2021高考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練2.63課時(shí)突破函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性極值最值問題課件

1、3課時(shí)突破 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題 考向一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性命題角度命題角度1 1確定函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性( (區(qū)間區(qū)間) )【典例【典例】1.1.已知已知f(x)=lnf(x)=ln x+ x+ ,ar,ar且且a0,a0,討論函數(shù)討論函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)h(xh(x)=a)=ax x-xln-xln a, a,其中其中a0a0且且a1.a1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .11axa【解析【解析】1.1.函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,+

2、),(0,+),則則f(xf(x)= .)= .當(dāng)當(dāng)a0a0)0恒成立恒成立, ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí), ,由由f(xf(x)0,)0,得得x ;x ;由由f(xf(x)0,)0,得得0 x ,0 x ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )在（在（ ，+）上單調(diào)遞增）上單調(diào)遞增, ,在（在（0 0， ）上單調(diào)遞減）上單調(diào)遞減. .綜上所述綜上所述, ,當(dāng)當(dāng)a0a0a0時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在（在（ ，+）上單調(diào)遞增）上單調(diào)遞增, ,在（在（0 0， ）上單調(diào)遞減）上單調(diào)遞減. .2211ax1xaxax

3、1a1a1a1a1a1a2.h(x)=a2.h(x)=ax x-xln-xln a, a,有有h(xh(x)=(a)=(ax x-1)ln a,-1)ln a,令令h(xh(x)=0,)=0,解得解得x=0.x=0.若若0a1,0a1,則則lnln a0. aaa0 0=1,=1,即即a ax x-10,-10,所以所以h(xh(x)=(a)=(ax x-1)ln a0,-1)ln a0,函數(shù)函數(shù)h(xh(x) )單調(diào)遞減單調(diào)遞減; ;當(dāng)當(dāng)x(0,+)x(0,+)時(shí)時(shí),a,ax xaa0 0=1,=1,即即a ax x-10,-10,-1)ln a0,函數(shù)函數(shù)h(xh(x) )單調(diào)遞增單調(diào)遞增

4、. .當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí), ,則則lnln a0. a0.當(dāng)當(dāng)x(-,0)x(-,0)時(shí)時(shí),a,ax xaa0 0=1,=1,即即a ax x-10,-10,所以所以h(xh(x)=(a)=(ax x-1)ln a0,-1)ln aaa0 0=1,=1,即即a ax x-10,-10,所以所以h(xh(x)=(a)=(ax x-1)ln a0,-1)ln a0,函數(shù)函數(shù)h(xh(x) )單調(diào)遞增單調(diào)遞增. .綜上綜上, ,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+),(0,+),遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為(-,0).(-,0).【探究延伸【探究延伸】若將本例若將本例2 2改為改為: :已知函數(shù)已

5、知函數(shù)p(xp(x)=a)=ax x-txln-txln a, a,其中其中a0a0且且a1.a1.試求它的單調(diào)區(qū)間試求它的單調(diào)區(qū)間. .【解析【解析】p(xp(x)=a)=ax x-txln-txln a. a.p(x)=ap(x)=ax xln a-tlnln a-tln a=(a a=(ax x-t)ln-t)ln a. a.當(dāng)當(dāng)t0t0時(shí)時(shí),a,ax x-t0.-t0.若若0a1,0a1,則則lnln a0,p(x)0 a0,p(x)1,a1,則則lnln a0,p(x)0 a0,p(x)0恒成立恒成立, ,函數(shù)函數(shù)p(xp(x) )單調(diào)遞增單調(diào)遞增. .當(dāng)當(dāng)t0,t0,由由a ax

6、x-t=0,-t=0,解得解得x=logx=loga at t. .若若0a1,0a1,則則lnln a0, a0,p(x)0,p(x)0恒成立恒成立, ,函數(shù)函數(shù)p(xp(x) )單調(diào)遞減單調(diào)遞減; ;當(dāng)當(dāng)x(logx(loga at t,+),+)時(shí)時(shí),a,ax x-t0-t0恒成立恒成立, ,函數(shù)函數(shù)p(xp(x) )單調(diào)遞增單調(diào)遞增. .若若a1,a1,則則lnln a0, a0,當(dāng)當(dāng)x(-,logx(-,loga at t) )時(shí)時(shí),a,ax x-t0,p(x)0-t0,p(x)0,p(x)0-t0,p(x)0恒成立恒成立, ,函數(shù)函數(shù)p(xp(x) )單調(diào)遞增單調(diào)遞增. .綜上綜上

