - - - 2422111dttta - - - 122dxxxa - -422分母的次冪太高分母的次冪太高dxxxax - - 4220,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))(112122222- - - - tadtaaCata+ +- - - 2232231)(.)(Cxaxa+ +- - - 3223223dxxxax - - 4220,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).)(Cxaxa+ +- - - 3223223基基本本積積分分表表續(xù)續(xù);coslntan)16( + +- - Cxxdx;s

31、inlncot)17( + + Cxxdx;)tanln(secsec)18( + + + Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( + +- - Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa+ + + + ;ln211)22(22Cxaxaadxxa+ +- -+ + - - ;arcsin1)23(22Caxdxxa+ + - - .)ln(1)24(2222Caxxdxax+ + + + ;ln211)21(22Caxaxadxax+ + +- - - - 考慮積分考慮積分?cosxdxx解決思路解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分

32、公式分部積分公式四四 分部積分法分部積分法-xdxxxxxdsinsinsinxdxxcos?設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv + + , vuuvvu - - 移項(xiàng)移項(xiàng),dxvuuvdxvu - - .duvuvudv - - 分部積分公式分部積分公式 下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，得下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，得出求積分的基本方法出求積分的基本方法分部積分法分部積分法.對此不等式兩邊求不定積分對此不等式兩邊求不定積分即即分部積分公式：-vduuvudvdx)x(g)x(f 關(guān)鍵：恰當(dāng)選取u和確定v.如何選取u:(LIATE法)L-對數(shù)

33、函數(shù)I-反三角函數(shù)A-代數(shù)函數(shù)T-三角函數(shù)E-指數(shù)函數(shù)根據(jù)LIATE法，f(x)與g(x)誰排在LIATE這一字母表前面就選誰為u.即若選f(x)為u,則g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).dx)x(g)x(f使用分部積分公式，若選f(x)=u,則vg(x)注：而v=g(x).例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解解令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin - - xdxxxsinsin.cossinCxxx+ + + xvsin如果令如果令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos + + xdxxxxsin2cos222顯然

34、，顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.vu , 一般地，若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)的乘積的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定假定冪指數(shù)是正整數(shù)冪指數(shù)是正整數(shù))u一一般般要要考考慮慮下下面面兩兩點(diǎn)點(diǎn)：和和選選取取是是一一個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)鍵鍵。和和，恰恰當(dāng)當(dāng)選選取取所所以以應(yīng)應(yīng)用用分分部部積積分分法法時(shí)時(shí)果果，選選取取不不當(dāng)當(dāng)，就就求求不不出出結(jié)結(jié)和和由由此此可可見見，如如果果dvudvudvu 容易積出。容易積出。要比要比）（要容易求得；要容易求得；）（udvvduv21例例2 2 求積分求積分. dxxe

35、x解解, xu 設(shè)設(shè),dvdedxexx dxxexCexedxexexxxx+ +- - - - 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為就考慮設(shè)冪函數(shù)為 v , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪假定冪指數(shù)是正整數(shù)指數(shù)是正整數(shù)),xev 解解過過程程表表述述為為熟熟練練以以后后，可可將將以以上上求求 dxxex xxdeCexedxexexxxx+ +- - - - 例例3 3 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 - - 22dxeexxx.)(22Cexeexxxx+ +- - - xev )(dxe

36、xeexxxx - - - 22dxxeexxx - - 22xxdexex - - 22例例4 4 求積分求積分.lnxdxx解解,ln xu ,22dvxdxdx xdxxln - - xdxxx21212ln 221xdxlnCxxx+ +- - 224121ln 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)為積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)為 .u例例5 5 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx - - dxxxxx222112arctan2

37、+ + - - xxarctan22 .)arctan(21arctan22Cxxxx+ +- - - dxx)111(212+ +- - - - 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為u.例例6 6 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin - - )(sinsinxdexexx - - xdxexexxcossin - - xxxdexecossin - - - )coscos(sinxdexexexxx - - - xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)co

