統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)(20210305142059)

1、、數(shù)據(jù)的特征值 （一）數(shù)據(jù)的位置特征值 1）平均值x 如果從總體中抽取一個(gè)樣本，得到一批數(shù)據(jù)X!, X2, X3.Xn,則樣本的平均值 X為: i =1 n-數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)； Xi-第i個(gè)數(shù)據(jù)數(shù); 刀-求和。 2）中位數(shù)x 有時(shí)，為減少計(jì)算，將數(shù)據(jù) Xi , X2, X3.Xn按大小次序排列，用位居于正中的那個(gè)數(shù)或 中間兩個(gè)數(shù)的平均值（當(dāng)數(shù)據(jù)為偶數(shù)時(shí)）表示數(shù)據(jù)的總體平均水平。 3）中值M 測(cè)定值中的最大值 Xmax 與最小值Xmin的平均值，用M表示。 ax X m in 4）眾數(shù) 在用頻數(shù)分布表示測(cè)定值時(shí)，頻數(shù)最多的值即為眾數(shù)。若測(cè)定值按區(qū)間做頻數(shù)分布時(shí), 頻數(shù)最多的區(qū)間代表值（一般取區(qū)間中值）也

2、稱(chēng)眾數(shù)。 （二）數(shù)據(jù)的離散特征值 1）極差R 測(cè)定值中的最大值 Xmax與最小值Xmin之差稱(chēng)為極差。通常 R用于個(gè)數(shù)n小于10的情況 下，n大于10時(shí)，一般采用標(biāo)準(zhǔn)偏差 s表示。 2）偏差平方和S_ 之差稱(chēng)為偏差。各測(cè)定值的偏差平方和稱(chēng)為偏差平方和，簡(jiǎn)稱(chēng) 各測(cè)定值Xi與平均值X 平方和，用S表示。 .(X (Xi i =1 無(wú)偏方差 各個(gè)測(cè)定值的偏差平方和除以（ n-1) 后所得的值稱(chēng)為無(wú)偏方差（簡(jiǎn)稱(chēng)方差） ,用s2表示: =1 (Xi 標(biāo)準(zhǔn)偏差s 方差s2的平方根為標(biāo)準(zhǔn)偏差（簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差），用s表示: （三）變異系數(shù) 以上反映數(shù)據(jù)離散程度的特征值， 只反映產(chǎn)品質(zhì)量的絕對(duì)波動(dòng)大小。 在工程實(shí)踐

3、中, 量較大的產(chǎn)品，絕對(duì)誤差一般較大， 反之亦然。因此要考慮相對(duì)波動(dòng)的大小，在統(tǒng)計(jì)技術(shù)上 用變異系數(shù)CV來(lái)表達(dá)： C V V .1 _ x 上式中b和卩為總體均值和總體標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)過(guò)程在受控狀態(tài)下， 且樣本容差較大時(shí), 用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s和樣本均值 X估計(jì)。 Ca、Cp、 Cpk 的計(jì)算 過(guò)程準(zhǔn)確度指數(shù)（ Ca 值）：表示過(guò)程特性中心位置的偏移程度，越小越好 Ca= （樣本平均值 -規(guī)格中心值） /（規(guī)格公差 /2） 等級(jí)A : |Ca|三12.5%表示作業(yè)員遵守作業(yè)規(guī)范 ，并達(dá)規(guī)格要求 等級(jí)B : 12.5% |Ca|至25%表示必要時(shí)盡可能提升至A級(jí) 等級(jí)C： 25% |Ca|三50%表示作業(yè)員

4、可能看錯(cuò)或未按標(biāo)準(zhǔn)作業(yè)，或須修改規(guī)格及作業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。 等級(jí) D： 50% |Ca| 表示應(yīng)采取緊急措施，全面整改可能影響之因素，必要時(shí)應(yīng)停止生產(chǎn) 過(guò)程精密度能力系數(shù)（ Cp 值）: 表示過(guò)程特性分散的程度，值越大越集中。 Cp=（規(guī)格上限-規(guī)格下限”（6X標(biāo)準(zhǔn)差） 合格：1.33三Cp表示能力足夠 警告：1.00三Cp 1.33表示能力無(wú)足夠?qū)挾?，平均值稍有偏差時(shí)，不良率既會(huì)增加。 不合格： Cp 1.00 表示能力不足，有不合格品，須全數(shù)篩選，并設(shè)法縮小變異或整改規(guī)格公差。 過(guò)程綜合能力系數(shù) （Cpk 值）：同時(shí)考慮 “偏移”程度及 “分散程度 Cpk=（1-Ca） x Cp 此系數(shù)為過(guò)程評(píng)價(jià)用