7、, ,當(dāng)當(dāng)t0,t0,若若0a1,0a1,a1,則函數(shù)則函數(shù)p(xp(x) )在在r r單調(diào)遞單調(diào)遞增增. .當(dāng)當(dāng)t0t0時(shí)時(shí), ,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,log(-,loga at t););單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(log(loga at t,+).,+).命題角度命題角度2 2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【典例【典例】3.3.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)= +ln+ln x( x(其中其中a0,e2.7).a0,e2.7).若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間(2,+)(2,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a

8、 a的取值范圍的取值范圍. .4.4.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=e)=ex x(e(ex x-a)-a-a)-a2 2x x在在1,+)1,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. .1xax【解析【解析】3.3.因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)= +lnf(x)= +ln x, x,所以所以f(xf(x)= (a0).)= (a0).因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)f(xf(x) )在在(2,+)(2,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,所以所以f(x)0f(x)0對(duì)任意對(duì)任意x(2,+)x(2,+)恒成立恒成立. .所以所以ax-10ax-10對(duì)任意對(duì)任意x(2,+)x(2,+)恒成立恒成立

9、, ,即即a a 對(duì)任意對(duì)任意x(2,+)x(2,+)恒成立恒成立. .因?yàn)橐驗(yàn)閤(2,+)x(2,+)時(shí)時(shí), = , = ,所以所以a ,a ,即所求正實(shí)數(shù)即所求正實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是 . .1xaxx（ ）2ax1ax1xmax11()x2121 ,)24.f(x)=(2e4.f(x)=(2ex x+a)(e+a)(ex x-a),-a),因?yàn)橐驗(yàn)閒(xf(x) )在在1,+)1,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,則則f(x)0f(x)0在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,所以所以(2e(2ex x+a)(e+a)(ex x-a)0,-a)0,所以所以-2e-2ex xae

10、aex x在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,所以所以-2eae,-2eae,所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)a a的取值范圍為的取值范圍為-2e,e.-2e,e.【素養(yǎng)提升【素養(yǎng)提升】求解或討論函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的解題策略求解或討論函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的解題策略討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況. .大多數(shù)情況下大多數(shù)情況下, ,這類問題這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論: :(1)(1)在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí),

11、 ,依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論論. .(2)(2)在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)在不能通過因式分解求出根的情況時(shí), ,根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論類討論. .提醒提醒: :討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的, ,千萬不要忽視了定義域的千萬不要忽視了定義域的限制限制. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】1.1.已知已知arar, ,函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=(-x)=(-x2 2+ax)e+ax)ex x(xr,e(xr,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).).(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時(shí)時(shí),

12、,求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; ;(2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x) )在在(-1,1)(-1,1)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,求求a a的取值范圍的取值范圍. .【解析【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=2a=2時(shí)時(shí),f(x,f(x)=(-x)=(-x2 2+2x)+2x)e ex x, ,所以所以f(xf(x)=(-2x+2)e)=(-2x+2)ex x+(-x+(-x2 2+2x)e+2x)ex x=(-x=(-x2 2+2)e+2)ex x. .令令f(xf(x)0,)0,即即(-x(-x2 2+2)e+2)ex x0,0,因?yàn)橐驗(yàn)閑 ex x0,0,所以所以

13、-x-x2 2+20,+20,解得解得- x .- x0,0,所以所以-x-x2 2+(a-2)x+a0,+(a-2)x+a0,則則a =(x+1)- a =(x+1)- 對(duì)對(duì)x(-1,1)x(-1,1)都成立都成立. .令令g(xg(x)=(x+1)- ,)=(x+1)- ,則則g(xg(x)=1+ 0.)=1+ 0.所以所以g(xg(x)=(x+1)- )=(x+1)- 在在(-1,1)(-1,1)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .所以所以g(xg(x)g(1)=(1+1)- = .)0,g 0,g 0;)0;11x211x（ ）( 1)2 ，()2( 1)2 ，當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),g(x,g(x)

