多元函數(shù)微分關系及微分應用

1、 多元函數(shù)微分關系及微分應用1 多元函數(shù)微分學是建立在一元函數(shù)微分學的基礎上,由一元函數(shù)的微分學推廣及發(fā)展而來的。多元函數(shù)的自變量比一元函數(shù)更多為兩個或兩個以上,所以多元函數(shù)微分學的情形更加多變,在一元函數(shù)里,描述函數(shù)大致性質(zhì)特點的主要的定義是連續(xù)及可導可微,但是對于多元函數(shù)來說,描述其大致特點的主要定義則為連續(xù),偏導數(shù),可微,方向?qū)?shù)。盡管這些概念并不相同,但它們都是從不一樣的層面來描述函數(shù)的性質(zhì),所以它們之間必然存在聯(lián)系,而且梳理好各概念之間的關系對于更加清晰地了解函數(shù)的性質(zhì)形態(tài)有著更為重要的意義。所以本文的重點之一就是深刻的分析討論這些概念之間的關系。多元函數(shù)微分學的應用也是很廣范的,大

2、多用于數(shù)學計算,多遠函數(shù)的應用舉例就是本文的第二個重點。2 連續(xù)、偏導存在、可微和方向?qū)?shù)存在之間的關系圖為了更為方便地認識以及了解多元函數(shù)的微分學里各概念間的聯(lián)系,提供以上的關系圖:.2連續(xù)、偏導存在、可微及方向?qū)?shù)存在之間的關系分析通過以上關系圖,我們從六個角度來描述各個概念間的聯(lián)系:2. 1連續(xù)和偏導存在之間的關系(1) 如果函數(shù)在一點連續(xù),那此函數(shù)在此點的偏導數(shù)則不一定存在。(2) 例1 1 函數(shù) f( x , y)= |x| + |y | .顯然有即函數(shù)在( 0 , 0)點處連續(xù). 但都不存在.（2）即使某函數(shù)在某點處有偏導數(shù)，此函數(shù)也不一定在此點連續(xù)。找出函數(shù)在（0,0）點的兩個偏

3、導數(shù)然而極限不存在,換言之函數(shù)于原點不是連續(xù)的。2. 2連續(xù)和可微之間的關系（1）即使函數(shù)于一點處連續(xù)，函數(shù)于此點也不一定可微。(1)由于可知f(x,y)在（0,0）點連續(xù)以下分析函數(shù)在( 0 , 0)點處的可微性. 易知,所以從而，極限不存在. 所以可得函數(shù)在原點處是不可微的。( 2)若函數(shù)在一點處可微,則函數(shù)在該點處必連續(xù) 2.事實上,若函數(shù)z =f( x , y)在點( x , y)處可微,則有l(wèi)im 0 z =0. 又從而即函數(shù)z =f( x , y)在點( x , y)處連續(xù)2. 3可微和方向?qū)?shù)存在之間的關系( 1)若函數(shù)在一點處可微,則函數(shù)在該點處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在。.(

4、證明略. )( 2)即使函數(shù)在某點的某方向有方向?qū)?shù)，函數(shù)在此點也不一定可微。由方向?qū)?shù)的定義,函數(shù) f( x , y)在( 0 , 0)點處沿 x 軸( 即 l =i)方向的方向?qū)?shù)為而偏導數(shù)和都不存在，所以函數(shù)在原點處不可微分 2. 4偏導存在和方向?qū)?shù)存在之間的關系(1)假若函數(shù)于某點存在偏導數(shù),那么在此點一定有偏導數(shù)(沿坐標軸方向)存在。假如函數(shù)于點p0(x0,y0)存在偏導,即存在fx(x0y0),fy(x0,y0)。沿坐標軸x和y的單位方向向分別為記為elx和ely,且有則函數(shù) f( x , y)在該點處沿 x 軸方向的方向?qū)?shù)為一樣的,方向?qū)?shù)(沿y坐標軸方向的)為( 2)若函數(shù)

5、在一點處沿某一方向的方向?qū)?shù)存在,則函數(shù)在該點的偏導未必存在。參照2. 3( 2)中例4 便可說明.2. 5可微和偏導存在之間的關系( 1)若函數(shù)在一點處可微,則函數(shù)在該點的偏導必存在。.( 證明略. )(2)即使函數(shù)在某點處有偏導數(shù),此函數(shù)也不一定在此點可微。.通過2. 2( 1)中的例3 就能說明。( 3)若函數(shù)在一點處的偏導數(shù)連續(xù),則函數(shù)在該點處必可微 2.( 證明略. )2. 6連續(xù)和方向?qū)?shù)之間的關系(1)假設在一點函數(shù)連續(xù),那么函數(shù)于此點的方向?qū)?shù)也不一定存在.顯然有換言之函數(shù)于原點處連續(xù)。接下來分析于此點任意一方向這個函數(shù)的方向?qū)?shù)均不存在。任取以( 0 , 0)為始點的射線 l

6、 ,而el =( co s , co s)是與l 同方向的單位向量,則所以此函數(shù)不存在方向?qū)?shù)。( 2)若函數(shù)在一點處沿某一方向的方向?qū)?shù)存在,則函數(shù)在該點處未必連續(xù)。.易知函數(shù)在( 0 , 0)點處沿直線 x =0 的方向?qū)?shù)存在,此時單位向量el =i =( 1 , 0),則但是該函數(shù)于原點的所有鄰域里既有f=0的點,又有f=1的點,所以函數(shù)于原點處不連續(xù)。(3) 如果,于任何一點的任何一方形函數(shù)的方向?qū)?shù)存在,那么函數(shù)于此點連續(xù)。設函數(shù)z =f( x , y)在點p0( x0 , y0)的某個鄰域內(nèi)有定義, l 為以( x0 , y 0)始點的任一射線,el=(cos,cos)是與l一個

7、方向的單位向量,p(x0+tcos,y0+tcos)為l上任一點,且pu(p0).由于函數(shù)z =f( x , y)在點( x , y )處沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,即所以有從而有以上方程表明函數(shù)在原點沿任一方向都連續(xù),則對0,任意的p(x,y)u(p0,)只要有半徑充分小的鄰域,都可以使換言之函數(shù)f(x,y)于(x0,y0)處連續(xù)。.3結論理解多元函數(shù)徽分學中各概念之間的關系,對學好多元函數(shù)徽分學的相關內(nèi)容將起到至關重要的作用. 本文在給出多元函數(shù)微分學中連續(xù)、偏導存在、可微和方向?qū)?shù)存在4 個基本概念的基礎上,從6 個方面深入分析了各概念之間的關系,并得到了14 個與之相關的結論,這些結論對于深刻了解和掌握多元函數(shù)微分學的基本概念,以及體會函數(shù)形態(tài)具有一定的指導性意義。 多元函數(shù)微分學在微分方程中的應用 （97年考研試題） 多元函數(shù)微分學在幾何中的應用首先給出多元函數(shù)微分法在空間幾何中的應用的兩個定理作為本文的引理1引理2引理1設空間曲線f的參數(shù)方程為其中x，y，