5、系數(shù)，用于過(guò)程改善 客戶(hù)指定Cpk值時(shí)，欲達(dá)到此 Cpk值，可先探討 Ca及Cp值：準(zhǔn)確度”精密度”是否有適當(dāng)能 力 一般客戶(hù)是指定值多數(shù)為三 1.33； Cpk值三3.00時(shí)，表示過(guò)程能力已經(jīng)足夠了，繼續(xù)維持即可； 若想進(jìn)一步改善，應(yīng)考慮成本效益。 Cp=(Ucl-Lsl)/6 8 Cpku=(Uc I- Xbar)/3 8 Cpkl=(Xbar-Lsl)/3 8 Cpk=min(Cpku : Cpkl) 二、回歸分析 (一) 什么是回歸分析 回歸分析是用來(lái)研究一個(gè)指標(biāo)與幾個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系的方法。 設(shè)有兩個(gè)變量X和y，前者為自變量，后者為因變量，并均為隨機(jī)變量。當(dāng)自變量 X變 化時(shí)，丫會(huì)產(chǎn)

6、生相應(yīng)的變化，如果具有大量或較多的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)( x,yi)，則可以用數(shù)學(xué) 方法找出兩者之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系 y= f(x)，這種數(shù)學(xué)方法稱(chēng)為回歸分析。 當(dāng)y= a+ bx時(shí)，稱(chēng)之為一元線(xiàn)性回歸； 當(dāng)y= f(x)為非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系時(shí)，稱(chēng)之為非線(xiàn)性回歸； 當(dāng)X變量不止1個(gè)，有幾個(gè)時(shí)，即有(X1 , X2 , Xn),則y = f ( X1 , X2 , Xn) 稱(chēng)之為多元回歸。 當(dāng)有y= a+ bi x i + b2 X2+ + bn x n時(shí)，稱(chēng)之為多元線(xiàn)性回歸，否則為多元非 線(xiàn)性回歸。 回歸分析可用于預(yù)測(cè)、質(zhì)量控制等方面。 (二) 一元線(xiàn)性回歸方程的計(jì)算方法 設(shè)一元線(xiàn)性回歸方程的表達(dá)式為：y=a+bx

7、 a與b的值。則: 現(xiàn)在給出了 n對(duì)數(shù)據(jù)(Xi, yi),要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)去估計(jì) a = y _bx Lxy Lxx 其中 Lxx：-X的離差平方和 n_ /2 Lyy-y 的離差平方和Lyy 二(yi -y) im n_ Lxy一X , y 的離差成積之和 Lxy(xi -x)(yy) im 三、統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制基本概念 Statistical Process Control （ SPC-統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制）的概念是：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)技術(shù)對(duì)過(guò)程中的 各個(gè)階段進(jìn)行評(píng)估和檢察， 保持過(guò)程處于可接受的和穩(wěn)定的水平， 以保證產(chǎn)品與服務(wù)滿(mǎn)足要 求的均勻性。 這里的統(tǒng)計(jì)技術(shù)涉及到數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，但所應(yīng)用的主要工具是控制圖。

8、 SPC 可以判斷過(guò)程的異常， 及時(shí)告警。 但是不能告知此異常是什么因素引起的， 發(fā)生于 何處。 20 世紀(jì) 80 年代起，我國(guó)的張公緒先生提出 Statistical Process Diagnosis 理論（ SPD- 統(tǒng)計(jì)過(guò)程診斷） 。20 世紀(jì) 90 年代起又發(fā)展為 Statistical Process Adjustment （ SPA-統(tǒng)計(jì)過(guò)程 調(diào)整）。三者循環(huán)關(guān)系如下： SPC-告訴過(guò)程是否有異常 SPD-告訴過(guò)程是否有異常，若異常，告知問(wèn)題出在哪里 SPA-告訴過(guò)程是否有異常，若異常，告知問(wèn)題出在哪里，如何進(jìn)行調(diào)整 所以 SPC 是質(zhì)量改進(jìn)循環(huán)的首要步驟，應(yīng)該熟練掌握運(yùn)用。 四

