浙江省臺州市2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題含解析

1、浙江省臺州市2020屆高三數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）1.已知集合，若全集，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出，再結(jié)合補集的運算，即可求解詳解】由題意，集合，則全集，所以故選：a【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、并集和補集的概念與運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題2.已知，則（ ）a. 4b. 5c. 6d. 7【答案】b【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)的互化，求得，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解【詳解】由題意，因為，所以，所以故選：b【點睛】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，以及對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，著重考查了推

2、理與運算能力，屬于基礎題3.已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（ ）a. 4b. 3c. d. 2【答案】b【解析】【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用的幾何意義，結(jié)合圖象確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解【詳解】由題意，作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，可化為，平移直線，由圖象可知當直線過點時，此時直線的截距最大，目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為故選：b 【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力4.二項

3、式的展開式中的系數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求得二項展開式的通項，令，即可求解【詳解】由二項式的展開式的通項為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為故選：c【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用，其中解答中熟記二項式展開式的通項，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力5.函數(shù)的圖象是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點的函數(shù)值的符號，結(jié)合選項，即可求解【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除a、c；當時，排除b故選：d【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中熟練應用函數(shù)的基本性質(zhì)

4、和特殊點的函數(shù)值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與識別能力6.已知點f為橢圓c：的右焦點，點p為橢圓c與圓的一個交點，則（ ）a. 2b. 4c. 6d. 【答案】a【解析】【分析】求出橢圓的焦點坐標，圓的圓心和半徑，利用橢圓的定義進行轉(zhuǎn)化，即可求解【詳解】由題意，點f為橢圓c：的右焦點，則，左焦點為，圓的圓心坐標為，半徑為4，可得圓的圓心恰好為橢圓的左焦點，又由p為橢圓c與圓的一個交點，根據(jù)橢圓的定義可得，所以故選：a【點睛】本題主要考查了橢圓的定義、標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及計算能力，屬于基礎題7.已知a，“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充

5、分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】由絕對值不等式的基本性質(zhì)，集合充分必要條件的判定方法，即可求解【詳解】由題意，a，可得且，所以充分性是成立的；反之，可得，即，所以必要性是成立的，綜上可得：a，是成立的充要條件故選：c【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的基本性質(zhì)，以及充分條件、必要條件的判定方法，其中解答中熟練應用絕對值不等式的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力8.如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，且則異面直線，所成角的大小為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，求得，得到

6、，即可求解【詳解】由題意，在中，的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，且,所以，所以，所以異面直線，所成角的大小為故選：d【點睛】本題主要考查了利用向量求解異面直線所成的角的方法，以及向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算等知識的綜合應用，著重考查了推理與運算能力9.已知雙曲線c的離心率，過焦點f作雙曲線c的一條漸近線的垂線，垂足為m，直線交另一條漸近線于n，則（ ）a. 2b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】畫出圖象，利用已知條件、雙曲線的幾何性質(zhì)和點到直線的距離公式，即可求解【詳解】由題意，雙曲線c的離心率，即，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，如圖所示，可得，則，所以，所以故選：

7、b 【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算能力10.已知數(shù)列滿足：，且（），下列說法正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. d. 【答案】d【解析】【分析】由，化簡得到，a中，由，得到，求得，即可判定；b中，由，化簡求得，即可判定；c、d中，利用函數(shù)圖象與性質(zhì)，即可判定?！驹斀狻坑深}意，因為，所以，所以，又由，可得，所以，對于a中，若，則，則，所以，所以，所以不正確；對于b中，若，可得，則，所以不正確；對于c中，可考慮函數(shù)，如圖所示，當單調(diào)遞減，且越來越小，所以，即，所以c項是錯誤的 對于d中，設，則，由上圖可知，即

8、，等價于，即，即，而顯然成立，所以d項是正確的故選：d【點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的綜合應用，同時考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應用，著重考查了邏輯推理和運算能力，計算較大，思維要求高，屬于難題11.已知復數(shù)z滿足z=（4i）i，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部為_，|z|=_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】先化簡復數(shù)z，再結(jié)合實部概念和復數(shù)模長公式求解即可【詳解】z=（4i）i=1+4i，z的實部為1；|z|=.故答案為：1；.【點睛】本題考查對復數(shù)實部的理解，復數(shù)模長的計算，屬于基礎題12.已知定義在上的奇函數(shù)，當時滿足：則_；方程的解的個數(shù)為_.【答案】 (1). 1

9、(2). 5【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可直接求解的值，再利用函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求得方程的解的個數(shù)，得到答案【詳解】由題意，當時滿足：，可得；又由方程的解的個數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)與的圖象共有5個交點，即方程與的解得個數(shù)為5.故答案為：1， 5.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)及函數(shù)值的求解、函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系的綜合應用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及計算能力13.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得到該幾何體是底面邊長為2的正三角形，高為2的的一個正三棱

10、柱截去一個底面為邊長為2的正三角形，高為2的三棱錐得到的一個幾何體，利用柱體和椎體的體積公式，即可求求解【詳解】由題意，根據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體是底面邊長為2的正三角形，高為2的的一個正三棱柱截去一個底面為邊長為2的正三角形，高為2的三棱錐得到的一個幾何體，其中正三棱柱的體積為，三棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為故答案為：【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線

