三重積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1三重積分三重積分(2) 近似近似),(max1inid 令令),2 , 1( ,),(niVfMiiiii ,),(11iniiiiniiVfMM (3) 求和求和,0時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng) ),(iii 在 上任取一點(diǎn)i (4) 取極限取極限 iniiiiVfM 10),(lim 第1頁(yè)/共36頁(yè)如果有界函數(shù),定義定義10.2),(max1inid 令令n ,21將空間區(qū)域 任意分成n個(gè)小閉區(qū)域 記小閉區(qū)域 的體積為,iV i ).,(iii 在 上任取一點(diǎn)iiniiiiVf 10),(lim 存在存在,則稱函數(shù) 在上可積,),(zyxf設(shè)設(shè) 是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域 上的上的),(z

2、yxf第2頁(yè)/共36頁(yè)iiiniiVf ),(lim10 Vzyxfd),(體積元素體積元素三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義設(shè)被積函數(shù)設(shè)被積函數(shù), 1),( zyxf VVVdd1則區(qū)域V 的體積為非均勻密度物體的質(zhì)量可表示為非均勻密度物體的質(zhì)量可表示為 VzyxMd),( 三重積分的計(jì)算一般是先化為一個(gè)二重積三重積分的計(jì)算一般是先化為一個(gè)二重積分和一個(gè)定積分分和一個(gè)定積分, 最后化為三次定積分最后化為三次定積分. 記第3頁(yè)/共36頁(yè)zyxVdddd 相應(yīng)的體積元素為相應(yīng)的體積元素為在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為三重積分可表為 Vzyxfd),(在空間直角坐標(biāo)系中,用平行于三個(gè)

3、坐標(biāo)面的平面的來(lái)劃分積分區(qū)域 , zyxzyxfddd),(10.3.2 在空間直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在空間直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分得到的小閉區(qū)域?yàn)榈玫降男￠]區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方體,第4頁(yè)/共36頁(yè)),(:11yxzz xyDyx ),(,1穿入穿入從從z1. 投影法投影法(先一后二法先一后二法),(:22yxzz 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 xOy在在面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直線作直線,穿穿出出從從2zxyzO xyDab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z,看看作作定定值值先先將將yxzzyxf只看作只看作將將),(的函數(shù)的函數(shù)

4、,xyD第5頁(yè)/共36頁(yè) ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyx,),()(:21bxaxyyxyDxy ),(yx 再計(jì)算再計(jì)算上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間xyDd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( xyD d Vzyxfd),(于是于是 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd則則第6頁(yè)/共36頁(yè)z =0y = 0 x =00y x : 平面平面 x= 0, y = 0, z = 0, x+2y+ z =1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.x0z y1121DxyDxy:x = 0, y =

5、0, x+2y =1 圍成圍成121 yxxzyxxddd 481 例1 計(jì)算三重積分x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxDzxyxxydddI =解解第7頁(yè)/共36頁(yè)解解1:22 yxD例例2 化三重積分化三重積分 為三次積分為三次積分,222yxz 22xz 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 22222xzyxz由由其中積分區(qū)域?yàn)橛汕嫫渲蟹e分區(qū)域?yàn)橛汕娴猛队皡^(qū)域得投影區(qū)域 ：2211xyx 11 x 11221122222d),(ddxyxxxzzyxfyxI22222xzyx xyzO22xz 222yxz zyxzyxfIddd),(故故第8頁(yè)/共36頁(yè)例例3

6、求求 zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解解2ye 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),應(yīng)先應(yīng)先 x 對(duì)積分對(duì)積分 zyx10d 10d)1(yy21541 一定要交換積分次序. I 10d)1(yy1 zyxxyzO 10d)1(yy yzyzye102)1()1(d2 yzyzzye10)1(d)1(2 yzyze101d2)(第9頁(yè)/共36頁(yè) 2. 截面法截面法( (先二后一法先二后一法) )(紅色部分紅色部分)()1(軸軸如如向向某某軸軸把把積積分分區(qū)區(qū)域域z 投影投影,得投影區(qū)間得投影區(qū)間;,21cc,)2(21 的的平平面面去去截截軸軸且且平平行行用