38、s(sin2Cxxex+ +- - 復(fù)原法在求不定積分時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。復(fù)原法在求不定積分時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。例例7 7 求積分求積分.sec xdx3解解 xdx3sec xxd tansecdxxxxx - - 2tansectansecdxxxxx)(secsectansec12- - - dxxdxxxx + +- - secsectansec3xxdxxxxtanseclnsectansec- -+ +- - 3 xdx3secCxxxx+ +- -+ + )tanseclntan(sec21.,arctannICaxaI即即得得以以此此作作遞遞推推公公式式，并并由由+ + 11在在

39、積分的過程中往往要兼用換元法與分部積分法。積分的過程中往往要兼用換元法與分部積分法。例例9 9 求積分求積分. dxex解解tdtdxtxxt22 ,則則令令.)()(CxeCtedetdttedxextttx+ +- - + +- - 121222例例 1 10 0 已已知知)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是2xe- -, 求求 dxxf x)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( - - dxxfxxf,)(2 + + - -Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時(shí)對兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf- - - dxxfx)( - -dxxfxxf)(

40、)(222xex- - - .2Cex+ +- - -例題與練習(xí)xdxxarctan5）（xdxxxarctan21arctan2122-dxxxxx+-222121arctan21dxxxxx+-+-22211121arctan21Cxxxx+-arctan2121arctan212 練習(xí)1.求下列不定積分-xdxxdxxexln)2() 1 (2)21(arctan2xxd解：xdxxarctan常用解題技巧()多次使用分部積分法則xdxsinx2求解：xdxx sin2+-22coscosxdxxx+-xdxxxxcos2cos2+-xxdxxsin2cos2-+-xdxxxxxsin2

41、sin2cos2Cxxxxx+-cos2sin2cos2練習(xí)2.求不定積分xdxcosx2例2.)(cos2xdx常用解題技巧()還原法例3.xdxsine.x求解：xxdesin原式xdxexexx-cossinxxxdexe-cossinxdexexexxxcoscossin+-xdxexexexxxsincossin-xdxexsin2xdxexsin即練習(xí)3：xdxcosex求不定積分xdexexxsinsin-1cossinCxexexx+-)2cossin211CCCxxex+-（）（ 與換元法相結(jié)合C) 1x(e2x+-dxe. 4x例tdt2dx,tx, tx2令dttet2原

42、式-dte2te2ttCe2te2tt+-C) 1t (e2t+-回代練習(xí)4.求不定積分dxxsin解：常用解題技巧ttde2lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 arccosxdx xarccosx -xdarccosx -+dxxxxx211arccos -)1 ()1 (21arccos2212xdxxxxarccos x21x-+C。 xarctgxdx21arctgxdx2 +-dxxxxx222112

43、1arctg21 +-dxxxx)111 (21arctg2122Cxxxx+-)arctg(21arctg212+-dxxxx)111 (21arctg2122Cxxxx+-)arctg(21arctg212。 練習(xí)：5(2, 4, 6) 5 lnxdx xlnx-xdlnx xlnx-dx xlnx -x +C。 例例9 9例 6 arccosarccosxdxxdx x xarccosarccosx x - -xdxdarccosarccosx x 例例10107 7 x xarctgarctgxdxxdxarctgarctgxdxxdx2 2 例例11 11 解：解：因?yàn)樗?exsi

44、nxdxex(sin x-cosx)+C。 exsinxdx sinxdex exsinx-exdsinx exsinxdx sinxdex exsinx-exdsinx exsinxdx sinxdex exsinx-exdsinx exsin x-excosxdx exsinx-cosxdex exsinx-excosx+exdcosx exsinx-excosx-exsinxdx， excosxdx exsinx-cosxdex exdcosx exsinx-excosx-exsinxdx， 練習(xí)：練習(xí)：.cosxdxex求例例 8 8 求求 e ex xsinsinxdxxdx。 例例

