第1,2章 線性空間及線性變換

1、矩陣分析簡(jiǎn)明教程by 張亮Email: Tel:bout textbook 教材： 矩陣分析簡(jiǎn)明教程，曾祥金，張亮，科學(xué)出版社，2010 參考文獻(xiàn)： 矩陣分析，Horn R A著，楊奇 譯，機(jī)械工業(yè)出版社 高等工程數(shù)學(xué)，于寅，華中理工大學(xué)，1995A short history Such is the advantage of a well-constructed language that its simplified notation often becomes the sourse of profund theories.-P.S. Laplace 這就是結(jié)構(gòu)好

2、的語言的好處，它的簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化的記法的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉.A short history 4000年前，Babylonians已經(jīng)會(huì)解決22的線性方程組 200 B.C. 九章解決了33的線性方程組 自此之后發(fā)展緩慢！A short history：遇到障礙 言辭數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué) 丟番圖(Diophantus of Alexandria), 約250A.C. 代數(shù)學(xué)之父 上帝讓他的童年時(shí)代占一生的六分之一，又過了一生的十二分之一，他開始長胡子，再過一生的七分之一，上帝為他點(diǎn)燃婚禮的燭光，婚后第五年，賜給他一個(gè)兒子。天哪，這真是一個(gè)晚生的孩子，孩子活到他父親一半的年齡時(shí)，殘酷的命運(yùn)之神就把他帶走了

3、；他花了四年的時(shí)間用數(shù)的科學(xué)撫慰自己的悲傷，之后也就去世了。A short history：開始發(fā)展 符號(hào)數(shù)學(xué) 韋達(dá)(Viete, 1540-1603), 引入符號(hào) 笛卡爾(Descartes, 1596-1650), 解析幾何，方法論，我思故我在 費(fèi)馬(Fermat, 1601-1665), 解析幾何，數(shù)論，微積分，費(fèi)馬猜想 牛頓(Newton,1643-1727) 萊布尼茲(Leibniz,1646-1716) .科學(xué)加速發(fā)展！A short history：線性方程組的解 1693，Leibniz創(chuàng)造了行列式； 1760，Cramer提出Cramer法則； 1815，Cauchy(178

4、9-1857)第一次系統(tǒng)定義行列式； 1811，Gauss(1777-1855)提出高斯消元法； A short history：matrix，創(chuàng)始人 Arthur Cayley (1821-1895) 17歲入劍橋大學(xué)三一學(xué)院 20歲寫了13篇文章，明確一生的研究方向 28歲入律師行，做了14年律師，其后入劍橋大學(xué) 主要貢獻(xiàn)：矩陣論，代數(shù)不變量，高維幾何（相對(duì)論的理論基礎(chǔ)之一） James Joseph Sylvester (1814-1897) 15歲入皇家學(xué)院，17歲劍橋大學(xué)；曾任保險(xiǎn)精算 62歲入約翰. 霍普金斯大學(xué)；創(chuàng)立美國數(shù)學(xué)雜志（Mathematics Magazine） 南丁格

5、爾，喜歡詩歌、發(fā)明數(shù)學(xué)名詞 矩陣?yán)碚撜摰膽?yīng)用 Cayley正在為未來的一代物理學(xué)家鍛造武器- Tait 量子力學(xué)的最佳語言 Matlab=Matrix Liboratory 幾乎所有的工程數(shù)學(xué)、科學(xué)計(jì)算 課程各章節(jié)的應(yīng)用Ch1 線性空間與線性變換-相對(duì)論Ch2 內(nèi)積空間-高維幾何Ch3 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形-控制理論Ch4 矩陣的分解-數(shù)值計(jì)算Ch5 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)-泛函分析初級(jí)Ch6 矩陣分析及其應(yīng)用-控制理論Ch7 矩陣特征值的界等-工程應(yīng)用、金融預(yù)備知識(shí)：線性代數(shù)1. 矩陣的運(yùn)算；逆矩陣；2. 線性方程組的Gauss消元；3. 矩陣的秩；4. n維向量的相關(guān)知識(shí)：線性相關(guān)性，最大線性無關(guān)組。