9、、控制圖的應(yīng)用 統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制的主要工具是控制圖（SPC圖）。控制圖是將一個(gè)過(guò)程定期收集的樣本數(shù) 據(jù)按順序描點(diǎn)繪制成曲線(xiàn)的一種技術(shù)，可以發(fā)現(xiàn)過(guò)程異常，是采取預(yù)防措施的重要手段。1984 年日本名古屋工業(yè)大學(xué)調(diào)查了上百家中小型企業(yè)，發(fā)現(xiàn)平均每家企業(yè)采用 137張控制圖。美 國(guó)柯達(dá)一共應(yīng)用了 35000張控制圖。 （一）控制圖的原理 當(dāng)質(zhì)量特性值x服從正態(tài)分布時(shí)，由兩個(gè)參數(shù)決定分布曲線(xiàn)的位置與形狀，即平均值卩 和標(biāo)準(zhǔn)差（T。不論和b取什么值，產(chǎn)品質(zhì)量特性值X落在- 3 （T ,+3 （T 區(qū)間內(nèi)的 概率為99.73%。根據(jù)小概率事件可以忽略的原則，若變量x超出3 b范圍，則認(rèn)為過(guò)程 存在異常。 一個(gè)

10、控制圖有三條線(xiàn)： 中心線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)CL線(xiàn)。 CL= 卩 上控制線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng) UCL線(xiàn)。UCL=y +3b 下控制線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng) LCL線(xiàn)。LCL=卩-3 b 將正態(tài)分布曲線(xiàn)圖旋轉(zhuǎn)180度，即得到控制圖。 （二）如何利用控制圖判斷過(guò)程異常 多數(shù)點(diǎn)子在土 1 b范圍內(nèi)（68%左右）,小部分點(diǎn)子在土 2 b和卩 1 b之間（27%右）， 點(diǎn)子隨機(jī)排列，是過(guò)程控制的理想狀態(tài)。 中心線(xiàn)一側(cè)的點(diǎn)子明顯比另一側(cè)多，應(yīng)考慮均值可能產(chǎn)生偏移。 較多的點(diǎn)子接近上下控制線(xiàn)，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差已經(jīng)變大。 中心線(xiàn)一側(cè)連續(xù)出現(xiàn)多個(gè)點(diǎn)子或點(diǎn)子連續(xù)上升/下降，證明有系統(tǒng)因素干擾。 點(diǎn)子按一定時(shí)間間隔呈周期性變化，可能工藝、環(huán)境等因素失控。 （三）

11、常規(guī)控制圖（休哈特控制圖） 常規(guī)控制圖 分布 控制圖代號(hào) 控制圖名稱(chēng) 控制圖界限 備 注 正態(tài)分 布（計(jì) 量值） 工_R 均值-極差控制圖 UCL*=X +a2R UCLr=D4R LCLr = d3R 正態(tài)分布 的參數(shù)與 d互相獨(dú)立， 控制正態(tài)分 布需要分別 控制與d, 故正態(tài)分布 控制圖都有 兩張控制圖， 前者控制卩, 后者控制d。 二項(xiàng)分布 與泊松分布 則并非如此。 H_s 均值-標(biāo)準(zhǔn)差控制圖 UCL7+A3S UCLs = B4s LCL r = B3r X -R 中位數(shù)-極差控制圖 UCL - ) +m3A2R uclr=dR LCL r = D3R X -Rs 單值-移動(dòng)極差控制圖

