第五節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判1

1、第五節(jié)第五節(jié) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)n第三章已經(jīng)得出結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：其特征方程所有的根都具有負(fù)實(shí)部，即都位于s平面的左半部。n前面也介紹了兩種判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的方法，即勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，它們都是代數(shù)判據(jù)。代數(shù)判據(jù)是根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關(guān)系判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。n而這一小節(jié)另外介紹一種重要而實(shí)用的方法-奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。這種方法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)n奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)簡(jiǎn)稱奈斯判據(jù)。奈斯判據(jù)利用復(fù)變函數(shù)的幅角原理，提出了根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的準(zhǔn)則。n我們知道

2、如果閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部在s平面的左半部，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。我們要用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，怎樣將開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)聯(lián)系起來，這是奈斯判據(jù)的關(guān)鍵。奈奎斯特奈奎斯特(nyqust)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)該判據(jù)這樣告訴我們：一閉環(huán)控制系統(tǒng)為g(s)h(s)r(s)c(s)-該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性g(jw)h(jw)，當(dāng)w從 時(shí)，g(jw)h(jw)曲線逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)p圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 p-為g(s)h(s)在s平面右半面的極點(diǎn)個(gè)數(shù) 舉例例1: 如圖所示系統(tǒng)) 12)(110(20ss12 . 01s-r(s)c(s)試用奈斯判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性s平面的

3、虛軸上無開環(huán)極點(diǎn)的情況解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 12 . 0)(12)(110(20)()(sssshsg) 12 . 0)(12)(110(20)()(jjjjhjg開環(huán)頻率特性為 由g(s)h(s)可見，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，且m=0，n=3，所以g(jw)h(jw)起始于（20，j0)點(diǎn)，沿2700方向趨近于原點(diǎn)又知：p=0，根據(jù)nyqust判據(jù)可知，g(jw)h(jw)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，要判斷該曲線是否包圍(-1，j0)，則要知a點(diǎn)與虛軸的距離是否大于1g(s)h(s)a求g(jw)h(jw)曲線于實(shí)軸的交點(diǎn)a模2322323222)42 .12()4 .221

4、 ()42 .12(20)42 .12()4 .221 ()4 .2220(1 ) 12 . 0)(12)(110(20)()(jjjjjhjg75. 1取 代入實(shí)部u(w)=-0.275 從圖中可見，g(jw)h(jw)曲線在w從 變化到 時(shí)，包圍（-1，jo)點(diǎn)零圈，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。所以得：75. 1412.2 0令虛部等于0即：0)42 .12(31、引入輔助函數(shù)f(s)n設(shè)典型反饋系統(tǒng)的方框圖如下圖所示、g(s)h(s)_r(s)c(s)()()()()()(2211snsmshsnsmsg 其中第二版168頁(yè)，)()()()()()()()()()(1(/ )()()(1)()()

5、()()()()()()()(2121212211112121smsmsnsnsnsmsnsmsnsmsnsmshsgsgsrscsgsnsnsmsmshsgb）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 開環(huán)特征開環(huán)特征方程方程閉環(huán)特征閉環(huán)特征方程方程引入輔助函數(shù)f(s)()()()()()()()()()(1)()(1)(2121212121snsnsmsmsnsnsnsnsmsmshsgsf 閉環(huán)特征閉環(huán)特征方程方程開環(huán)特征開環(huán)特征方程方程 由此可見，輔助函數(shù)由此可見，輔助函數(shù)f(s)f(s)將開、閉環(huán)系統(tǒng)將開、閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性聯(lián)系起來了。的頻率特性聯(lián)系起來了。結(jié)論：結(jié)論：1)1)f(s

6、)f(s)的零點(diǎn)，就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)；的零點(diǎn)，就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)；2)2)f(s)f(s)的極點(diǎn)，也就是開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)的極點(diǎn)，也就是開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)3)3)f(s)f(s)的零、極點(diǎn)的數(shù)目相等。的零、極點(diǎn)的數(shù)目相等。4)4)f(s)f(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)g(s)h(s)g(s)h(s)，只差，只差常數(shù)常數(shù)“1 1”，兩者間的幾何關(guān)系為：，兩者間的幾何關(guān)系為：1fkgfghkgf 1 這樣，從輔助函數(shù)這樣，從輔助函數(shù)f(s)f(s)的角度看，控制系的角度看，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，f(s)f(s)的的零點(diǎn)零點(diǎn)都必須都必須具有負(fù)實(shí)部。下面討論，具有負(fù)實(shí)部。