14、0.)0.所以所以g(xg(x) )在在(-1,)(-1,)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, , 4 4分分故故g(xg(x) )在在 上存在唯一極大值點(diǎn)上存在唯一極大值點(diǎn), ,即即f(xf(x) )在在 上存在唯一極大值點(diǎn)上存在唯一極大值點(diǎn). . 5 5分分考查要求考查要求基礎(chǔ)性基礎(chǔ)性學(xué)科素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算評(píng)分細(xì)則評(píng)分細(xì)則對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)f(xf(x) )兩次求導(dǎo)給兩次求導(dǎo)給2 2分分; ;判斷出新函數(shù)判斷出新函數(shù)g(xg(x) )的單調(diào)性給的單調(diào)性給1 1分分; ;確定確定g(xg(x) )存在存在唯一極大值點(diǎn)給唯一極大值點(diǎn)給1 1分分; ;

15、結(jié)論給結(jié)論給1 1分分. .()2，()2，( 1)2 ，( 1)2 ，(2)f(x)(2)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?-1,+).(-1,+). 6 6分分當(dāng)當(dāng)x(-1,0 x(-1,0時(shí)時(shí), ,由由(1)(1)知知,f(x,f(x) )在在(-1,0)(-1,0)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .而而f(0)=0,f(0)=0,所以當(dāng)所以當(dāng)x(-1,0)x(-1,0)時(shí)時(shí),f(x,f(x)0,)0,故故f(xf(x) )在在(-1,0)(-1,0)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .又又f(0)=0,f(0)=0,從而從而x=0 x=0是是f(xf(x) )在在(-1,0(-1,0上的唯一零點(diǎn)上的唯一零點(diǎn)

16、; ; 7 7分分當(dāng)當(dāng)x(0, x(0, 時(shí)時(shí), ,由由(1)(1)知知,f(x,f(x) )在在(0,)(0,)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,而而f(0)=0,f 0,f(0)=0,f 0;)0;當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),f(x,f(x)0.)0,f(0)=0,f =1-ln 0,所以當(dāng)所以當(dāng)x(0, x(0, 時(shí)時(shí),f(x,f(x)0.)0.從而從而,f(x,f(x) )在在(0, (0, 上沒有零點(diǎn)上沒有零點(diǎn); ; 9 9分分2()2()2，()2，()2，()2，()2(1)222當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)時(shí),f(x,f(x)0,)0,f()0,f()1,ln(x+1)1,所以

17、所以f(xf(x)0,)0t0時(shí)時(shí),s(t,s(t)= t)= t3 3+6t+ ,+6t+ ,s(ts(t)= ,)= ,令令s(ts(t)=0)=0得得t=2,-2(t=2,-2(舍舍),),所以所以s(ts(t) )有極小值也是最小值有極小值也是最小值s(2)=32,s(2)=32,又又s(ts(t) )為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,所以當(dāng)所以當(dāng)t=t=2 2時(shí)時(shí), ,s(ts(t) )有最小值有最小值32.32.t t(0,2)(0,2)2 2(2,+)(2,+)s(ts(t) )- -0 0+ +s(ts(t) )極小值極小值1436t2223(t4)644t2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)

18、=lnf(x)=ln x+ax x+ax2 2+bx(+bx(其中其中a,ba,b為常數(shù)且為常數(shù)且a0)a0)在在x=1x=1處取得極值處取得極值. .(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí), ,求求f(xf(x) )的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間; ;(2)(2)若若f(xf(x) )在在(0,e(0,e上的最大值為上的最大值為1,1,求求a a的值的值. .【解析【解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=lnf(x)=ln x+ax x+ax2 2+bx,+bx,所以所以f(xf(x)= +2ax+b,)= +2ax+b,因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnf(x)=ln x+ax x+ax2 2+bx+bx在在x