6、：一一. . 線性空間的基本概念線性空間的基本概念14定義：設(shè)定義：設(shè) V 是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，F(xiàn) 為數(shù)域，為數(shù)域，a a, , b b, , g g V, 對(duì)于任意的對(duì)于任意的a a, , b b V, 總有唯一的元素總有唯一的元素 g g V與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，稱稱 g g 為為a a 與與b b 的和，的和，記作記作 g g = =a a + +b b，且，且;)1(a ab bb ba a+ += =+ +);()()2(g gb ba ag gb ba a+ + += =+ + +，存存在在零零元元素素：a ab ba aa ab b= =+ + ,)3(VV; 0,)4

7、(= =+ + b ba ab ba a，存存在在負(fù)負(fù)元元素素VV;0為為并記并記為零元素，為零元素，稱稱b bb b;a ab ba ab b 為為并并記記的的負(fù)負(fù)元元素素，為為稱稱15對(duì)于任意的對(duì)于任意的 l l F 及任意的及任意的a a V ，總有唯一的元素總有唯一的元素d d V 與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，稱稱d d 為為l l與與a a 的積，記作的積，記作 d d = = lala，且，且a aa a= =1)8(a allaal l)()()5(= =lblblalab ba al l+ += =+ +)()7( a al la aa a l l+ += =+ +)()6(則稱則稱V

8、 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 F 上的線性空間，稱上的線性空間，稱V 的元素為向量，的元素為向量，稱滿足稱滿足(1)-(4)的和為加法，滿足的和為加法，滿足(5)-(8)的積為數(shù)乘。的積為數(shù)乘。線性空間定義總結(jié)線性空間定義總結(jié)17定義加法：定義加法：T2211),(nnyxyxyx+ + + += =+ +b ba a,),(T21nxxx= =a a,),(T21nnRxxx = =b b,|),(TRxxxxxxRnnn = =2121例例1. 實(shí)數(shù)域上全體實(shí)數(shù)域上全體 n 維向量的集合維向量的集合Rk 定義數(shù)乘：定義數(shù)乘：,),(T21nkxkxkxk= =a a上上的的線線性性空空間間。是是數(shù)數(shù)域域

9、 RRn上上的的線線性性空空間間。是是數(shù)數(shù)域域 CCn例例2 2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的全體上的全體 mn 矩陣，對(duì)矩陣的加法矩陣，對(duì)矩陣的加法 和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成 R上的線性空間，記作上的線性空間，記作 Rmn,nmnmnmnmRCBA = =+ +,nmnmnmRDA = =l l Rmn是一個(gè)線性空間。是一個(gè)線性空間。,)(|RaaAARijnmijnm = = = 18對(duì)于多項(xiàng)式的加法、數(shù)乘多項(xiàng)式構(gòu)成對(duì)于多項(xiàng)式的加法、數(shù)乘多項(xiàng)式構(gòu)成線性空間。線性空間。111010 ,nnnnF xaxa xa aaR = =+ + + + 19例例3 3 次數(shù)小于次數(shù)小于n 的多項(xiàng)式的全體，記

10、作的多項(xiàng)式的全體，記作 F Fxnp00001+ + + += = xxnxQn 對(duì)于多項(xiàng)式的加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成對(duì)于多項(xiàng)式的加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間線性空間n 次多項(xiàng)式的全體次多項(xiàng)式的全體0 01 + + + += =aaxaxaxQn-1n-1n-1n例例4 4.對(duì)運(yùn)算不封閉xQn20例例6 6 正實(shí)數(shù)的全體正實(shí)數(shù)的全體 R+ ，在其中定義加法及乘數(shù)，在其中定義加法及乘數(shù) 運(yùn)算為運(yùn)算為 + + = = = RbaRaaabba,l ll ll l驗(yàn)證驗(yàn)證 R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間21;)1(abbaabba = = = = );()()()(

