常微分方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1常微分方程常微分方程1sin)(22ttttcos)(1)( t2122)(ctctt 3 函數(shù)方程（或泛函方程），其未知量為函數(shù)其特點：方程的解為有限個或無窮多個函數(shù)。由于方程的解為函數(shù)，一個函數(shù)又是主要由對應(yīng)法則決定的，所以函數(shù)方程的表現(xiàn)形式往往比較復(fù)雜,除了有函數(shù)外,還要有表示對應(yīng)關(guān)系的自變量,如上例中的t。第1頁/共24頁定義：包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導(dǎo)數(shù)（或微商）的關(guān)系式，稱之為微分方程 。 例2 . 1xy )(xfy 0) 1( . 22222urdrdurdrudr)()( . 3xyxpdxdy4. dxxydtdyxydt這些例子的共同特征是同一個函

2、數(shù)關(guān)于同一個變量的各階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這類微分方程稱之為常微分方程這個被稱為常微分方程組第2頁/共24頁25. 0ux y 22222 6. 4uuux yy 27. ( )sinfxx是函數(shù)方程，但不是微分方程這兩個例子是同一個函數(shù)關(guān)于多個變量的各階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這類微分方程稱之為偏微分方程第3頁/共24頁微分方程的階在一個微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。當(dāng)n=1時，稱為一階微分方程；當(dāng)n1時，稱為高階微分方程。 例如)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy一階二階第4頁/共24頁如果常微分方程的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則稱它

3、為線性常微分方程，否則，稱它為非線性常微分方程。例如：)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy線性，類似于高等代數(shù)中的u+w+z= v非線性，類似于高等代數(shù)中的20u +w+z=22( )d ydytcyf tdtdt線性，類似于高等代數(shù)中的u+w+z= v第5頁/共24頁)()()()()1(1)(0 xgyxayxayxannn 0)(0 xa)(),(,),(),(10 xgxaxaxan n階線性微分方程的一般形式為：其中均為 的已知函數(shù)x如：2階線性方程的一般形式)()()()(210 xgyxayxayxa xxexyyxy sin2第6頁/共24頁)(xyy

4、xdxdy21xy122 yx若將函數(shù)代入方程后使方程有意義且“”成立則稱函數(shù) 為該方程的一個解.)(xy例如，一階微分方程 有解即關(guān)系式包含了方程的解。第7頁/共24頁例：二階方程gdtsd2221221)(ctcgtts其通解而221)(gtts是方程滿足初始條件0) 0 ( , 0) 0 (ss解。第8頁/共24頁編號微分方程自變量未知函數(shù)常或偏階數(shù)是否線性1234344ssdsd4否2)(1yyxyxy常常s1否2否常xxyy1是偏u2222yuxutu02cosxydxdyt第9頁/共24頁第10頁/共24頁一般情況下，只有具有下述形式或可轉(zhuǎn)變?yōu)橄率鲂问降奈⒎址匠滩趴墒褂米兞糠蛛x法求

5、解：( ) ( ) (2.1)dyf xydxyxdxdy例如：第11頁/共24頁如果( )0y(1) 分離變量 dxxfydy)()(2) 兩邊積分 dxxfydy)()(2.2)用G(y)，F(xiàn)(x)分別表示)()(1xfy及的某一個原函數(shù)(3) 方程（2.1）的通解為G(y)=F(x)+C第12頁/共24頁如果存在iy直接驗證得: ，使得()0, 1,2,iyikiyy 為方程(2.1)的常數(shù)解。 的解為kiyyCxFyGi, 2 , 1 ,)()(結(jié)論：( ) ( ) (2.1)dyf xydx分離變量方程第13頁/共24頁解 1 分離變量 xdxydy2 兩邊積分xdxydy22222

6、cxy3 yxdxdy例1 求解方程01)(yycyx22（c 為任意正常數(shù)）或者2xcy求通解第14頁/共24頁解0y時(1) 分離變量xdxydycos2通解中，因而方程還有解 y = 0cxdxydycos2cxysin1（3） 求解方程 xydxdycos2并求出滿足初始條件：當(dāng) x = 0時 y = 1的特解。例2 cxysin1（c為任意常數(shù)）為方程的通解。注意 y = 0 時，也是方程的解，而其并不包含在(2) 兩邊積分第15頁/共24頁求特解 將初始條件 y (0)=1代入通解中，得c = -1則滿足所給條件的特解為:1sin1xy所以，原方程的解為0sin1ycxy第16頁/

7、共24頁(2.2.1)的方程稱為一階線性微分方程(即關(guān)于 是線性的) yy,其中 )(),(xQxP為 x 的已知函數(shù)。當(dāng) 時，稱為齊次線性方程; 當(dāng) 0)(xQ時，稱為非齊次線性方程。 形如)()(xQyxPyyxPy)(2.2.2)0)(xQ第17頁/共24頁（1）齊次線性方程yxpy)(.(2.2.2)0 xyysin 試求微分方程這是一個可分離變量的方程,用分離變量法得到其通解為dxxpcey)(.(2.2.3)其中c為任意常數(shù)。 的通解,并求滿足條件的 特解2)2(y第18頁/共24頁設(shè)想方程 )()(xQyxPy有形如(2.2.3)的解，但其中的常數(shù)c變易為x的待定函數(shù) 即設(shè)dxx

8、Pexcy)()(.(2.2.4) dxxPcey)(2.2.3)方程的解,再代入原方程求出C(x)即可.dxxpcey)(第19頁/共24頁例2 xxydxdyx2cossincos解1) 先求對應(yīng)的齊次方程通解 xydxdyxsincos)(ccos為任意常數(shù)xcy 2) 用常數(shù)變易法求方程通解 設(shè)xxcycos)(是方程的解，代入原方程，得得到xxc2cos)(所以sin2( )42xxc xC所以原方程的解為.第20頁/共24頁20pq是上述常系數(shù)微分方程的特征方程。220d ydypqydxdx形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。p,q其中均為實常數(shù).易知，特征方程有三種情況：兩個相等的實根,兩個不相等的實根1 , 2,一對虛根i,12xxyC eC xe則1212xxyC eC e則1