7、下面討論，f(s)f(s)的零點(diǎn)都必須具的零點(diǎn)都必須具有負(fù)實(shí)部即位于有負(fù)實(shí)部即位于ss平面左半邊的條件與開環(huán)平面左半邊的條件與開環(huán)頻率特性的頻率特性的g gk k(jw)(jw)的關(guān)系。的關(guān)系。先介紹復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要定理先介紹復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要定理“幅角定理幅角定理”二二、幅角定理幅角定理輔助函數(shù)輔助函數(shù)f(s)f(s)用零極點(diǎn)表示用零極點(diǎn)表示: :)()()()()()()()()()()(2121212121nnpspspszszszssnsnsmsmsnsnsf)()()()()()()()()()()(2121212121nnpjpjpjzjzjzjjnjnjmjmjnjnjf頻率特

8、性寫成模和幅角的形式寫成模和幅角的形式ninjjinjjniipjzjpjzjjfjf1111)()()()( s s是復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)，f(s)f(s)是復(fù)變函數(shù)，它們分別是復(fù)變函數(shù)，它們分別可用復(fù)平面上的矢量來表示，其所對(duì)應(yīng)的復(fù)可用復(fù)平面上的矢量來表示，其所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面分別稱為平面分別稱為ss平面和平面和ff平面平面。由復(fù)變函由復(fù)變函數(shù)理論可知，若在數(shù)理論可知，若在ss平面上選一點(diǎn)（設(shè)為平面上選一點(diǎn)（設(shè)為a)a)，通過復(fù)變函數(shù)，通過復(fù)變函數(shù)f(s)f(s)的映射關(guān)系，在的映射關(guān)系，在ff平面上找到相應(yīng)的一點(diǎn)（平面上找到相應(yīng)的一點(diǎn)（設(shè)為設(shè)為a,a,并稱并稱aa為為a a的映象的映象）；同理，對(duì)于

9、）；同理，對(duì)于ss平面上任一條不平面上任一條不通過通過f(s)f(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線任何奇異點(diǎn)的封閉曲線 ，也可，也可以在以在ff平面上找到一條與平面上找到一條與 相對(duì)應(yīng)的封閉相對(duì)應(yīng)的封閉曲線曲線 ( ( 為為 的映象）的映象）ssffs幅角定理幅角定理 若在封閉曲線若在封閉曲線 內(nèi)有內(nèi)有z個(gè)個(gè)f(s)的零點(diǎn)和的零點(diǎn)和p個(gè)個(gè)f(s)極點(diǎn)，則曲線極點(diǎn)，則曲線 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)s沿著沿著 順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在f平面上，封閉曲線平面上，封閉曲線 饒?jiān)c(diǎn)逆時(shí)針饒?jiān)c(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)n為為p和和z之差，即之差，即 n=p-z n若為負(fù)，表示若為負(fù)，表示 曲線饒?jiān)c(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)

10、過的圈數(shù)。曲線饒?jiān)c(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。ssff例例zz2ssffpf幅角原理證明較復(fù)雜，這里簡(jiǎn)單解析一下。在s平面取一閉合路徑 ，且在 上沒有零、極點(diǎn)，sszz2sps在 外的無論是零點(diǎn)還是極點(diǎn)，當(dāng)s從s1順時(shí)針沿 一圈回到s1時(shí)，矢量 的幅角變化為00ss1s2zs020zsnyqustnyqust判據(jù)證明方法1 而在 內(nèi)的無論是零點(diǎn)還是極點(diǎn)，當(dāng)s從s1順時(shí)針沿 一圈回到s1時(shí)，矢量 的幅角變化為ss2 zs實(shí)際上：所有在 外外的零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)s沿 順時(shí)針一圈后，它們的幅角變化均為零，即對(duì) 的幅角無影響。ss)(sf所有在 內(nèi)內(nèi)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)s沿 順時(shí)針一圈時(shí)，即對(duì) 的幅角的變化均為 。s

