導(dǎo)數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型】題型一運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題例1設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時(shí)，exx22ax1. (1)解由f(x)ex2x2a，xr知f(x)ex2，xr.令f(x)0，得xln 2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)

2、證明設(shè)g(x)exx22ax1，xr，于是g(x)ex2x2a，xr.由(1)知當(dāng)aln 21時(shí)，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對(duì)任意xr，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在r上是增加的于是當(dāng)aln 21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1. 已知f(x)xln x. (1)求g(x)(kr)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當(dāng)x1時(shí)，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，當(dāng)k0時(shí)，g(x)0.函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0，)，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)k0時(shí)g(x

3、)0得xk；g(x)0得0x0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是增加的(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上是增加的，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上是減少的，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，當(dāng)1xa時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，a)上是減少的；當(dāng)ax0，f(x)在(a，e)上是增加的，f(x)minf(a)ln(a)1

4、，a.綜上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時(shí)，h(x)0，h(x)在(1，)上是減少的h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是減少的g(x)g(1)1，當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2在(1，)上恒成立 已知函數(shù)f(x)ax33x1對(duì)x(0,1總有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案4，)解析當(dāng)x(0,1時(shí)不等式ax33x10可化為a，設(shè)g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)與g(x)隨x的變化情況如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值為4，則實(shí)數(shù)a的取

5、值范圍是4，)導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題典例：(12分)(2011遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)xax2bln x，曲線yf(x)過(guò)p(1,0)，且在p點(diǎn)處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)2x2. (1)解f(x)12ax.1分由已知條件得即解得4分(2)證明因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.設(shè)g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，則g(x)12x.8分當(dāng)0x0，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0時(shí)，g(x)0，即f(x)2x2.12分一、選擇題(每小題5分，共20分)1 已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a(1,2) b(，3)(6，)c(3,6) d(，1)(2，)答案b解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根4a243(a6)0，即a23a180.a6或a2 bm2cm0，f(x)，令g(x