11、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應公式求解14.在我國東漢的數(shù)學專著九章算術(shù)中記載了計算兩個最大公約數(shù)的一種方法，叫做“更相減損法”，它類似于古希臘數(shù)學家歐幾里得提出的“輾轉(zhuǎn)相除法”.比如求273，1313的最大公約數(shù)：可先用1313除以273，余數(shù)為221（商4）；再用273除以221，余數(shù)為52；再用221除以52，余數(shù)為13；這時發(fā)現(xiàn)13就是52的約數(shù)，所以273，1313的最大公約數(shù)就是13.運用這種方法，可求得5665，2163的最大公約數(shù)為_.【答案】103【解析】【分析】根據(jù)題意，利用輾轉(zhuǎn)相除法，即可求解，得到答案【詳解】由題意，可得，所以5665，2163的最大公約數(shù)為故答案為：

12、【點睛】本題主要考查了利用輾轉(zhuǎn)相除法求解兩個數(shù)的最大公約數(shù)，其中解答中正確理解題意，利用輾轉(zhuǎn)相除法，逐步計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力15.如圖，點為銳角的終邊與單位圓的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得，則_，點的橫坐標為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義，求得的值，在利用二倍角公式求得的值，最后利用誘導公式和兩角和的余弦公式，即可求解點的橫坐標，得到答案【詳解】由題意，點為銳角的終邊與單位圓的交點，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得，逆時針旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，故，點的橫坐標為 故答案為：， 【點睛】本題主要考查了任意角的三角函

13、數(shù)的定義，二倍角公式、誘導公式，以及兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應用，著重考查了推理與運算能力16.有2名老師和3名同學，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學生人數(shù)，則對應的排法有_種； _；【答案】 (1). 36 (2). ；1.【解析】【分析】的可能取值為0，1，2，3，對應的排法有：.分別求出，由此能求出.【詳解】解：有2名老師和3名同學，將他們隨機地排成一行，用表示兩名老師之間的學生人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，對應的排法有：.對應排法有36種；，故答案為：36；1.【點睛】本題考查了排列、組合的應用，離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，屬于中檔題.17.如圖，已知正方形

14、，點e，f分別為線段，上的動點，且，設（x，），則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】設邊長為1，建立直角坐標系，求得的坐標，根據(jù)題設用表示出，再利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，并設邊長為1，則，可得，由，可得，解得其中，所以，令，則，當且僅當時，即時取等號，所以的最大值為故答案為：【點睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐標運算，以及利用基本不等式求最值的應用，其中解答中將平面向量問題坐標化，通過數(shù)形結(jié)合求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力18.如圖，在四邊形中，已知，.（1）求的值；（2）求的長度.【答案】（1）；（2）【解析】【

15、分析】（1）在中，利用余弦定理求得的長，再由正弦定理，即可求解的值；（2）由為銳角，得到，在中，利用余弦定理，即可求得的長度【詳解】（1）在中，因為，由余弦定理，可得，所以，又由正弦定理可得，所以（2）由（1），因為銳角，可得，中，根據(jù)余弦定理，可得，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵通常當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.19.如圖，七面體的底面是凸四邊形，其中，垂直相交于點o，棱，均垂直于底面.（1）證明

16、：直線與平面不平行；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）假設平面，得到平面，得出平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得到，進而與矛盾，即可得到結(jié)論；（2）以o為坐標原點，建系空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解【詳解】（1）假設平面，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，所以，因為，所以，這與矛盾，所以不平行平面.（2）以o為坐標原點，建系如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量，由，可得，則，取，所以平面的一個法向量，直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查了

17、線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.設數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，.遞增的等比數(shù)列滿足：，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列,的通項公式；（2）求證：【答案】（1），；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用和的關(guān)系式，即可求得數(shù)列的通項公式，設等比數(shù)列公比為，根據(jù)題設條件列出方程，求得，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）方法1、先證得，再利用乘公比錯位相減法和

18、不等式的性質(zhì)，即可求解；方法2、令，運用分析法證得，再由等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可求解【詳解】（1）由題意，因為，當時，當時，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為，設等比數(shù)列公比為（其中），因為，由，可得，解得或（舍去）；所以數(shù)列的通項公式為.（2）解法1：由（1）可得，因為時，根據(jù)“若，則”，可得（），所以，令，兩式相減可得，所以，所以.解法2：令，下一步用分析法證明“”，要證，即證，即證，即證，當，顯然成立，所以，所以.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的和的關(guān)系式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，以及乘公比錯位相減法和不等式的性質(zhì)的綜合應用，著重考查了化簡、運算能力，以及推理能

19、力，屬于中檔試題21.如圖，過點作直線l交拋物線c：于a，b兩點（點a在p，b之間），設點a，b的縱坐標分別為，過點a作x軸的垂線交直線于點d.（1）求證：；（2）求的面積s的最大值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）設直線的方程為，聯(lián)立方程組，運用韋達定理，化簡即可得到證明；（2）由，求得的范圍，點a在p、b之間，可得，求得d的坐標，運用三角形的面積公式和導數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解面積的最大值【詳解】（1）由題意，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，所以，則所以（2）由（1）可得，解得，因為點在p，b之間，所以，所以，由已知可設點，由點d在直線：上可得，所以的面積，因為，所以，因為，可得時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當，即時，的面積s的最大值.【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)、以及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線聯(lián)立方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考