12、 UCLx =X +2.66Rs UCL Rs =3.267乓 LCLRs =X -2.66RS 二項(xiàng)分 布（計(jì) 件值） P 不合格品率控制圖 UCLP+rp(p)/ n 左列兩圖 可由通用不 合格品數(shù)npr 圖代替。 np 不合格品數(shù)控制圖 UCLm = nP +3 np(l -p) 泊松分 布（計(jì) 點(diǎn)值 ） u 單位不合格數(shù)控制圖 UCLu=u+3 u/n 左列兩圖 可由通用缺 陷數(shù)cr圖代 替。 c 不合格數(shù)控制圖 UCL。=cc 五、過(guò)程能力分析、過(guò)程能力指數(shù)計(jì)算 （一）、過(guò)程能力分析 過(guò)程能力（process capability ）指過(guò)程加工質(zhì)量方面的能力，決定因素是人、機(jī)、料、

13、法、測(cè)和環(huán)（即 5M1E），與公差無(wú)關(guān)。分析過(guò)程能力只能在穩(wěn)態(tài)的基礎(chǔ)上，即統(tǒng)計(jì)控制狀 態(tài)。 過(guò)程能力決定于由偶因造成的總變差b,當(dāng)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，產(chǎn)品的計(jì)量質(zhì)量特性值有 99.73%在土 3 b范圍內(nèi)，即幾乎全部產(chǎn)品的特性值包含在6 b范圍之內(nèi)。故常用 6倍標(biāo)準(zhǔn) 差（6b）表示過(guò)程能力，它的數(shù)值越小，表示過(guò)程能力越強(qiáng)。 （二）、過(guò)程能力指數(shù)計(jì)算 當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量特性分布的均值卩與公差中心M重合時(shí) 1、對(duì)于公差的上、下限都有要求時(shí), 過(guò)程能力指數(shù)計(jì)算公式如下： CP 規(guī)定的公差 過(guò)程變異度 TTu -TlTu - Tl =ft 6:6匚6:? T為公差，Tu為公差上限，Tl為公差下限，：？是質(zhì)量特性總

14、體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。 在上述過(guò)程能力指數(shù)中，T反映對(duì)產(chǎn)品的技術(shù)要求（或客戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的要求），而b反映 本企業(yè)過(guò)程加工的質(zhì)量。比值Cp反映過(guò)程加工質(zhì)量滿(mǎn)足產(chǎn)品技術(shù)要求的程度。 根據(jù)T與6 b的比值，可以得到下圖所示三種典型的情況。Cp值越大，表明加工質(zhì)量 越好，但對(duì)設(shè)備和人員的要求也越高，加工成本相應(yīng)升高。當(dāng)Cp=1，似乎既滿(mǎn)足要求也節(jié) 約成本，但由于過(guò)程的波動(dòng)，分布中心一有偏移，不合格品率就要增加，因此，Cp應(yīng)取1。 一般情況下，當(dāng)Cp=1.33, T=8 b，整個(gè)分布基本上都在上下規(guī)范限度內(nèi)，且留有變動(dòng)空間。 故 ISO8258: 1991 要求 Cp羽.33。 3- 2、只對(duì)單側(cè)公差限有規(guī)定時(shí)

15、 只規(guī)定上限時(shí), 只規(guī)定下限時(shí), C PL 當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量特性分布的均值卩與公差中心M有偏離時(shí) 這種情況下，需要對(duì)無(wú)偏離Cp乘上一個(gè)修正系數(shù)(1-K)。 Cp 規(guī)定的公差 過(guò)程變異度 TTu -TlTu -Tl 6：二6：廠6：? 有偏離情況下的過(guò)程能力指數(shù)是： Cpk =(1 -K)Cp = 一 6 二 過(guò)程能力指數(shù)與不合格品率的關(guān)系 考慮過(guò)程能力指數(shù)與不合格品率的關(guān)系時(shí)，直接查正態(tài)分布表比較方便。 當(dāng)公差中心M與數(shù)據(jù)分布中心重合時(shí)， P =2 - 2 (3Cp)l 當(dāng)公差中心M與數(shù)據(jù)分布中心有偏離時(shí)， P = 2 - 1 3CP 1 K 丨3CP 1 - K 1/ 例：在無(wú)偏離情況下，求Cp=