11、2(cbacabcabcba = = = = = ;11aaa= = = = ; 111= = = = aaaa有有對(duì)任何對(duì)任何中存在零元素中存在零元素, 1)3(+ + + RaR使使有負(fù)元素有負(fù)元素,)4(1+ + + + RaRa證明證明22;1)5(1aaa= = = ;)6(aaaaal l l l l ll l l l = = = = = ; )7(aaaaaaaa l l l l l l l l l l = = = = = =+ + + l ll ll ll ll lbaababba= = = = )()()8(所以所以 對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間R+

12、+. babal ll ll ll l = = = =23例例5 5 在區(qū)間在區(qū)間a, b上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的上的線性空間，記作線性空間，記作Ca, b。24,)()(baCxgxf + + Ca, b是一個(gè)線性空間。是一個(gè)線性空間。,)(| )(,上上連連續(xù)續(xù)在在baxfxfbaC= =( ) , kf xC a b ,)(),(baCxgxf 00 or 0kka aa a= = = =定義定義: : 設(shè)設(shè)V 是一個(gè)線性空間，是一個(gè)線性空間，a a1, a a2, a anV 若若

13、 (1) a a1, a a2, a an 線性無關(guān)，線性無關(guān)， (2) a aV , a a 可由可由a a1, a a2, a an 線性表示，線性表示， a a = = x1a a1+ x2a a2+ +xna an 則稱則稱a a1, a a2, a an 為為V 的一組基，的一組基， 稱稱 n 為為V 的維數(shù)，記作的維數(shù)，記作 dimV = n 。31例例1 1 設(shè)設(shè)2 2, , ,abRa b c dRcd = = 則則2 2R 是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域 R 上的線性空間。上的線性空間。32自然基自然基 = = = = = = = =100001000010000122211211EEEE

14、,22211211dEcEbEaEdcbaA+ + + += = = =35 = = = = = =100210321321a aa aa a,例例2 設(shè)設(shè)123,aaaaaa下的坐標(biāo)。下的坐標(biāo)。求求a a = = (1,0,- -1)T 在在基基為為 R3 的一組基，的一組基，332211a aa aa aa axxx+ + += =36 = =+ + += =+ += = + + + += = 123021232101321211321211xxxxxxxxxxxx, = = = = =021321xxx為坐標(biāo)向量為坐標(biāo)向量 021212a aa aa a = =3712341101111

15、0,11100000AAAA = = = = = 2 2R 1211= = A例例3 求求中的元素中的元素，在基，在基下的坐標(biāo)。下的坐標(biāo)。38解：設(shè)解：設(shè)112233441211x Ax Ax Ax A = =+ + + + 134123121xxxxxxxxx+ + + = = + + 39134112321231411221111xxxxxxxxxxxxx+ + += = = = = = + += = = = = = = 123412211AAAA=+=+ nR =3120A2=2111A1=1013A3=7342A41 ,.,n21aaannnnC=),.,(),.,(2121aaabb

16、b,.,21nbbb,.,n21aaaX).(n21aaa=aY).(n21bbb=a ,.,21nbbbnnnnC=),.,(),.,(2121aaabbb44例例 設(shè)設(shè)3R123,aaaaaa123,b bb bb b是是中的兩組基，求由基中的兩組基，求由基到基到基的轉(zhuǎn)移矩陣的轉(zhuǎn)移矩陣P P ； 1231231001002 ,1 ,0 ;1 ,1 ,1321111a aa aa ab bb bb b = = = = = = = 45 = =310111001321321),(),(a aa aa ab bb bb b基變換公式基變換公式 = = = = = =3233222113a aa

17、ab ba aa ab ba aa ab bP 是由基是由基123,aaaaaa到基到基123,b bb bb b的轉(zhuǎn)移矩陣的轉(zhuǎn)移矩陣P00120110130030002137 :： 50定義定義: : 設(shè)設(shè)V 是數(shù)域是數(shù)域F上的線性空間，上的線性空間，W 是是V 的非空子集，的非空子集， 若對(duì)于若對(duì)于V 中的加法和數(shù)乘二種運(yùn)算，中的加法和數(shù)乘二種運(yùn)算， W 是數(shù)域是數(shù)域F 上的線性空間，則稱上的線性空間，則稱W 是是V 的子空間。的子空間。定理定理: : 設(shè)設(shè)V 是數(shù)域是數(shù)域F上的線性空間，上的線性空間，W 是是V 的非空子集，的非空子集， 若若W 對(duì)于對(duì)于V 中的加法和數(shù)乘二種運(yùn)算封閉中的