19、=1x=1處取得極值處取得極值, ,f(1)=1+2a+b=0,f(1)=1+2a+b=0,當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí),b=-3,f(x)= ,b=-3,f(x)= ,f(x),f(xf(x),f(x) )隨隨x x的變化情況如表的變化情況如表: :所以所以f(xf(x) )的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 , ,單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為 . .1x22x3x1x1(0, ),(1,)21(,1)2(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(xf(x)= ,)= ,令令f(xf(x)=0,x)=0,x1 1=1,x=1,x2 2= ,= ,因?yàn)橐驗(yàn)閒(xf(x) )在在x=1x=1處取得極值處取得極值, ,所以所以

20、x x2 2= x= x1 1=1,=1,當(dāng)當(dāng) 00a0時(shí)時(shí),x,x2 2= 0,= 0,當(dāng)當(dāng) 11時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(1,e(1,e上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以最大值所以最大值1 1可能在可能在x= x= 或或x=ex=e處取得處取得, ,而而f =ln +a - =lnf =ln +a - =ln - -10, - -10,所以所以f(e)=lnf(e)=ln e+ae e+ae2 2-(2a+1)e=1,-(2a+1)e=1,解得解得a= .a= .12a12a1(0,)2a1(,1)2a12a12a1()2a

21、21()2a14a1e212a1(2a1)2a當(dāng)當(dāng)1 e1 e時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在在(0,1)(0,1)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以最大值所以最大值1 1可能在可能在x=1x=1或或x=ex=e處取得處取得, ,而而f(1)=lnf(1)=ln 1+a-(2a+1)0, 1+a-(2a+1)0,所以所以f(e)=lnf(e)=ln e+ae e+ae2 2-(2a+1)e=1,-(2a+1)e=1,解得解得a= ,a= ,與與1x1x2 2= e= e矛盾矛盾. .當(dāng)當(dāng)x x2 2= e= e時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在

22、區(qū)間在區(qū)間(0,1)(0,1)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在(1,e)(1,e)單調(diào)遞減單調(diào)遞減, ,所以最大值所以最大值1 1在在x=1x=1處取得處取得, ,而而f(1)=lnf(1)=ln 1+a-(2a+1)0, 1+a-(2a+1)0,矛盾矛盾. .綜上所述綜上所述,a= ,a= 或或a=-2.a=-2.1(1,)2a1(,e)2a12a1e212a12a1e2【加練備選【加練備選】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=lnf(x)=ln x-ax x-ax2 2+(a-2)x.+(a-2)x.(1)(1)若若f(xf(x) )在在x=1x=1處取得極值處取得極值, ,求求a a的值的值; ;(

23、2)(2)求函數(shù)求函數(shù)y=f(xy=f(x) )在在aa2 2,a,a上的最大值上的最大值. .【解析【解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=lnf(x)=ln x-ax x-ax2 2+(a-2)x,+(a-2)x,所以函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)?0,+).(0,+).所以所以f(xf(x)= -2ax+(a-2)= .)= -2ax+(a-2)= .因?yàn)橐驗(yàn)閒(xf(x) )在在x=1x=1處取得極值處取得極值, ,即即f(1)=-(2-1)(a+1)=0,f(1)=-(2-1)(a+1)=0,所以所以a=-1.a=-1.當(dāng)當(dāng)a=-1a=-1時(shí)時(shí), ,在在 內(nèi)內(nèi)f(xf(x)0,)0,

24、)0,所以所以x=1x=1是函數(shù)是函數(shù)y=f(xy=f(x) )的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn), ,所以所以a=-1.a=-1.1x(2x1)(ax1)x1(,1)2(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閍 a2 2a,a,所以所以0a1.0a0,ax+10,所以所以f(xf(x) )在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,當(dāng)當(dāng)0a 0a 時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在在aa2 2,a,a上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以所以f(x)f(x)maxmax=f(a)=ln=f(a)=ln a-a a-a3 3+a+a2 2-2a;-2a;1x(2x1)(ax1)x1(0,)21(,)212當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)時(shí)

25、,f(x,f(x) )在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,所以所以f(x)f(x)maxmax=f =-ln=f =-ln 2- -1-ln 2; 2- -1-ln 2;當(dāng)當(dāng) a a2 2, ,即即 a1a1時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在在aa2 2,a,a上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,所以所以f(x)f(x)maxmax=f(a=f(a2 2)=2ln a-a)=2ln a-a5 5+a+a3 3-2a-2a2 2. .綜上所述綜上所述, ,當(dāng)當(dāng)0a 0a 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )在在aa2 2,a,a上的最大值是上的最大值是lnln a-a a-a