7、用過(guò)過(guò)對(duì)對(duì)xOyzccz;zD得截面得截面(3) 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函數(shù)的函數(shù)其結(jié)果為其結(jié)果為(4) 最后計(jì)算定積分最后計(jì)算定積分.d)(21 cczzFxzoy 1c2czzD.dd),(d),(21 zDyxzyxfccdzVzyxf即即第10頁(yè)/共36頁(yè) zyxzddd zDyxdd1| ),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法(先二后一法先二后一法)解解)1)(1(21zz 10dzz例例4 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 其中其中 為三個(gè)坐為三個(gè)坐 ,dddzyxz.1所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面 zyx原式原式zz

8、zd)1(21210 241 111xyzO1 zyxzD第11頁(yè)/共36頁(yè) cczz d2 zDyxdd Dz1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd1222 3154abc =例例5 計(jì)算計(jì)算 其中其中 是由是由x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.,ddd2zyxzI 第12頁(yè)/共36頁(yè),0 r 20 z規(guī)定規(guī)定:xyzo ),(zyxM),( rP),(zr , r稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)M 的的柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo).設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空

9、間內(nèi)一點(diǎn), 并設(shè)點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在在xOy面上的投影面上的投影P 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為則這樣的三個(gè)數(shù)則這樣的三個(gè)數(shù)r第13頁(yè)/共36頁(yè)z動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , z)r =常數(shù)常數(shù): 柱面柱面Sz =常數(shù)常數(shù):平面平面 x0yzMrz柱面坐標(biāo)下的三坐標(biāo)面分別為第14頁(yè)/共36頁(yè)動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , z)半平面半平面P =常數(shù)常數(shù):zx0yzMr 柱面坐標(biāo)下的三坐標(biāo)面分別為r =常數(shù)常數(shù): 柱面柱面Sz =常數(shù)常數(shù):平面平面 第15頁(yè)/共36頁(yè) zzryrx sincos直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為 2. 積分區(qū)域積分區(qū)域 是由柱面、錐面、是由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面、平、

10、平 面或球面所圍成面或球面所圍成. 常用柱面坐標(biāo)計(jì)算常用柱面坐標(biāo)計(jì)算 1. 若被積函數(shù)形如若被積函數(shù)形如);(22yxf 在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下,222ryx 因此 r0 20 z第16頁(yè)/共36頁(yè)xz y0 drrrd d z平面z元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面及 +d ; 半徑為r及 r +dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；柱面坐標(biāo)下的體積元素第17頁(yè)/共36頁(yè)xz y0 drrrd d z底面積底面積: r drd 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：dz平面平面z+dz半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz；

11、第18頁(yè)/共36頁(yè)xz y0 drrrd d zdz ),sin,cos(zrrf zrrddd dV =zrrddd zyxzyxfddd ),( dV底面積底面積: r drd 第19頁(yè)/共36頁(yè) zrrzrrfddd),sin,cos( 三重積分在柱面坐標(biāo)系下的表達(dá)式為三重積分在柱面坐標(biāo)系下的表達(dá)式為通常化為先對(duì)通?；癁橄葘?duì) z、再對(duì)、再對(duì)r、后對(duì)、后對(duì) 的三次積分的三次積分. Vzyxfd),( xyzO 1S),(1 rzz 2S),(2 rzz 1z2z rD),( r先將在 xOy面上的投影域用極坐標(biāo)不等式表示, )()(21 rrr 再確定再確定 的下的下, 上邊界面上邊界面)

12、,(1 rzz ),(2 rzz 第20頁(yè)/共36頁(yè),: )()(21 rrr zrzrrfdddr),sin,cos( 故故 ),(),(21d),sin,cos( rzrzzrzrrf )()(21d rrr d,1穿入穿入從從z過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 作直線作直線,穿穿出出從從2z),(),(21 rzzrz rDr ),(第21頁(yè)/共36頁(yè)解解 由由 1322zyx得交線得交線,面上面上投影到投影到把把xOy 20, 3043:22 rrzr，3:22 yxD 22432030dddrrzrzrI 413 224yxz 與 所圍成的立體.例6 計(jì)算 其中 是由 zyxzyx3422222zyx322

