行列式按行展開法

1、行列式按行行列式按行(列列)展開展開一、引言122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa結(jié)論結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示三階行列式可以用二階行列式表示. .思考題思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？例如例

2、如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaadaaaaaaaa 11121423313234414244aaamaaaaaa 2 32323231amm 把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 1ijijijam ija在在n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . ijijmijaija結(jié)論結(jié)論 因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)

3、著一個余子式和一個代數(shù)余子式式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式. . 一個一個n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘積，即積，即 ijijda a 11121314212223243341424344000aaaaaaaadaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a aa m 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaija11212221200n

4、nnnnaaaadaaa 即有即有1111.da m 又又 1 11111111,amm 從而從而1111.da a 下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當(dāng)當(dāng) 位于第位于第1 1行第行第1 1列時列時, ,ija二、行列式按行（列）展開法則定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiininda aa aa ain 111213111213212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 11121321222

5、3212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111a a 1212a a 1313a a 212122222323a aa aa a313132323333a aa aa a同理可得同理可得例例3112513420111533d 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 證明證明 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211dxx 21()ijijxx 例例 證明范德蒙德證明范德蒙德( (vandermon

6、de) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxdxxxxx (1)所以所以n=2時時(1)式成立式成立.21xx2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxxxxx 假設(shè)假設(shè)(1)對于對于n1階范德蒙行列式成立，從第階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行行開始，后行減去前行的減去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展開，并提出每列的公因子列展開，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 213112()()()()nnijn ijdxxxxx

7、xxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna aa aa aij 111213212223aaaaa a212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我們以我們以3階行列式為例階行列式為例. . 111213111112121313212223313233aaaa aa aa

8、 aaaaaaa把第把第1行的元素?fù)Q成第行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)元素，則行的對應(yīng)元素，則 0. 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiinina aa aa ad in 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna aa aa aij 1122,0,niinijjjdija aa aa aij 1122,0,ij

9、ijinjndija aa aa aij 綜上所述，有綜上所述，有同理可得同理可得5312017252023100414002350d 例例 計算行列式計算行列式解解5312017252023100414002350d 2 5531202311204140235 23110 072066 7210 ( 2)66 20 ( 4212)1080. 2312 5414235 53204140132021352152 31rr 21( 2)rr 例例 設(shè)設(shè) , , 的的 元的余子式和元的余子式和代數(shù)余子式依次記作代數(shù)余子式依次記作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413d d( , )i jijmija11121314aaaa及及11213141.mmmm111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa aa aa aa aaaaaaaaa 125202100 解解111213141111105134311