11、s)(sf2由此可知：當(dāng) 內(nèi)有z個(gè)f(s)的零點(diǎn)和p個(gè)f(s)的極點(diǎn)時(shí)，當(dāng)s沿 順時(shí)針一圈時(shí)，f(s)的幅角變化值為：ssnzppzsf2)(2)(2)(zpn ff根據(jù)nyqust判據(jù) 我們選擇在s平面取一閉合路徑 ，且在 上沒有零、極點(diǎn)，讓其順時(shí)針包圍s平面的整個(gè)右半面。 此時(shí)f(s)的幅角變化應(yīng)為sspsf2)(p-為g(s)h(s)在s平面右半面的極點(diǎn)個(gè)數(shù) 而我們通常作系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（g(jw)h(jw)曲線，而不做f(jw)的特性曲線，我們知道輔助函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)有以下關(guān)系kgf 11fkgfgh可見：判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為g(s)h(s) 對(duì)(-1，j0)點(diǎn)的包圍情況進(jìn)行

12、判別了。nyqust判據(jù)證明方法2：引入輔助函數(shù)f(s)()()()()()()()()()(1)()(1)(2121212121snsnsmsmsnsnsnsnsmsmshsgsf 閉環(huán)特征閉環(huán)特征方程方程開環(huán)特征開環(huán)特征方程方程 由此可見，輔助函數(shù)由此可見，輔助函數(shù)f(s)f(s)將開、閉環(huán)系統(tǒng)的頻將開、閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性聯(lián)系起來了。率特性聯(lián)系起來了。)()()()()(2121nnpspspszszszssf將f(s)化為零、極點(diǎn)形式f(s)的零、極點(diǎn)均可在s平面相應(yīng)的表示rejws1p zszpsf(s)的幅角為 )()( )()()()(2121nnpspspszszszssf（ 閉

13、環(huán)系統(tǒng)要穩(wěn)定，其閉環(huán)極點(diǎn)必須在s平面的左半面。即z1，z2，zn全部在s平面的左邊。 設(shè)開環(huán)極點(diǎn)有p個(gè)在s平面的右邊，則有（n-p)個(gè)極點(diǎn)在左邊，此時(shí)，f(s)的幅角為： 2 )()()(pppnnppnnsf可見：閉環(huán)系統(tǒng)要穩(wěn)定，當(dāng)w從-變化到+時(shí)，f(jw)曲線逆時(shí)針方向包圍原點(diǎn)p圈。而我們通常作的是系統(tǒng)的g(jw)h(jw)特性曲線，它與f(jw)的關(guān)系為kgf 11fkgfgh 可見在gh平面，對(duì)f平面的原點(diǎn)包圍情況就成了對(duì)（-1，j0）的包圍情況來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性1g s h sf s( ) ( )( )例2： 系統(tǒng)的框圖為下圖所示)1(tssk-r(s)c(s)試用奈斯判據(jù)判定閉環(huán)

14、系統(tǒng)的穩(wěn)定性原點(diǎn)處又開環(huán)極點(diǎn)的奈斯判據(jù)解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1()()(tsskshsg頻率特性) 1()()(jtjkjhjg由開環(huán)傳遞函數(shù)可見，系統(tǒng)為型系統(tǒng)。即v=1，m=0，n=2.當(dāng)w從0變化到+時(shí)，g(jw)h(jw)曲線起始于（ ，-900），當(dāng)w趨于時(shí)，曲線從-1800方向趨近于原點(diǎn)因?yàn)?，g(jw)h(jw)在“0”點(diǎn)出現(xiàn)斷點(diǎn)，使得曲線不閉合。為使曲線閉合需找出當(dāng)時(shí))()( 0jhjgg(jw)h(jw)的閉合走向圖所示調(diào)整如下沿虛軸取值路線做一些所以曲線出現(xiàn)斷點(diǎn)，處，在沿虛軸取值，即從)()(00- jhjg”處的走向“曲線在斷點(diǎn)取值時(shí)，沿上面的取值路線下面討論，當(dāng)從，

15、然后，到圓的半沿半徑為無窮小（從的取值點(diǎn)）時(shí)，（從當(dāng)0)()(00)0r0a0-jhjgabc均可寫成半圓上任意一點(diǎn)的取值在abcjrres0limabc)2(000)2(0lim lim lim 0jrcjrbjrarescresbresa點(diǎn)：點(diǎn)：點(diǎn)：) 1() 1(g(s)h(s)0limjjrestrerektsskjr對(duì)11 0 ) 1trejjtrer而言而對(duì)（jjerkrekshsgabcs)()( 半圓取值時(shí)沿當(dāng)由此可知： 90)2()()( lim)()( c 00()()( lim)()( 90)2()()( lim)()( 0000000jhjgrkjhjgjhjgrkjh