45、1212 解：解：因?yàn)樗?sec3xdx(secxtgx+ln|secx+tgx|)+C。 sec3xdx secxsec2xdx secxdtgx secxtgx-secxtg2xdx secxtgx-secx(sec2x-1)dx secxtgx-sec3xdx+secxdx secxtgx+ln|secx+tgx|-sec3xdx， sec3xdx secxsec2xdx secxdtgx secxtg2xdx secxtgx-secx(sec2x-1)dx 例 9 求sec3xdx。 例例131312 +xdx xdxcsc dxxex2 xdxtg 22xadx- dxxx32-

46、+22axdx dxxa-22 -22axdx -dxxx1 xcosxdx xexdx x2ex dx xlnxdx lnxdx arccosxdx xarctgxdx exsinxdx 練習(xí)練習(xí):用什么積分法求下列積分？用什么積分法求下列積分？五五 小結(jié)小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換常有下列規(guī)律三角代換常有下列規(guī)律22)1(xa - -可令可令;sintax 22)2(xa + +可令可令;tantax 22)3(ax - -可令可令.sectax 合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積

47、分式，正確使用分部積分式vu ,dxvuuvdxvu - - 一般地，（一般地，（1）（2） 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為就考慮設(shè)冪函數(shù)為 v , 使其降冪一次使其降冪一次(假假定冪指數(shù)是正整數(shù)定冪指數(shù)是正整數(shù)) (4) 若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí)若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí),二者皆可作為二者皆可作為u,但作為但作為u的函數(shù)的類型不變。的函數(shù)的類型不變。(3) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u . 若被積函數(shù)是冪函

48、數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)的乘積的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , 使其降冪一使其降冪一次次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u反反 對對 冪冪 三三 指指六六 思考與判斷題思考與判斷題 + +- - Cxxdx2cos2sin12CxCxdxx+ + + +- - - - - arccosarcsin211u函數(shù)函數(shù)使用分部積分公式的要點(diǎn)是確定使用分部積分公式的要點(diǎn)是確定34 xdxarcsin中中xvxu ，arcsin作業(yè)：P189 2(1) (10), 3(1) (4).5 根據(jù)LIATE法，恰當(dāng)選取u和確定v.第八章 不定積分3有理函數(shù)和可化為

49、有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一一 問題的提出問題的提出.11)1(112- - - -+ + xxx2)1(1- -xx即即dxxx - -2111)()(怎么計(jì)算？怎么計(jì)算？關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項(xiàng)關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項(xiàng)？（2 2）.cossin1sin + + +dxxxx很顯然不能用很顯然不能用湊微分和分部積分湊微分和分部積分怎么辦？怎么辦？（3 3） + +dxxxx11去掉根號(hào)才能計(jì)算，怎樣去掉去掉根號(hào)才能計(jì)算，怎樣去掉根號(hào)根號(hào)？兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP+ + + + + + + +

50、+ - - - - -11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b.二二 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分(Integration of Rational Function)有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是假分式；這有理函數(shù)是假分式； 有理函數(shù)有以下性質(zhì)：有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1 1）利用多項(xiàng)式除法）利用多項(xiàng)式除法, , 假分式可以化成一個(gè)假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真

51、分式之和多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和. .例如，我們可將例如，我們可將1123+ + + +xxx.112+ + +xx化為多項(xiàng)式與真分式之和化為多項(xiàng)式與真分式之和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，利用列項(xiàng)法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，利用列項(xiàng)法真分式總可以分解成幾個(gè)最簡式之和真分式總可以分解成幾個(gè)最簡式之和tsttsqxpxqxpxaxaxxQ)()()()()(2112111+-列項(xiàng)的步驟：第一步 對分母)(xQ在實(shí)系數(shù)內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：其中),2, 1;,2, 1(, 10tjsibii均為自然數(shù)，而且tjqpmjjtiisii, 2 , 1, 04;2211-+第二步 根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：對于每個(gè)形如，