18、加法和數(shù)乘二種運(yùn)算封閉，即，即則稱則稱W 是是V 的子空間。的子空間。WW + + b ba ab ba a則則,)(1WkFkW a aa a則則,)2(。51,|),(TRxxxxWnn = =220例例1. 實(shí)數(shù)域上實(shí)數(shù)域上 n 維向量的集合維向量的集合的的子子空空間間。是是則則nRW例例2. 設(shè)設(shè)A為為mn 矩陣，矩陣，向量的集合向量的集合,|)(nRxAxxAN = = =0。或或核核空空間間的的零零空空間間并并稱稱為為的的子子空空間間是是則則)(,)(ARANn,.) 1 , 1 (,)2 , 1 (,) 1 , 0(,)0 , 1 (2413432122114321aaaaaaa

19、aaaaaspanWspanWspanWspanWTTTT=、 ： VWWWWWW+2121211.4 子空間的直和子空間的直和定義：設(shè)定義：設(shè)V1, V2 是線性空間是線性空間V 的子空間，若對(duì)每個(gè)向量的子空間，若對(duì)每個(gè)向量a V1+ V2 都有唯一的分解式都有唯一的分解式221121VaVaaaa + += =,則稱則稱V1與與V2 的和的和V1+ V2是直和，記作是直和，記作 V1 V2 。定理：設(shè)定理：設(shè)V1, V2 是線性空間是線性空間V 的子空間，則下列命題等價(jià)的子空間，則下列命題等價(jià)(2) 向量向量 0 的分解式是唯一的；的分解式是唯一的；(4) V1的一組基與的一組基與V2 的

20、一組基的的一組基的簡(jiǎn)單并簡(jiǎn)單并是是V1+ V2的基；的基；(1) V1與與V2 的和的和V1+ V2是直和是直和;(3) V1 V2 = 0; (5) dim(V1+ V2) = dimV1 + dimV2 。 設(shè)在設(shè)在Rnn中，子空間中，子空間 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 證明證明Rnn=W1 W2。例例1. 設(shè)設(shè)T 為為R2上的線性變換，上的線性變換， T : R2R2T (a) = a （如圖）（如圖）T 把向量把向量 a 繞原點(diǎn)逆時(shí)針繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) q q 角度變換為角度變換為a 。xyOaa q q稱稱T為旋轉(zhuǎn)為旋轉(zhuǎn) 變換。變換。例例2. 設(shè)設(shè)T 為為

21、R3上的線性變換，上的線性變換， T : R3R3 = = 0yxzyxTnRxAxxT = =,)(例例3. 設(shè)設(shè)T 為為 上的線性變換，上的線性變換， nRnnRRT:其中矩陣其中矩陣A是是 n 階方陣階方陣.設(shè)設(shè)T是是V上的線性變換，則上的線性變換，則(2)()( )TTa aa a = = (1)(0)0T= =11221122(3)()()()()mmmmT xxxx Tx Tx Taaaaaaaaaaaa+=+=+1212(4),(),(), ()mmTTTaaaaaaaaaaaa若若線線性性無無關(guān)關(guān)，則則線線性性無無關(guān)關(guān). .線性變換的矩陣線性變換的矩陣定義定義 設(shè)設(shè) T 為為

22、V 上的線性變換，上的線性變換，a a1, a a2, , ,a an為為 V 的基的基 + + + += =+ + + += =+ + + += =.)(,)(,)(22112222112212211111nnnnnnnnnntttTtttTtttTa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a = = =nnnnnnnnntttttttttTTTT212222111211212121),()(,),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aA 稱為稱為T 在基在基 a a1, a a2, , ,a an 下的矩陣下的矩陣. .68A, 0

