留數(shù)在定積分計(jì)算中應(yīng)用

1、一一、形如、形如 的積分的積分 20d)sin,(cos R二二、形如、形如 的積分的積分 xxRd)(三三、形如、形如 的積分的積分)0( d)( axexRiax一一、形如、形如 的積分的積分 20d)sin,(cos R. sin,cos )sin,(cos 的的有有理理函函數(shù)數(shù)是是其其中中 R思想方法思想方法 :封閉路線(xiàn)的積分（圍道積分法）封閉路線(xiàn)的積分（圍道積分法） .把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條兩個(gè)重要工作兩個(gè)重要工作:1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin ii

2、eei ,212izz )(21cos iiee ,212zz 當(dāng)當(dāng) 歷經(jīng)歷經(jīng)2,0時(shí)時(shí),1 z繞行一周繞行一周.z 沿正向單位圓周沿正向單位圓周02011ii從而積分化為沿正向單位圓周的積分：從而積分化為沿正向單位圓周的積分： d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd )(1 z的有理函數(shù)的有理函數(shù) , 且在且在單位圓周上分母不單位圓周上分母不為零為零 , 滿(mǎn)足留數(shù)定滿(mǎn)足留數(shù)定理的條件理的條件 .包圍在單位圓周包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn). .),(Res21 nkkzzfi例例1 .)10(dcos21cos2202的的值值計(jì)計(jì)算算 p

3、ppI 解解 , 10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 pppp內(nèi)內(nèi)不不為為零零，在在20 故積分有意義故積分有意義.)(212cos22 iiee 由由于于),(2122 zzizzpzzpzzIzd2211221122 izzpzzpzzIzd2211221122 zpzpzizzzd)(1(21124 ,1, 0ppz 被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)內(nèi)內(nèi)，在在圓圓周周1, 0 zpz為一級(jí)極點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)，為二級(jí)極點(diǎn)，為二級(jí)極點(diǎn)，且且pzz 0.d )(1zzfz 上被積函數(shù)無(wú)奇點(diǎn)，上被積函數(shù)無(wú)奇點(diǎn)，所以在圓周所以在圓周1 z )(1(21ddlim0),(Res24

4、20pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,2122ipp ,)1(21224pipp )(1(21)(lim),(Res24pzpzizzpzpzfpz )1(2121222222pippippiI.1222pp 因此因此例例2 計(jì)算計(jì)算.sin1d02 xx解解 00222cos11dsin1dxxxx 02cos12d2xx,2tx 令令 20cos3dttizzzzzd2) 1(3112 .16d212 zzzzi2231 z極點(diǎn)為極點(diǎn)為 : 02sin1dxx所所以以.2 (在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi))2232 z

5、(在單位圓外在單位圓外)223(),(Res 22 zfii 二二、形如、形如 的積分的積分 xxRd)(若有理函數(shù)若有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次的分母至少比分子高兩次, 并且并且分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn). 一般設(shè)一般設(shè)2,)()()(1111 nmbzbzazazzRzPzRmmmnnn分析分析可先討論可先討論,d)( RRxxR最后令最后令 R即可即可 .2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線(xiàn)取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線(xiàn), 使與區(qū)間使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線(xiàn)一起構(gòu)成一條封閉曲線(xiàn), 并使并使R(z)在其內(nèi)部除有在其內(nèi)部除有限

6、孤立奇點(diǎn)外處處解析限孤立奇點(diǎn)外處處解析. (此法常稱(chēng)為此法常稱(chēng)為“圍道積分法圍道積分法”)1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí)在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí) , R(z)=R(x) RRxxRd)( Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z) .O這里可補(bǔ)線(xiàn)這里可補(bǔ)線(xiàn)RC(以原點(diǎn)為中心以原點(diǎn)為中心 , R為半徑為半徑的在上半平面的半圓周的在上半平面的半圓周)RC與與 RR, 一起構(gòu)成封閉曲線(xiàn)一起構(gòu)成封閉曲線(xiàn)C , R(z)在在C及其及其內(nèi)部?jī)?nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取取R適當(dāng)大適當(dāng)大, 使使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)所有的在上半平面

7、內(nèi)的極點(diǎn)kz都包在這積分路線(xiàn)內(nèi)都包在這積分路線(xiàn)內(nèi).根據(jù)留數(shù)定理得根據(jù)留數(shù)定理得 : RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d )(z1z2z3 RRxznyCR，則則上上，令令在在 iReRzC RRCCzzQzPzzRd)()(d)(; ) ( ) (0 deRQeiReRPiii 則則的的次次數(shù)數(shù)至至少少高高兩兩次次的的次次數(shù)數(shù)比比分分子子由由于于分分母母, )()(zPzQ. , 0)()(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzQzzP. , 0) ( ) (時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) RzeRQeReRPiii 即即. ),(Res2d)( kzzRixxR所所以以;0d)(: RCzzRR,d)( zzR RR