52、kax)( -的因式，它所對應(yīng)的部分分式是kkaxAaxAaxA)()(221-+-+-qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk+ + + + + + + + + + + + +- -21222211)()(其中其中iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki .kqpxx)(2+ + +對于每個(gè)形如對于每個(gè)形如 ，則分解后為，則分解后為042 - - qp的因式，其中第三步 確定待定系數(shù)待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532+ +- -+ +xxx)3)(2(3- - -+ + xxx,32- -+ +- - xBxA + +- - + +, 3)23(, 1BABA,65 - - B

53、A6532+ +- -+ +xxx.3625- -+ +- - - xx例例1 1)3)(2()2()3(- - - -+ +- - xxxBxA)3)(2()23()(- - -+ +- -+ + xxBAxBA2)1(1- -xx,1)1(2- -+ +- -+ + xCxBxA)1()2()(12AxCABxCA+ +- - -+ + + .11)1(112- - - -+ + xxx2)1(1- -xx例例2 2通分以后比較分子得：通分以后比較分子得： - - - + +1020ACABCA1, 1, 1- - CBA例例3 3.1515221542xxx+ + +- -+ + + )

54、1)(21(12xx+ + +),21)()1(12xCBxxA+ + + + + ,)2()2(12ACxCBxBA+ + + + + + + + + + + +, 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 - - CBA,1212xCBxxA+ + + + + )1)(21(12xx+ + +整理得整理得將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;)()2(naxA- -;)()3(2nqpxxNMx+ + + +討論積分討論積分,)(2 + + + +dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx- -+

55、+ + + + + +令令tpx + +2,422pqa- - ,2MpNb- - 則則 + + + +dxqpxxNMxn)(2 + + dtatMtn)(22 + + +dtatbn)(22,222atqpxx+ + + + +, bMtNMx+ + + +記記求積分求積分+NndttaInn,)(122解解用分部積分法，當(dāng)用分部積分法，當(dāng)時(shí)，有1n+dttaInn)(122+dttatntatnn122222)(2)(+-+dttaatantatnnn)()(12)(12222222)(2)(1222+-+nnnnIaIntatI) 12()(212221nnnIntatnaI-+Cat

56、aatatdaatadtdtatIarctan1)(11 )(1 1222221, 1)2( n + + + +dxqpxxNMxn)(2122)(1(2- -+ +- - - natnM.)(122 + + +dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n + + + +dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM+ + + ;2arctanCapxab+ + + +例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 + + +dxxxdxxxdxx + +

57、+- -+ + + 2151522154 + + +dxxx)1)(21(12dxxdxxxx+-+2211511251|21 |ln52.arctan51)1ln(51|21 |ln522Cxxx+-+例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx + + + +令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx + + + +63211dttttt61123 + + + + dtttt + + + )1)(1(162dttttt + + +- -+ +- - 2133136Ctttt+ +- -+ +- -+ +- - arctan3)1ln(23)1ln(3ln62d

58、ttttt + + +- -+ +- - 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx+ +- -+ +- -+ +- - 23)1ln(3ln6- -+ +- - ttdttttd + +- -+ + +2221131)1(dxxx+283)1 (三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx+ + ,2sin2coscos22xxx- - 2

59、sec2tan1cos22xxx- - ,2tan12tan122xx+ +- - 令令2tanxu ,12sin2uux+ + ,11cos22uux+ +- - uxarctan2 duudx212+ + dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR+ + + +- -+ + （萬能置換公式）（萬能置換公式）例例7 7 求積分求積分.cossin1sin + + +dxxxx解解,12sin2uux+ + 2211cosuux+ +- - ,122duudx+ + 由萬能置換公式由萬能置換公式 + + +dxxxxcossin1sinduuuu + + + )1)(

60、1(22duuuuuu + + +- - -+ + + )1)(1(112222duuuuu + + + +- -+ + )1)(1()1()1(222duuu + + + 211duu + +- -11uarctan )1ln(212u+ + +Cu + + +- -|1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx+ +.|2tan1|lnCx+ + +- -例例6 6 求積分求積分.)cos1(sinsin1 + + +dxxxx解解,12sin2uux+ + 2211cosuux+ +- - ,122duudx+ + 由萬能置換公式由萬能置換公式duuuu + + + 12212 + +