23、|,1011221122211211RxxxxxxxXVBij=+=線性空間VXBXXBXTTT= ,)(例例1. 設(shè)設(shè) T 為為 上的線性變換，上的線性變換， ， 求求 T 在基在基22 R( )3T AAA = = 123411011110,11100000AAAA = = = = = 下的矩陣下的矩陣. .1111()32T AAAA = = = =解：解：2222()34T AAAA = = = =3332323()3210T AAAAA = = = = =+ + 4444()32T AAAA = = = =1234123420000410(,)(,)00200002T AAAAAAA

24、A = = 例例2. 設(shè)設(shè) T 為為R3上的變換，上的變換，下的矩陣下的矩陣. .TTxxxxxxxT),(),(3131321+ += = (2) 求求 T 在基在基 (1) 證明：證明： T 為為 R3上的線性變換；上的線性變換； = = = = = =100,101,011321a aa aa a(3) 求T 的象和核 = = =+ += = = = =2321211101112011a aa aa aa aa aa aa aTTTTTT),()(),()(),()( = =000110011321321),(),(a aa aa aa aa aa aT1.7 不變子空間不變子空間定義定

25、義: : 設(shè)設(shè)V 是線性空間是線性空間，W是是V 的子空間，的子空間， T 是是V上的上的線性變換線性變換，若，若 a W , 都有都有T(a) W, 則稱則稱W是是V的的T不變不變空間?？臻g。例例 設(shè)設(shè)T 是線性空間是線性空間V上的上的線性變換，則線性變換，則 ImT , KerT 是是T 不變不變空間；空間； 兩組基兩組基a a1，a a2，,a a n ，b b1，b b2，, b b n ， （b b1b b2b b n）=（a a1a a2a a n ）C T（a a1 a a2 a a n ）=（a a1 a a2 a a n）A T（b b1 b b2 b b n）=（b b1

26、b b2 b b n）B B=C1AC123 實(shí)內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間(歐氏空間歐氏空間)定義定義. .設(shè)設(shè)V 是一個(gè)實(shí)線性空間，是一個(gè)實(shí)線性空間，R為實(shí)數(shù)域，為實(shí)數(shù)域，78若若 a a, , b b V, 存在唯一的存在唯一的 r R與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，記作記作(a a, , b b ) = r, 并且滿足并且滿足(1) (a a, , b b ) = (b b, , a a ) (2) (a a + +b b, , g g ) = (a a, , g g ) + (b b, , g g )(3) (ka a, , b b ) = k(a a, , b b )(4) (a a, , a a )0

27、0, (a a, , a a ) = 0 0 a a = 0 0則稱則稱 (a a, , b b ) 為為a a 與與b b 的內(nèi)積，的內(nèi)積，V 為為實(shí)實(shí)內(nèi)積空間。內(nèi)積空間。實(shí)實(shí)內(nèi)積空間也稱歐幾里得內(nèi)積空間也稱歐幾里得 Euclid 空間?？臻g。對(duì)稱性對(duì)稱性線性性線性性非負(fù)性非負(fù)性79定義內(nèi)積定義內(nèi)積b ba ab ba aT2211),(= =+ + + += =nnyxyxyx,),(T21nxxx= =a aT21),(nyyy= =b b,|),(TRxxxxxxRnnn = =2121例例. 線性線性空間空間稱為內(nèi)積稱為內(nèi)積空間空間 的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。nRnmijnmijnji

28、ijijbBaAbaBA=)(,)( ,),(1,nnynxyxyxYX+=.2),(2211181定義內(nèi)積定義內(nèi)積b ba ab ba aAT),(= =,),(T21nxxx= =a aT21),(nxxx= =b bA為為 n 階實(shí)正定矩陣，階實(shí)正定矩陣，,|),(TRxxxxxxRnnn = =2121例例. 線性線性空間空間82定義內(nèi)積定義內(nèi)積 = =aadxxgxfgf)()(),(例例. 線性線性空間空間Ca, b，f , gCa, b83由定義知由定義知(5) (a a , , b b + +g g ) = (a a, , b b ) + (a a, , g g )(6) (a