26、3 3+a+a2 2-2a;-2a;當(dāng)當(dāng) a a 時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )在在aa2 2,a,a上的最大值是上的最大值是 -1-ln 2;-1-ln 2;當(dāng)當(dāng) a1a0a0時(shí)時(shí), ,討論討論f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .1x專題能力提升練專題能力提升練【解析【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí),f(x,f(x)=- -2ln x)=- -2ln xf(xf(x)= )= 由由f(xf(x)= 0,)= 0,解得解得0 x ,0 x ,由由f(xf(x)= 0,)= .x .所以所以f(xf(x) )在在 內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù), ,在在 內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù),

27、,所以所以f(xf(x) )的極大值為的極大值為 =2ln 2-2,=2ln 2-2,無極小值無極小值. .1x221212xx0 xxx （）212xx12212xx121(0)2，1()2，1f( )2(2)f(x)=2ax- -(2+a)ln x (2)f(x)=2ax- -(2+a)ln x f(xf(x)=2a+ -(2+a) = )=2a+ -(2+a) = 當(dāng)當(dāng)0a20a2a2時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在在 和和 內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù), ,在在 內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù). .1x21x1x2222ax(2a)x 1(ax 1) 2x 1xx （ ）1(0)a，1()a，1 1()2

28、a，1(0)2，1()2，1 1()a 2，2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)= (1)(1)當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí), ,求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )在在x=1x=1處的切線方程處的切線方程; ;(2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f(xf(x) )在定義域上單調(diào)遞增在定義域上單調(diào)遞增, ,求求a a的取值范圍的取值范圍. .ln x12a1+x+a.x22x【解析【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí),f(x,f(x)= )= 則則f(xf(x)= )= 在在x=1x=1處的處的切點(diǎn)為切點(diǎn)為(1,0),(1,0),切線斜率為切線斜率為f(1)=2,f(1)=2,所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x)

29、)在在x=1x=1處的切線方程為處的切線方程為y=2x-2.y=2x-2.(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)= (arf(x)= (ar),),所以所以f(xf(x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0,+).(0,+).所以所以f(xf(x)= )= 又因?yàn)楹瘮?shù)又因?yàn)楹瘮?shù)f(xf(x) )在定義域上單調(diào)遞增在定義域上單調(diào)遞增, ,所以所以f(xf(x)= 0)= 0在在x0 x0時(shí)恒成立時(shí)恒成立, ,ln x11x,x22x221ln x11x22x，ln xx2a1ax22x22x2ln x2a32x，22x2ln x2a32x即即x x2 2-2ln x+2a+30-2ln x+2a+30在在x0 x

30、0時(shí)恒成立時(shí)恒成立, ,設(shè)設(shè)g(xg(x)=x)=x2 2-2ln x+2a+3(x0),-2ln x+2a+3(x0),則則g(xg(x)= )= 當(dāng)當(dāng)0 x10 x1時(shí)時(shí),g(x,g(x)0,)1x1時(shí)時(shí),g(x,g(x)0,)0,則則g(xg(x) )在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,x x2 2-2ln x+2a+30-2ln x+2a+30在在x0 x0時(shí)恒成立時(shí)恒成立g(x)g(x)minmin=g(1)=4+2a0,=g(1)=4+2a0,所以所以a-2.a-2.22x2x，(0,1)(1,)3.3.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)= axax2 2+ln x,+ln x,其中其

31、中arar. .(1)(1)求求f(xf(x) )的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間; ;(2)(2)若若f(xf(x) )在在(0,1(0,1上的最大值是上的最大值是-1,-1,求求a a的值的值. .12【解析【解析】(1)f(x)= ,x(0,+).(1)f(x)= ,x(0,+).當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí),f(x,f(x)0,)0,從而函數(shù)從而函數(shù)f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增; ;當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí), ,令令f(xf(x)=0,)=0,解得解得x= ,x= ,舍去舍去x= .x= .此時(shí)此時(shí),f(x,f(x) )與與f(xf(x) )的情況如下的情況如下: :2ax1x1a1