16、jgbjhjgrkjhjgarrr幅角：幅值：點(diǎn)：）幅角：幅值：點(diǎn)：幅角：幅值：點(diǎn)：由此可見，當(dāng)s=jw沿著abc半圓取值時(shí)，g(jw)h(jw)曲線在gh平面對(duì)應(yīng)的映射為ghabcabcr故，w從0-沿r 0半圓取值到0+時(shí)，g(jw)h(jw)的軌跡對(duì)應(yīng)從900(a)順時(shí)針沿r 園周轉(zhuǎn)1800到-900(c)abc(-1,j0)以此類推，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)中含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，w從0-沿r 0半圓取值到0+時(shí)，g(jw)h(jw)的軌跡對(duì)應(yīng)從900(a)順時(shí)針沿r 園周轉(zhuǎn)21800到-900(c)類推下去 實(shí)際上，只需繪制w從零變化到正無窮大時(shí)的開環(huán)幅相特性曲線，然后按其逆時(shí)針包圍（-1,j0)點(diǎn)

17、的圈數(shù)n和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半部的極點(diǎn)數(shù)p,根據(jù)下式 2n=p-z 或 z=p-2n 用上式確定閉環(huán)特征方程在s平面右半部的個(gè)數(shù)，若z為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若順時(shí)針包圍，n取負(fù)值，閉環(huán)系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。第六節(jié)第六節(jié) 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 為了使系統(tǒng)能很好的工作，不但要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且要有一定的穩(wěn)定裕量，即要求控制系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)南鄬?duì)穩(wěn)定性。一、相對(duì)穩(wěn)定的基本概念 在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步表征其穩(wěn)定程度高低的概念，稱為控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性?？刂葡到y(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性通常是以幅值裕度的形式表示的例；以控制系統(tǒng)的框圖如下圖所示) 12)(110(20ss12 .

18、01s-r(s)c(s)所示時(shí)，其奈斯曲線如下圖當(dāng)20k) 12 . 0)(12)(110(20)()(sssshsg開環(huán)傳遞函數(shù)-0.275開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的右半邊的極點(diǎn)個(gè)數(shù)p=0曲線不包圍（-1，jo）點(diǎn)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的g(s)h(s)1所示時(shí)，其奈斯曲線如下圖當(dāng)64. 320k曲線過（-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，即在穩(wěn)定與不穩(wěn)定的交界面上g(s)h(s)(-1,j0)1所示時(shí)，其奈斯曲線如下圖當(dāng)64. 320kg(s)h(s)曲線順時(shí)針包圍（-1，j0)兩圈，故系統(tǒng)不穩(wěn)定 由上式可知，g(jw)h(jw)越靠近（-1，j0)點(diǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度降低。所以系統(tǒng)的穩(wěn)定程度可以用g(

19、jw)h(jw)曲線與(-1,j0)點(diǎn)靠近的程度來表征（衡量）。穩(wěn)定程度的定量計(jì)算，可用 相位裕度幅值裕度kgn kg 、 的概念 g(jw)h(jw)曲線通過(-1，j0)必須滿足下列條件：0180)()(1)()(jhjgjhjgn當(dāng)相角g(jw)h(jw)=-1800時(shí) 使 增大的增益倍數(shù)， 稱為幅值裕度kg， 其數(shù)學(xué)描述1)()(kgjhjg)()(1 jhjgkggc1)()(kgjhjgn 當(dāng)g(jw)h(jw)=-1800時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率 ，稱為相位交界頻率。幅值裕度一般用分貝(db)表示 gdbdbkgjhjgkgdbkg6)( )()(lg201lg20 lg20)(一般n 當(dāng)

