利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)

1、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)5(2009福建文)（本小題滿分12分）已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （）求的單調(diào)區(qū)間； （）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；5. 解法一：（I）依題意，得 由得（）由（I）得（ 故 令，則或 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表： +單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為由時(shí)，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（）當(dāng)時(shí)

2、，得 由，得 由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 所以函數(shù)在處取得極值。 故 所以直線的方程為 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）當(dāng)時(shí)，得，由，得由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故所以直線的方程為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得解得所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14(2009江西文)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅

3、有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍14. 解：(1) , 因?yàn)? 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值為(2) 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ; 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ; 當(dāng)時(shí),取極小值 ; 故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 或.23(2009陜西文)（本小題滿分12分）已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間； 若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。23. 解析：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由解得或；由解得，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O大值，所以所以由解得。由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，在處取得極小值。因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有

4、三個(gè)不同的交點(diǎn)，又，結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。12（2010年高考湖北卷文科21）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中a0，曲線在點(diǎn)P（0，）處的切線方程為y=1（）確定b、c的值（）設(shè)曲線在點(diǎn)（）及（）處的切線都過(guò)點(diǎn)（0,2）證明：當(dāng)時(shí)，（）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。（11天津文）19（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對(duì)任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)（19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法，滿分1

5、4分。 （）解：當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 （）解：，令，解得因?yàn)?，以下分兩種情況討論： （1）若變化時(shí)，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是。 （2）若，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 （）證明：由（）可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論： （1）當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。 （2）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若所以內(nèi)存在零點(diǎn)。若所以內(nèi)存在零點(diǎn)。所以，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。綜上，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。10.【2012高考

6、江蘇18】（16分）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 是的極值點(diǎn)。 當(dāng)或時(shí)， 不是的極值點(diǎn)。 的極值點(diǎn)是2。（3）令，則。 先討論關(guān)于 的方程 根的情況：當(dāng)時(shí)，由（2 ）可知，的兩個(gè)不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，的兩個(gè)不同的根為一和2。當(dāng)時(shí)， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當(dāng)時(shí)， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時(shí)在無(wú)實(shí)根

7、。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿足；當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根，滿足?，F(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿足。而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。( 11 ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿足。而有三個(gè)不同的根，故有9 個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)?！究键c(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可

8、。 （2）由（1）得，求出，令，求解討論即可。 （3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)。13.【2102高考福建文22】（本小題滿分14分）已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明?？键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程。難度：難。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用函數(shù)與方程的思想解決根個(gè)數(shù)的問(wèn)題。解答：（I）在上恒成立，且能取到等號(hào) 在上恒成立，且能取到等號(hào) 在上單調(diào)遞增 （lfxlby）（II） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 在上有唯一零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)上單調(diào)遞減 存在唯一使 得：在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減 得：時(shí)，

9、時(shí)，在上有唯一零點(diǎn) 由得：函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)。（2013年高考陜西卷（文）已知函數(shù). () 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點(diǎn). () 設(shè)a, , 所以存在,使得. 由于函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào),所以當(dāng)時(shí)曲線與直線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).綜上可知,如果曲線與直線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么的取值范圍是. 2013年高考福建卷（文）已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值;(2)求函數(shù)的極值;(3)當(dāng)?shù)闹禃r(shí),若直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn),求的最大值.【答案】解:()由,得. 又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸, 得,即,解得. (), 當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),所以函數(shù)無(wú)極值. 當(dāng)時(shí),令,得,. ,;,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值. 綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極小值; 當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值. ()當(dāng)時(shí), 令, 則直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn), 等價(jià)于方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 假設(shè),此時(shí), 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾,故. 又時(shí),知方程在上沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 所以的最大值為. 解法二: ()()同解法一. ()當(dāng)時(shí),. 直線:與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)