29、 a, , kb b ) = k(a a, , b b )歐氏空間內(nèi)積的性質(zhì)：和復(fù)內(nèi)積空間不一致歐氏空間內(nèi)積的性質(zhì)：和復(fù)內(nèi)積空間不一致向量長度向量長度, Cauchy-Schwarz不等式不等式),(a aa a定義定義. 設(shè)設(shè)V 為為實(shí)實(shí)內(nèi)積空間，稱內(nèi)積空間，稱 為向量為向量a a 的長度，的長度，記作記作 | |a a | |。定理定理. 設(shè)設(shè)V 是是實(shí)實(shí)內(nèi)積空間，內(nèi)積空間，a a , , b b V , k R ，則，則；當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)且且00|, 0|)1(= = = a aa aa a；| |)2(a aa akk= =(4) |( ,)|,a a b ba ab b 等號(hào)成立當(dāng)且

30、僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a a , , b b 線性相關(guān)；線性相關(guān)；(3) |a ab ba ab b+ + + +。Cauchy-Schwarz不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齊次性齊次性85 = = = = niiniiniiiyxyx12121)1(例：利用例：利用Cauchy-Schwaz不等式證明不等式證明 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()()2(22向量的夾角向量的夾角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知,1| ),( |1 b ba ab ba a可可用用，中中的的結(jié)結(jié)論論對(duì)對(duì)比比nR| ),( |,cosb ba ab ba ab b

31、a a= =.,b ba ab ba a在在內(nèi)內(nèi)積積空空間間中中的的夾夾角角與與定定義義向量的正交向量的正交定義定義. 設(shè)設(shè)V 是是實(shí)實(shí)內(nèi)積空間，內(nèi)積空間，a a , , b b V , 若若 a a , , b b ) = 0= 0 , 則稱則稱 a a 與與b b 正交正交，記作，記作 a a b b 。),(|2b ba ab ba ab ba a+ + += =+ +由由知知22|),(2|b bb ba aa a+ + += =a a 與與b b 正交正交222|b ba ab ba a+ += =+ +這就是實(shí)這就是實(shí)內(nèi)積空間中的勾股定理。內(nèi)積空間中的勾股定理。 =ji0ji1F

32、nGram-Schmidt 正交化過程正交化過程Gram-Schmidt 正交化過程：正交化過程：設(shè)設(shè)是內(nèi)積空間是內(nèi)積空間V 中線性無關(guān)的向量組，中線性無關(guān)的向量組，na aa aa a,21，使得，使得則則V 中存在正交向量組中存在正交向量組nb bb bb b,21 = = nnb bb bb ba aa aa a,2121Gram-Schmidt 正交化過程正交化過程 2222|a aaaaaa a = = 1212121(,)|b abb aba ababbab= =12111(,)(,)b ab ab bbbbb= =11a ab b= =222a aa ab b = =111212

33、2),(),(b bb bb ba ab ba ab b = =),(),( ,432),0| ),(4321432144332211314321yyyyYxxxxXyxyxyxyxYXWxxxxxxXW=+=（上定義在線性空間2.3 正交子空間正交子空間定義定義: : 設(shè)設(shè)W, U是實(shí)內(nèi)積空間是實(shí)內(nèi)積空間V 的子空間，的子空間，(1) a a V , 若若 b b W, 都有都有(a, b a, b ) = 0, 則稱則稱a a 與與W 正交，記作正交，記作a a W ;(2) 若若 a a W, b b U, 都有都有(a, b a, b ) = 0, 則稱則稱W 與與U 正交，記作正交，

34、記作W U ;(3) 若若W U，并且，并且W + U = V, 則稱則稱U 為為W 的正交補(bǔ)。的正交補(bǔ)。注意：若注意：若W U，則則 W與與U 的和必是直和。的和必是直和。(i) 集合的集合的U的正交集：的正交集： U =aaV： bbU， a a，b b =0 (ii) U是是V的子空間的子空間 U 是是V子空間子空間 (iii) V=U U 。U的正交補(bǔ)子空間的正交補(bǔ)子空間正交補(bǔ)的存在唯一性正交補(bǔ)的存在唯一性定理定理: : 設(shè)設(shè)W 是實(shí)內(nèi)積空間是實(shí)內(nèi)積空間V 的子空間，則的子空間，則W 的正交補(bǔ)的正交補(bǔ)存在且唯一，記該正交補(bǔ)為存在且唯一，記該正交補(bǔ)為 ，并且，并且 W,|VWW = =