20、幅值 ，相角g(jw)h(jw)與-1800的角度差，稱為相位裕度。1)()(jhjg)()(180 )180()()(00jhjgjhjgg(jw)h(jw)為負(fù)值，故 為正值n 當(dāng)幅值 時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率 ， 稱為剪切頻率。 工程上要求：1)()(jhjgc0070300系統(tǒng)穩(wěn)定（對(duì)最 小相 位系統(tǒng)） bode判據(jù)實(shí)際上是奈斯判據(jù)在bode圖中的延伸，得以延伸，首先就要找他們?cè)谧鴺?biāo)上的聯(lián)系。奈斯圖中的單位園園周，對(duì)應(yīng)于bode 圖的0分貝線奈斯圖的單位園外對(duì)應(yīng)于bode圖上的0分貝線之上)(dbl1210046102040804/4/2/2/bode圖與nyquist圖的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系逆時(shí)針（+

21、）（+）順時(shí)針（-）（-）奈斯圖的單位園內(nèi)，對(duì)應(yīng)于bode圖上的0分貝線以下奈斯圖的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于bode圖上的對(duì)數(shù)相頻特性的-1800g(jw)h(jw)曲線要包圍（-1，j0)點(diǎn)，必須在負(fù)實(shí)軸的-1，-之間穿越，規(guī)定逆時(shí)針方向包圍（-1，j0)點(diǎn)稱為正穿越正穿越，此時(shí)幅角有小變大，g(jw)h(jw)順時(shí)針包圍（-1,j0)成為負(fù)穿越，負(fù)穿越，此時(shí)幅角有大變?。ò鼑淮未┰揭淮?，包圍兩圈穿約兩次）圍一次穿越一次，包圍兩圈穿約兩次）所以，正穿越一次正穿越一次對(duì)應(yīng)在bode圖中為l(w)0區(qū)域內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線從-1800線以下區(qū)域向上穿越一次 同理，負(fù)穿越一次負(fù)穿越一次再bode圖中為l(w)

22、0區(qū)域內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線從-1800線以上區(qū)域向下穿越一次對(duì)照上述坐標(biāo)關(guān)系，將奈斯判據(jù)延伸代bode圖中得到bode判據(jù)（對(duì)數(shù)奈斯判據(jù)）：在l(w)0 db的區(qū)域內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線正穿越次數(shù)（n+）與負(fù)穿越次數(shù)（n-）之差為p/2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。p為開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半邊的極點(diǎn)個(gè)數(shù)問題這里為什么是p/2? 而不是p?是因?yàn)槟嗡古袚?jù)：w從-變化到+ 而bode判據(jù)：w從0變化到+所以在bode判據(jù)中只取奈斯判據(jù)的一半，既p/2問題當(dāng)p=1、3、5.時(shí)，此時(shí)p/2出現(xiàn)班次穿越，如何處理？半次正穿越半次負(fù)穿越在l(w)0區(qū)域內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線從-1800開始向上為半次正穿越半次正穿越，若從-1800

23、向下為半半次負(fù)穿越次負(fù)穿越已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)舉例舉例1 1) 11 . 0 (10)()(ssshsg試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖。 由開環(huán)傳遞函由開環(huán)傳遞函數(shù)可知數(shù)可知p=0。002nnnp所以閉環(huán)穩(wěn)定利用matlab分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性num=10;den=0.1 1 0;figure(1)bode(num,den);numb,denb=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)n已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)n試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。

24、舉例舉例1 1)1002(300)()(2sssshsg解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖在l(w)0區(qū)域內(nèi)正穿越次數(shù)： n n+ +=0=0負(fù)穿越次數(shù)： n n- -=1=1開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)： p=0故 n+-n-p/2所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)不穩(wěn)定的極點(diǎn)個(gè)數(shù)2) 10 (202npz利用matlab分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性num=300;den=1 2 100 0;figure(1)bode(num,den);numb,denb=cloop(num,den);figure(2)step(numb,denb)相位裕度幅值裕度 在bode圖上的表示g

25、cgckgkglg20實(shí)驗(yàn)證明g(jw)h(jw)曲線遠(yuǎn)離（-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定程度好，階躍響應(yīng)較平緩，無大的超調(diào)。g(jw)h(jw)曲線靠近(-1,j0)，系統(tǒng)穩(wěn)定程度下降，階躍響應(yīng)超調(diào)量大、振蕩加劇。g(jw)h(jw)通過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，階躍響應(yīng)為等幅振蕩。由此可見：穩(wěn)定裕度的大小與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有關(guān)（教材（教材5-75-7的內(nèi)容）的內(nèi)容） 在第三章介紹的時(shí)域的五個(gè)性能指標(biāo)在當(dāng)前的系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中占有越來越重要的位置。這里需要進(jìn)一步探討頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系。一、開環(huán)頻率特性與時(shí)域穩(wěn)態(tài)誤差之一、開環(huán)頻率特性與時(shí)域穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系間的關(guān)系從第三章的時(shí)間響應(yīng)

