線性代數(shù)復(fù)習(xí)廣東外語外貿(mào)大學(xué)2.6矩陣的秩

1、2.6 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣的秩一、矩陣的秩1、定義：在、定義：在 矩陣中，任取矩陣中，任取k k行行k k列列 ， 位于這些行列位于這些行列交叉處的交叉處的k k2 2個元素，個元素，不改變不改變它們它們 在在a中所處的位置次序而得到的中所處的位置次序而得到的k k階行列式階行列式， 稱為矩陣稱為矩陣a的的k k階子式階子式。nmnkmk1 ,11210020224200101a二階子式二階子式2010二階子式二階子式4210一階子式一階子式1一階子式一階子式0nm注：注： 矩陣矩陣a的的k階階 子式共有子式共有 個。個。knkmcc00002 1210020224200101aa的三階

2、子式的三階子式均為均為0a=0(四階四階)2、定義：設(shè)、定義：設(shè)a為為 矩陣，如果矩陣，如果存在存在a的的r r階階子式子式不為不為 零零，而，而任何任何r+1階子式階子式(如果存在的話如果存在的話)皆為零皆為零， 則稱數(shù)則稱數(shù)r為矩陣為矩陣a的的秩秩，記為，記為r(a)(或或r(a)，并，并 規(guī)定規(guī)定零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零r(o)=0 。nm故上面矩陣故上面矩陣r(a)例：求矩陣?yán)呵缶仃?的秩。的秩。00000340005213023012b行階梯形矩陣行階梯形矩陣非零行的數(shù)目是非零行的數(shù)目是唯一的唯一的如何判斷子式？如何判斷子式？一階開始？一階開始？四階開始？四階開始？結(jié)論？結(jié)

3、論？ 結(jié)論存在普遍性？結(jié)論存在普遍性？二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法-當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，按定義求秩是非常麻煩的。由于當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，按定義求秩是非常麻煩的。由于 行階梯形矩陣的秩很容易判斷，而任意矩陣都可以經(jīng)過有限次行階梯形矩陣的秩很容易判斷，而任意矩陣都可以經(jīng)過有限次 初等行變換化為行階梯形矩陣，因而借助初等變換法求矩陣的初等行變換化為行階梯形矩陣，因而借助初等變換法求矩陣的 秩。秩。1、定理：若、定理：若 ，則，則ba)()(brar證明：證明：利用初等行變換求矩陣的秩的方法：利用初等行變換求矩陣的秩的方法：用初等用初等行行變換把矩陣變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中變換

4、把矩陣變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中的非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩。的非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩。例例1：設(shè)：設(shè) ，求矩陣，求矩陣a的秩，的秩， 并求并求a的一個最高階非零子式。的一個最高階非零子式。41461351021632305023a41461351021632305023a41rr 05023351021632341461141312323rrrrrr1281216011791201134041461242343rrrr8400084000113404146134rr 000008400011340414613)(ar1023230230502623523016 2、矩陣的秩的性質(zhì)：

5、、矩陣的秩的性質(zhì)：(1)若矩陣若矩陣a中有某個中有某個s階子式不為階子式不為0，則，則sar)(2)若若a中所有中所有t階子式全為階子式全為0，則，則tar)(3)若若a為為 矩陣，則矩陣，則nmnmar,min)(0(4)()(tararnmar,min)(當(dāng)當(dāng) 時，稱矩陣時，稱矩陣a為為滿秩矩陣滿秩矩陣，否則稱為，否則稱為降秩矩陣降秩矩陣。上面的矩陣上面的矩陣a與與b均為降秩矩陣。均為降秩矩陣。例例2：設(shè)：設(shè) ，已知，已知r(b)=2，求，求 與與 的值。的值。6352132111b6352132111b131253rrrr45804430211123rr 0150443021112)(b

6、r01,051,5例例3：設(shè)：設(shè)a為為n階非奇異矩陣，階非奇異矩陣，b為為 矩陣。試證：矩陣。試證：a與與 b之積的秩等于之積的秩等于b的秩，即的秩，即r(ab)=r(b)nm結(jié)論：若一個結(jié)論：若一個n階矩陣階矩陣a是滿秩的，則是滿秩的，則 ，即，即a為非奇異的。為非奇異的。 反之亦然。反之亦然。0aa為非奇異為非奇異0aa可逆可逆存在存在k個初等矩陣個初等矩陣g1,g2,gk，有，有kggga21bgggabk21即對即對b進(jìn)行初等行變換進(jìn)行初等行變換bab brabr矩陣的秩的性質(zhì)：矩陣的秩的性質(zhì)：(5)()(),()(),(maxbrarbarbrar(6)()()(brarbar(7)(),(min)(brarabr(8)若若 ，則，則obatnnmnbrar)()(例例3：設(shè)：設(shè)a為為n階矩陣，證明階矩陣，證明nearear)()()()