16、0.7時(shí)的不合格品率 P。 解答： P =2 - 2 (3Cp) Cp=0.7,3 Cp=2.1 查“正態(tài)分布表”，得到 (2.1) 1 = 0.98214 不合格品率為： P=2-2 x 0.98214=0.03572 6.4.3.36 d控制方法 6 b控制方法，即過(guò)程能力指數(shù)達(dá)到2以上，不合格品率 0.08197316,幾乎達(dá)到零缺陷。 執(zhí)行6 d需要多方面的專(zhuān)業(yè)技能和知識(shí)，包括：SPC、MSA、DOE、可靠度工程、FMEA、 TQM、QFD、田口方法、ISO9000、質(zhì)量成本 QCOST、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、顧客滿(mǎn)意、同步工程、 價(jià)值工程、綠色設(shè)計(jì)等等。 所用的工具可以是： SPC度量、分析、改

17、進(jìn)和監(jiān)控過(guò)程的波動(dòng) DOE/田口方法 優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)，通過(guò) DOE，改進(jìn)過(guò)程設(shè)計(jì)，使過(guò)程能力達(dá)到最優(yōu)水平 FMEA風(fēng)險(xiǎn)分析技術(shù)，輔助確定改進(jìn)項(xiàng)目 制定改進(jìn)目標(biāo) QFD顧客需求分析技術(shù)，輔助將顧客需求正確地轉(zhuǎn)換為內(nèi)部工作要求 防錯(cuò) 從根本上防止錯(cuò)誤發(fā)生的方法 平均值加減標(biāo)準(zhǔn)差表示的是什么 標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差的平方是方差，方差就是為了統(tǒng)計(jì)這組數(shù)據(jù)偏離平均值的程度，也可以說(shuō)是 這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。 例如兩個(gè)人打靶，A打6,7,8,9,10，平均值是8，方差就是（-2）A2+（ -1） 人2+0+1人2+2人2/5=2，標(biāo)準(zhǔn)差等于根號(hào)2 B打8,8,8,8,8，平均值是8，方差就是0 ,這樣來(lái)說(shuō)B的成績(jī)更穩(wěn)定

18、。 平均數(shù)加減標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)代表大概率事件， 范圍外代表小概率事件。用成績(jī)?yōu)?樣本，則范圍內(nèi)的成績(jī)?yōu)檎５拇蟛糠挚忌某煽?jī)， 范圍外的為特殊的少部分考 生的成績(jī)（包括特別好的和特別差的）。通常，一次考試的成績(jī)都是成正態(tài)分布 的，平均數(shù)加減標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)的成績(jī)應(yīng)該達(dá)到 85%以上。如果沒(méi)有成正態(tài)分 布，則說(shuō)明試卷沒(méi)有出好，出得太難或者太簡(jiǎn)單了。對(duì)某一個(gè)人所有考試的成績(jī) 看平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差就夠了，對(duì)平均數(shù)加減標(biāo)準(zhǔn)差的分析沒(méi)有多大意義。 但是，某 一個(gè)人在一段時(shí)間內(nèi)某一特定科目的所有考試成績(jī)又可以用平均數(shù)加減標(biāo)準(zhǔn)差 來(lái)分析了。 平均數(shù)只能顯示總體情況，而標(biāo)準(zhǔn)差能夠看出變異程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)越離散。比如以 下兩組數(shù)：a. 2 2 2 2 2 b.1 1 2 3 3 兩組的均數(shù)相等，而 a組數(shù)據(jù)集中（向均數(shù)集中），b組 離散，a組標(biāo)準(zhǔn)差小于b組 P值與a值的關(guān)系? P值（P value ）就是當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概 率。 a值是一個(gè)臨界概率值。它表示在統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)”中，用樣本資料推斷總體時(shí)，犯拒 絕假設(shè)”錯(cuò)誤的可能性大小。a越小，犯拒絕 假設(shè)”的錯(cuò)誤可能性越小。 P是拒絕原假設(shè)時(shí)犯錯(cuò)誤概率又或者說(shuō)是如果你拒絕掉原假設(shè)實(shí)際上是在冤枉好 人的概率”。 不管怎么表達(dá)理解上都有點(diǎn)繞，所以你還是看例子吧。比如你做