8、zzRd)(從而從而.kz其中 為R(z)在上半復(fù)平面所有有限遠(yuǎn)處的孤立奇點(diǎn).例例3 計(jì)算積分計(jì)算積分), 0, 0()()(d022222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR 解解 在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)在上半平面有二級(jí)極點(diǎn),aiz .biz 一級(jí)極點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn). ),(Res2d)( kzzRixxR. ),(Resd)(21d)(0 kzzRixxRxxR )( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則特特別別地地，若若xRbizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),(ResaizRbizRi .)(4)2(23bababa 222222322)(

9、21)(43abbiabiaabi ),(ResbizR 022222)()(dbxaxx所以所以aizbzaiz )()(1222,)(21222babi ),(ResaizR )()(d2122222bxaxx例例4 計(jì)算積分計(jì)算積分 dxxxxx91022429102)(242 zzzzzR解解 在上半平面有兩個(gè)單極點(diǎn)：在上半平面有兩個(gè)單極點(diǎn)：.3 ,ii)9)()(2)(lim),(Res22 zizizzzizizRiz.161i )3)(3)(1(2)3(lim3),(Res223izizzzzizizRiz .4873i dxxxxx91022423),(Res),(Res2iz

10、RizRi .125 2222(1)(9)zzzz三三、形如、形如 的積分的積分)0( d)( axexRiax積分存在要求積分存在要求: R(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且并且R(x)在實(shí)軸上在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)無(wú)孤立奇點(diǎn).z1z2z3zn RROxyCR同前一類(lèi)型同前一類(lèi)型: 補(bǔ)線(xiàn)補(bǔ)線(xiàn)RC與與 RR, 曲線(xiàn)曲線(xiàn)C ,使使R(z)所有的在上半所有的在上半kz都包在這積分路線(xiàn)內(nèi)都包在這積分路線(xiàn)內(nèi) .一起構(gòu)成封閉一起構(gòu)成封閉RC平面內(nèi)的極點(diǎn)平面內(nèi)的極點(diǎn)zezRxexRiazCRRiaxRd)(d)( ,)(Res2kiaz

11、zezRi由留數(shù)定理由留數(shù)定理: R令令 ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR.d)( xexRiax，故只要求出故只要求出 RCiazRdzezR )(lim 就可以求出積分就可以求出積分充充分分大大）ReRzi,0( :)(RCzg沿沿半半圓圓周周設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). 0)(lim zgCRR上有上有上連續(xù)，且在上連續(xù)，且在則則. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg約當(dāng)引理：約當(dāng)引理：證證 得：得：由由0)(lim zgR時(shí)，有時(shí)，有使當(dāng)使當(dāng)00 , , 0RRR . ,)(RCzzg RCiazzezgd)(及及由由 ,) ( Ri

12、eReRgii ideReeRgiiaR eii ) ( 0 sincossin aRiaRaRiaR eeeei 得得 deRzezgaRCiazR 0sind)( deRaR 20sin2由約當(dāng)不等式（如右圖）由約當(dāng)不等式（如右圖） oy2 y sin y2 )20( sin2 deRdeRzezgaRaRCiazR 20220sin22d)()1(aRea .a 從而從而. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR根據(jù)約當(dāng)引理根據(jù)約當(dāng)引理及以上的討論得：及以上的討論得： ,)(Res2d)(ki

13、aziaxzezRixexRaxiaxeiaxsincos xaxxRixaxxRdsin)(dcos)( . ,)(Res2 kiazzezRi ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR將實(shí)虛部分開(kāi)，可得積分將實(shí)虛部分開(kāi)，可得積分.dsin)( dcos)(xaxxRxaxxR 及及.kz其中 為R(z)在上半復(fù)平面所有有限遠(yuǎn)處的孤立奇點(diǎn).例例5 計(jì)算積分計(jì)算積分 .0, 0,d)(sin0222 amxaxmxx解解 xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222 xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)22 2( )

14、,()imzzf zeza,aiz 又又xeaxximxd)(222 則則aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam ),(Res2Im21aizfi .4maeam aieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222 所以所以注意注意 以上兩型積分中被積函數(shù)中的以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(z)在實(shí)軸在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)上無(wú)孤立奇點(diǎn).d Im21dsin 21dsin0 xxexxxxxxix 例例6 計(jì)算積分計(jì)算積分.dsin0 xxx 解解 所所以以是是偶偶函函數(shù)數(shù) ,sinxx因函數(shù)因函數(shù)zeiz在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn)在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn), 0 z若被積函數(shù)中的若被積函數(shù)中的R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，則在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，則),(es21),(e2d)(kkxzRRzzRsRixxR .是實(shí)軸上的奇點(diǎn)是實(shí)軸上的奇點(diǎn)是上半平面的奇點(diǎn)，是上半平面的奇點(diǎn)，其中其中kkxz 0 ,Re2102dzesixxeizix 所所以以. lim 0izeziizz .2d Im21dsin0 xxexxxix小結(jié)與思考小結(jié)與思考