26、分析中得知： 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess取決于其對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v（誤差度)和開環(huán)增益k。也就是說我們知道了v，k（kp,kv,ka) ，就可以方便的計(jì)算比環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。 由開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線可知： 其低頻段的斜率由系統(tǒng)的誤差度（v）和開環(huán)增益k決定，即低頻段的高度由開環(huán)增益k決定。所以我們可以根據(jù)低頻段曲線確定系統(tǒng)的誤差度(v)和開環(huán)增益k(kp，kv，ka) 下面我們通過一些例題分別討論，如何下面我們通過一些例題分別討論，如何根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)的誤差度根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線確定系統(tǒng)的誤差度（v v）和開環(huán)系統(tǒng)的增益）和開環(huán)系統(tǒng)的增益k k（一）

27、、0型系統(tǒng)例1：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)) 11 . 0)(15 . 0 (10)()(ssshsg) 11 . 0)(15 . 0(10)()(jjjhjg開環(huán)頻率特性其開環(huán)特性曲線對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率為1 . 01 25 . 0121ttklg20awt2wt1-20db/dec-40db/dec可見：wwtmin時(shí)，l(w)=20lgk=20db0型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性有以下特點(diǎn)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線低頻段為一水平線，其高度為20lgk0型系統(tǒng)的開環(huán)增益k為靜態(tài)位置誤差系統(tǒng)kp，既可根據(jù)l(w)曲線在低頻段的高度求出kp.（二）、型系統(tǒng)例2：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)) 1()()(tsskshsg開環(huán)頻率特性) 1

28、()()(jtjkjhjg其開環(huán)特性曲線對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率為tt1l(w)在wkawtklg20-20db/dec-40db/deckc在wwt時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線尚為一“0”的直線此時(shí)：kkllg20lg20lg20)(kk 0)l( 1時(shí)，當(dāng)2）當(dāng)wt1，k1時(shí)awtk-40db/dec-60db/decklg20當(dāng)wt1，k1時(shí)klg20wta-40db/dec-60db/deckc當(dāng)wt1時(shí)klg20awt-40db/dec-60db/deck當(dāng)wt1，k1時(shí)klg20awt-40db/dec-60db/deckc型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性有以下特點(diǎn)低頻段斜率為-40db/dec；斜率為

29、-40db/dec的低頻段（或延長(zhǎng)線）與“0”分貝線相交處的頻率w2=k斜率為-40db/dec的低頻段（或延長(zhǎng)線）在w=1處的高度為20lgk型系統(tǒng)的開環(huán)增益k=ka(靜態(tài)加速度誤差系數(shù)）可根據(jù)和求出系統(tǒng)的ka下面舉例：通過例題介紹如何從對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中確定k值由右圖可見：ab線段高度為20lgk根據(jù)幾何關(guān)系20bcabab線段表示a點(diǎn)至b點(diǎn)得分貝數(shù)。bc線段表示b點(diǎn)至c點(diǎn)的對(duì)數(shù)值klg20-20db/decabcwcl(w)w1例1：ab=20lgk， bc=lgwc-lgw120lglg20 1ckbcab1ck1lg20lg20ck 例2：abcdw1wcw=k-20db/dec-4

30、0db/dec由右圖可知：4020bcabbdabbdab 20bcab4011lglglgkkbd11lglglgccbc故有：11lg40lg20ck11lg40lg20lg20 ck12ck 例3：abcdw1wcw=k-20db/dec-40db/decfge-60db/decw2從圖中可知：604020dcgdbdafbeabbeab20bdaf40dcgd60begdaffbafab20bdaf40dcgd6060dc40bd20be 1lglgkbe12lglgbd2lglgcdc2121lg60lg40lg20lg20ck60dc40bd20be 2121lg60lg40lg2