13、 ,ddd zyxzI第22頁(yè)/共36頁(yè),ddd1122zyxyxI 0 xz y1Dxy 110220dd1drzrrrI 222ln 1例7 計(jì)算 102d1112rrr 解解其中 是由 所圍成.1 222 zzyx與與第23頁(yè)/共36頁(yè)解解,ddd222zyxyxeIz 與平面與平面 所圍成的錐臺(tái)體所圍成的錐臺(tái)體.22yxz xyzO22yxz 可看出如先對(duì)可看出如先對(duì)z 積分積分, 積不出來(lái)積不出來(lái).這里應(yīng)先對(duì)這里應(yīng)先對(duì) 、r 積分積分,最后對(duì)z積分.zrrreIzddd2 20021ddd2zzrze)(4ee zzezd2212 例8 計(jì)算其中 是由錐面21 zz、第24頁(yè)/共36

14、頁(yè) P zyxA,0 記投影記投影向量與向量與x軸正方向的軸正方向的.20 規(guī)定:, ,0 ),(zyxM OM再再將將正方向間的夾角為正方向間的夾角為軸軸與與zOM, 之之長(zhǎng)長(zhǎng)為為記記向向量量OMxyzO設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn),向向xOy平面投影平面投影,夾角為, *10.3.3 利用球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分稱稱 為點(diǎn)為點(diǎn)M 的的球面坐標(biāo)球面坐標(biāo).),( 第25頁(yè)/共36頁(yè)直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為 2. 積分區(qū)域積分區(qū)域 是由球面、錐面或平面所圍成是由球面、錐面或平面所圍成. 常用球面坐標(biāo)計(jì)算常用球面坐標(biāo)計(jì)算 cossinsincossinz

15、yx 0 0 20 因此 在球面坐標(biāo)下在球面坐標(biāo)下,2222 zyx 1. 若被積函數(shù)形如若被積函數(shù)形如);(222zyxf 第26頁(yè)/共36頁(yè)SMyz x0=常數(shù)常數(shù): =常數(shù):球面球面S動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(, , )球面坐標(biāo)下的三坐標(biāo)面分別為第27頁(yè)/共36頁(yè)=常數(shù)常數(shù): 球面球面S =常數(shù):半半平面平面P動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(, , )Myz x0 =常數(shù): 錐面C第28頁(yè)/共36頁(yè) dd sin xz y0圓錐面圓錐面 d 球面圓錐面圓錐面 +d 球面球面+d元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d sin d 球面坐標(biāo)下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑半徑為為及及+d的球的球面

16、面；圓錐面圓錐面 及及 +d 第29頁(yè)/共36頁(yè) dd xz y0 ,sinsin,cossin( fd d 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：成：sin d zyxzyxfddd ),( 2sin dd d dVdV =半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為及及+d的球面的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d dddsin)co2s第30頁(yè)/共36頁(yè) zyxzyxfddd),( dddsin)cos,sinsin,cossin(2f三重積分在球面坐標(biāo)系下的表達(dá)式為三重積分在球面坐標(biāo)系下的表達(dá)式為通?；癁橄葘?duì)通?；癁橄葘?duì) 再對(duì)再對(duì) 后對(duì)后對(duì) 的三次積分的三次積分. , , 第31頁(yè)/共36頁(yè)xOyzaz seca 222zyx 4 20,40,sec0: a例9 計(jì)算 其中是由錐面 與平面 所圍的立體.222zyx 解解 采用球面坐標(biāo)采用球面坐標(biāo),ddd)(222 zyxzyxI)0( aaz所以第32頁(yè)/共36頁(yè) dsindd40sec0420 a dcos51sin25540a 5103a zyxzyxIddd)(222第33頁(yè)/共36頁(yè)例例10 求求 其