32、a 所以所以,f(x,f(x) )的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 ; ;單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是 . .1(0)a，1(,)a(2)(2)當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí), ,由由(1)(1)得函數(shù)得函數(shù)f(xf(x) )在在(0,1(0,1上的最大值為上的最大值為f(1)= .f(1)= .令令 =-1,=-1,得得a=-2,a=-2,這與這與a0a0矛盾矛盾, ,舍去舍去a=-2.a=-2.當(dāng)當(dāng)-1a0-1a0時(shí)時(shí), 1, 1,由由(1)(1)得函數(shù)得函數(shù)f(xf(x) )在在(0,1(0,1上的最大值為上的最大值為f(1)= .f(1)= .令令 =-1,=-1,得得a=-2,a=-2,這與這與-

33、1a0-1a0矛盾矛盾, ,舍去舍去a=-2.a=-2.a2a21aa2a2當(dāng)當(dāng)a-1a-1時(shí)時(shí),0 1,0 1,由由(1)(1)得函數(shù)得函數(shù)f(xf(x) )在在(0,1(0,1上的最大值為上的最大值為 . .令令 =-1,=-1,解得解得a=-e,a=-e,滿足滿足a-1.a0)=1-cos x0在在 上恒成立上恒成立, ,故故g(xg(x) )在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,當(dāng)當(dāng)x= x= 時(shí)時(shí), ,函數(shù)取得最大值函數(shù)取得最大值1+. 1+. 1212322 ， 322 ， 324.4.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=lnf(x)=ln x+ x+ ,kr,kr. .(1)(1)若曲線若曲線y=f

34、(xy=f(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)(e,f(e(e,f(e)處的切線與直線處的切線與直線x-2=0 x-2=0垂直垂直, ,求求f(xf(x) )的單調(diào)遞減區(qū)的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值間和極小值( (其中其中e e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)););(2)(2)若對(duì)任意若對(duì)任意x x1 1xx2 20,f(x0,f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)x)0),)= (x0),因?yàn)榍€因?yàn)榍€y=f(xy=f(x) )在點(diǎn)在點(diǎn)(e,f(e(e,f(e)處的切處的切線與直線線與直線x-2=0 x-2=0垂直垂直, ,所以此切線的斜率為所以此切線的斜率為0,0,即即f(ef(e)=0,)=0,有有 =0

35、,=0,得得k=e.k=e.所以所以f(xf(x)= (x0),)= (x0),由由f(xf(x)0)0得得0 xe,0 x0)0得得xe.xe.所以所以f(xf(x) )在在(0,e)(0,e)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(e,+)(e,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .當(dāng)當(dāng)x=ex=e時(shí)時(shí),f(x,f(x) )取得極小值取得極小值f(e)=lnf(e)=ln e+ =2. e+ =2.故故f(xf(x) )的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e),(0,e),極小值為極小值為2.2.21kxx21kee221exexxxee(2)(2)條件等價(jià)于對(duì)任意條件等價(jià)于對(duì)任意x x1 1xx2 2

36、0,0,f(xf(x1 1)-x)-x1 1f(x0),0),則則h(xh(x) )在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,所以所以h(xh(x)= -10)= -10在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,得得k-xk-x2 2+x= (x0)+x= (x0)恒成恒成立立, ,所以所以k .k .故故k k的取值范圍是的取值范圍是 ,+). ,+).kx21kxx211(x)2414145.5.已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)= axax2 2-aln x+x-aln x+x. .(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象在點(diǎn)的圖象在點(diǎn)p p 處的切線處的切線

37、l的方程的方程; ;(2)(2)討論函數(shù)討論函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .【解析【解析】(1)f(1)= (1)f(1)= a+1= a+1= a=1,a=1,f(xf(x)=x- +1,k=f(1)=1,)=x- +1,k=f(1)=1,切線方程為切線方程為y- =x-1,y- =x-1,即即y=x+ .y=x+ .123(1, )23212321x3212(2)f(x)=ax- +1= (x0),(2)f(x)=ax- +1= (x0),令令t(xt(x)=ax)=ax2 2+x-a,+x-a,當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí),t(x,t(x)=x0)=x0f(x)0,f(x)0,所以所以f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