31、0lg20 ck213ck 總結(jié)以上例題我們可以得出結(jié)論 開環(huán)增益k與0分貝以上的開環(huán)幅頻特性曲線的各個(gè)轉(zhuǎn)折頻率wi及幅值穿越頻率wc之間有著既定的關(guān)系k1k2k3knkn-1kn-2w1w2w3wnwn-1wn-2wn-3推廣1233122112111lglglglglglglg20nnnniiiikkkkkkk這種方法也可用來在已知k的條件下，求wc。或在已知k、wc的條件下求任意轉(zhuǎn)折頻率二、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系二、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系 前面討論了如何應(yīng)用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和ess，下面討論如何通過頻率來分析閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。1 1、頻域動(dòng)態(tài)性

32、能的提出、頻域動(dòng)態(tài)性能的提出對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有兩種方法系統(tǒng)）用閉環(huán)頻率特性設(shè)計(jì)統(tǒng)用開環(huán)頻率特性設(shè)計(jì)系2) 1用開環(huán)頻率特性設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)常用的動(dòng)態(tài)指標(biāo)c 剪切頻率相位裕度用閉環(huán)頻率特性設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)常用的動(dòng)態(tài)指標(biāo)r 諧振頻率諧振峰值rmrm 反映了過渡過程的平穩(wěn)性，與時(shí)域指標(biāo)中超調(diào)量（ ）相對(duì)應(yīng)。%rc 反應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，與時(shí)域指標(biāo)中的調(diào)整時(shí)間（ ）相對(duì)應(yīng)。st注最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)-若系統(tǒng)若系統(tǒng)g(s)的所有零、極點(diǎn)均的所有零、極點(diǎn)均在在s平面的左半邊，則稱為平面的左半邊，則稱為最小相最小相位系統(tǒng)。位系統(tǒng)。反之稱為反之稱為“非最小相位系非最小相位系統(tǒng)統(tǒng)”2 2、開環(huán)頻率特性曲線參數(shù)與階躍響應(yīng)

33、的關(guān)系、開環(huán)頻率特性曲線參數(shù)與階躍響應(yīng)的關(guān)系 對(duì)一、二階系統(tǒng)來說，頻域指標(biāo)與時(shí)域?qū)σ弧⒍A系統(tǒng)來說，頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間存在著確定的關(guān)系。通過分析可清指標(biāo)之間存在著確定的關(guān)系。通過分析可清楚地看出頻域指標(biāo)的含義。楚地看出頻域指標(biāo)的含義。一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式11)(tssg其閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖為其閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖為ts1r(s)c(s)從圖中可得：從圖中可得：開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)sttssgk/11)(閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)11)(tssgb其單位階躍響應(yīng)曲線其單位階躍響應(yīng)曲線05. 0開環(huán)頻率特性)/ 1lg(20t-20db/dec-20db/dec

34、閉環(huán)頻率特性wt=wb=1/twc 由開環(huán)對(duì)數(shù)頻率幅頻曲線可清楚地看出，由開環(huán)對(duì)數(shù)頻率幅頻曲線可清楚地看出，一階系統(tǒng)的開環(huán)幅值穿越頻率一階系統(tǒng)的開環(huán)幅值穿越頻率wc=k（開環(huán)增（開環(huán)增益）益）即tkc1 從閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中可見，其轉(zhuǎn)折頻率wt=1/t，當(dāng)w=wt=1/t時(shí)，閉環(huán)頻率特性的幅值為 ，即為（w=0）時(shí)的幅值的0.707倍-稱此點(diǎn)的頻率值為一階系統(tǒng)的頻寬2/ 1又一階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)又一階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)ts)05. 0(333bcstt或或)02. 0(444bcstt可見可見tsts可用系統(tǒng)的開環(huán)或閉環(huán)頻域指標(biāo)來描述可用系統(tǒng)的開環(huán)或閉環(huán)頻域指標(biāo)來描述bc閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值穿越頻率開環(huán)

35、對(duì)數(shù)幅值穿越頻率反應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)速度響應(yīng)快即sbct)( 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)其閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖為其閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖為) 1(tsskr(s)c(s)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù))2()/ 1(/) 1()()(2nnsstsstktsskshsg對(duì)比故有故有kttkn21 n開環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)開環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系系n情況情況1：wt=1/tk-20db/decwc=k-40db/decwn=1/t 通過以上分析與推導(dǎo)可見，對(duì)數(shù)通過以上分析與推導(dǎo)可見，對(duì)數(shù)頻率特性可確定系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。頻率特性可確定系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)。再看性能指標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系如何？再看性能指標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系如何？幅值穿越頻率幅值穿