35、a aa aa a;,0)1(. = = =WVW證證再擴(kuò)充再擴(kuò)充的一個(gè)正交基的一個(gè)正交基取取,0)2(21reeeWW 記記的一個(gè)正交基的一個(gè)正交基為為,11nrreeeeV+ + = =+ +nreeU,1,|VWUWU = =a aa aa a且且的正交補(bǔ)，的正交補(bǔ)，是是往證，往證，2.4 正交變換正交變換定義定義: : 設(shè)設(shè)T 是實(shí)內(nèi)積空間是實(shí)內(nèi)積空間V 的線性變換，若的線性變換，若 a a V 有有),()(),(a aa aa aa a= =TT則稱則稱T 為為V 的正交變換。的正交變換。),(|a aa aa a= =保持向量的長度不變；保持向量的長度不變；可看做可看做等式等式T

36、TT),()(),(a aa aa aa a= =正交變換的特征刻畫正交變換的特征刻畫定理定理: : 設(shè)設(shè)T 是實(shí)內(nèi)積空間是實(shí)內(nèi)積空間V 的線性變換，的線性變換，a a, , b b V ，保持向量的長度不變；保持向量的長度不變；即即TTT),()(),()1(a aa aa aa a= =保保持持向向量量的的內(nèi)內(nèi)積積不不變變；即即TTT),()(),()2(b ba ab ba a= =則下列命題等價(jià)，則下列命題等價(jià)，的標(biāo)準(zhǔn)正交基，的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是是Veeen,21的標(biāo)準(zhǔn)正交基；的標(biāo)準(zhǔn)正交基；是是VeTeTeTn)(,),(),()3(21,)4(21AeeeTn下下的的矩矩陣陣是是在在標(biāo)標(biāo)

37、準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基若若EAAAT= =即即是正交陣是正交陣則則,98推論推論：(1) 兩個(gè)正交變換的積仍是正交變換；兩個(gè)正交變換的積仍是正交變換；(2) 正交變換的逆變換仍是正交變換。正交變換的逆變換仍是正交變換。11,2 = = = =|A|A|EAAAT，則則，即即是正交陣是正交陣設(shè)設(shè),21AeeeTn下下的的矩矩陣陣是是在在標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交基基設(shè)設(shè)正正交交變變換換或或稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換；為為第第一一類類的的正正交交變變換換，稱稱時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)T|A|1= =為為第第二二類類的的正正交交變變換換。稱稱時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)T|A|1 = =), 3 , 2()(,)(:11njTTjj= = =

38、= =a aa aa aa a定定義義例例如如，.,也也稱稱為為鏡鏡面面反反射射此此時(shí)時(shí)變變換換就就是是一一個(gè)個(gè)第第二二類類的的正正交交則則TT2.5 復(fù)內(nèi)積空間復(fù)內(nèi)積空間定義定義. .設(shè)設(shè)V 是一個(gè)復(fù)線性空間，是一個(gè)復(fù)線性空間，C 為復(fù)數(shù)域，為復(fù)數(shù)域，99若若 a a, , b b V, 存在唯一的存在唯一的 c C與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，記作記作(a a, , b b ) = = c, 并且滿足并且滿足(2) (a a + +b b, , g g ) = = (a a, , g g ) + (b b, , g g )(3) (ka a, , b b ) = = k(a a, , b b )(4) (a a, , a a )00, (a a, , a a ) = = 0 0 a a = = 0 0則稱則稱 (a a, , b b ) 為為a a 與與b b 的內(nèi)積，的內(nèi)積，V 為為復(fù)復(fù)內(nèi)積空間。內(nèi)積空間。復(fù)復(fù)內(nèi)積空間也稱酉空間。內(nèi)積空間也稱酉空間。對(duì)稱性對(duì)稱性線性性線性性非負(fù)性非負(fù)性(1) (a a, , b b ) = = (b b, , a a ) 10