36、越頻率wc由由wc的定義，有：的定義，有：1)2(2nccnjj即142222nccn分子分母同除wn2,得：1412222ncnc等式兩邊同時(shí)乘方，得14122242ncnc從括號(hào)里提出從括號(hào)里提出wc2，得：，得：141122244cnnc14122244cnnc得到一二次方程得到一二次方程01422244ncnc14224164 42422cn242c214 n又又 不可能為負(fù)值不可能為負(fù)值22/nc故得：故得：舍去負(fù)值）( 214 24cn相位裕度相位裕度cnncnctgtgtg2 290 )290(180110100reimn2wc又 214 24cn24124121422142 t

37、gtgnn 由二階系統(tǒng)時(shí)域指標(biāo) 與 相比較，二者都僅與 值有關(guān)。)%(%10012e%反之可見 的大小反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)的大小反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程的平穩(wěn)性。過程的平穩(wěn)性。% 為了使二階系統(tǒng)在過渡過程中 不要過大，調(diào)整時(shí)間ts短些 一般0070308 . 04 . 0有二階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間有二階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間2421433 ,05. 0cnst顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 值為常數(shù)時(shí)，值為常數(shù)時(shí)，ts與與wc成反比成反比scsctt反之wc的大小反映了系統(tǒng)過渡過程的快慢！的大小反映了系統(tǒng)過渡過程的快慢！3、閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系諧振頻率) 1(tsskr(s)c(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)2222221 )

38、1()(nnnbsstkststkkstskktssksg對(duì)比ktttknn2121 故二階系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性： 4)()(2222222nnnbjg幅頻特性 2)()(222nnnbjg系統(tǒng)發(fā)生諧振時(shí)，幅頻特性達(dá)到最大值，故0)(djgdb可得諧振頻率：221nr由此可知，當(dāng) 時(shí)，wr才為實(shí)數(shù)，這說明 時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性無峰值。在 時(shí)，ts與wr成反比，即：707. 0707. 0csrsrtt反之所以，wr的大小反映了響應(yīng)速度的快慢！諧振峰值 mr221nr將 代入下式224222422222222222222222121 )21 (4)211 )21 (4)21 ( 4)(nnnnn

39、nnnnnnrm（由此可見：mr僅與 有關(guān):%rrmm反之頻帶寬度wb，根據(jù)wb的定義21)(brwm令 214)()2222222bnbnnbrm（又上式解得： 44221422nb可見：當(dāng) 時(shí)，ts與wb成反比constsbsbtt反之 通過以上分析可知：通過系統(tǒng)的開、閉環(huán)頻率特性能得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，但由于高階閉環(huán)頻率特性曲線不易得到，故通常用開環(huán)頻率特性來研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能更為方便。c剪切頻率相位裕度-表征過渡過程的平穩(wěn)性-表征系統(tǒng)響應(yīng)的快慢4、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的中頻段與階躍響應(yīng)的關(guān)系 從一階、二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)分析中顯而易見，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線的中頻段，即剪切頻率wc附

40、近的區(qū)段，它集中反映了閉環(huán)系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性。c剪切頻率相位裕度而-僅是比較簡(jiǎn)單的指標(biāo)，它們不能完全概括千變?nèi)f化的頻率特性曲線的形狀 所以有必要對(duì)系統(tǒng)的中頻段的情況進(jìn)行進(jìn)一步的分析。下面通過實(shí)例，來看看系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中頻段斜率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)) 102. 0)(12 . 0 (10)()(sssshsg試?yán)L制系統(tǒng)的bode圖并分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能情況klg20kgkglg20wcwg) 102. 0)(12 . 0(10)()(sssshsg這里我們求wc12212111lg20lg20 lg40lg20lg20ccck又w1=5 k=10sredkc/01. 750 1011003 .2702. 02 . 090180cctgtg當(dāng)w=wg， r=0002. 02 . 0901801100ggtgtg0119002. 02 . 0ggtgtg0219002. 02 . 0102. 02 . 0gggtg由1-