金融數(shù)學概述

1、第一章 利息與現(xiàn)金流量第一章第一章 利息與現(xiàn)金流量利息與現(xiàn)金流量主要包括以下內容：n利 息n現(xiàn)金流量n利率、終值與現(xiàn)值n利息力n現(xiàn)金流量的現(xiàn)值n利息收入n固定利率n名義利率與名義貼現(xiàn)率n價值方程和交易收益率第一節(jié) 利 息n利息與利率 n單利n復利 利息與利率利息與利率n利息(interest)指借用某種資本(capital)的代價或借出某種資本的報酬。即借債人除償還出借人(放款人)原來出借的資本外，還要支付一個附加的補償，這個補償叫做利息。n單位本金在單位時間（一個計息期）所獲得的利息即效用利率 (effective rate of interest)，又稱實際利率，簡稱為利率。單 利n假定一

2、個單位本金的投資在每一個單位時間所得的利息是相等的，而利息并不用于再投資。按這種形式增長的利息稱為單利。n如果一位投資者把總額為c的本金存入單利為i的帳戶(這期間沒有其他存款和提款)那么，n年以后可得的利息為 第n年末的本利和，則 復 利 n復利就是假定每個計息期所得的利息可以自動地轉成投資(本金)以在下一個計息期賺取利息n一般地，如果將本金c存入復利為i的帳戶，我們假定之后沒有對該帳戶的存款和提款，設表示第n年末的本利和，那么，第n 1年的利息為 則第n 1年末的本利和為 nnisi 1 11)1 (nnnnicisss復 利第二節(jié) 現(xiàn)金流量 n精算師在實際工作中經(jīng)常涉及到對各種現(xiàn)金流量(c

3、ash flows)的管理，現(xiàn)金流量就是在不同時期支出或收入的資金金額。 例如，一家保險公司會得到保費和投資收入，并支出理賠和支付管理費用。從公司的角度，我們把保費和投資收入看作是具有正值的現(xiàn)金流量(指獲得的資金)，而理賠和管理費用的支出看作是負值的現(xiàn)金流量(指支出的資金)。n主要包括以下內容： 一、償債抵押 二、無息債券 三、固定利息債券 四、指數(shù)關聯(lián)證券 五、基本人壽保險一、償債抵押n假設一個人為了買一所房子，想從建設銀行或一家其他銀行借一筆錢。銀行可能會與他簽訂一個貸款合同，根據(jù)合同，借款者在每月月末支付一系列款項，一直到償還完全部貸款為止。獲準用貸款購買的房地產(chǎn)通常作為該項貸款的抵押物

4、。我們通常稱之為房屋抵押貸款。一、償債抵押n例如，假設一家銀行準備發(fā)放一筆80萬元的貸款，貸款分次償還，在20年內每月償還5000元。從借款者的角度看，這項交易的現(xiàn)金流量如下所示： 注意，在上表中，時間是從貸款之日起按月計量的。二、無息債券 n“無息債券”(zero-coupon bond)是指這樣一種證券，它沒有固定的利息支付，而只是在未來的某一特定日期支付一筆約定的金額。例如，某種債券承諾在2010年10月1日支付給持有者70,000元，此外沒有其他支付，這種債券就是一種無息債券，假定在1998年10月1日這種債券的價格是35,160元，對于一個在這一天購買該債券的投資者來說，其現(xiàn)金流量如

5、下所示： 三、固定利息債券n政府或公司常常會通過發(fā)行債券的方式籌措資金，在許多情況下這種籌措資金以固定利息債券的形式出現(xiàn)，這種債券以某一個確定的名義金額的債券形式發(fā)行。最簡單的是：債券持有者在未來某些特定時間將得到約定金額的一次總付款以及一系列約定的利息報酬。n在一些國家里政府發(fā)行的固定利息債券通常被稱為“金邊債券”或“金邊證券”(“gilt edged stocks”或“gilts”)。 三、固定利息債券n例如，一個票息為7.6%，2016年到期的財政債券，持有一張這種面額為1,000元的債券的人有以下權利：每年獲得76元的利息，利息在每年9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天

6、也支付利息)，并且在這一天償還本金1,000元。設想一名投資者在1998年9月30日以p元的價格購買了這樣一張債券(剛好在當時到期的利息被支付以后)。如果該投資者不必納稅并且持有該債券直至最后償付日(而不是在早一些時候賣出)，他這項交易的現(xiàn)金流量如下表13所示：n 三、固定利息債券n如果在上例中，利息改為分期支付，每半年支付一次(每次金額為38元)，利息在每年3月31日和9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天也支付利息)，則他這項交易的現(xiàn)金流量如表14所示： n表14 四、指數(shù)關聯(lián)證券 n傳統(tǒng)的固定利息債券每期的利息支付都是同樣的金額。如果經(jīng)濟活動中的通貨膨脹得不到控制，隨著時間

7、的流逝，一定金額的貨幣的購買力會減少，尤其當通貨膨脹率高時效果更為明顯。由于這種原因，一些投資人被這樣一種證券所吸引，這種證券的利息支付和最終本金返還的實際現(xiàn)金量是與一種反映通貨膨脹影響的適當?shù)闹笖?shù)相關聯(lián)的。n最主要的這種指數(shù)是零售物價指數(shù)(retail prices index)或簡稱為rpi。該指數(shù)的值每月公布，有時要調整基準。例如英國的指數(shù)是以1987年1月為100作為基準的。8年以后的1995年1月，該指數(shù)值為146.0，從1987年1月至1995年1月，該指數(shù)和年平均增長率為4.844% 。本書對指數(shù)關聯(lián)證券不做詳細討論，但是，我們值得注意的是英國政府于1975年6月發(fā)行了指數(shù)關聯(lián)國

8、民儲蓄存單(index-linked national savings certificates)并于1981年3月首次發(fā)行了指數(shù)關聯(lián)債券。 四、指數(shù)關聯(lián)證券五、基本人壽保險 n（一）定期壽險保單 定期壽險保單是這樣一種合同；當保單持有人(即投保人)在保單規(guī)定期限內死亡時，壽險公司一次性給付一筆保險金(sum assured)，這種保單的期限可能會很長(例如20年)，也可能會較短(例如一年甚至更短)。 定期壽險保單通常以每年支付一定保費的方式購買，保費通常(但不是必須)是固定金額。年保費通常在保單期限內的每年年初支付，直到被保險人死亡終止或期滿，但是，偶爾保費也可能在較短一些的時期里付清或者可

9、以用單獨一筆保費購買保單（稱為躉繳保費）。 五、基本人壽保險n（一）定期壽險保單 例如，考慮如下這個期限為15年的定期壽險保單，保險金額為1,000,000元，每年初支付保費2,000元，保險金在死亡之年年末給付(在保單期限內)。這里的保費金額相對較小，它反映出保單持有人的年齡較小以及相應的死亡風險費低。 如果保單持有人在投保第九年死亡，那么從人壽保險公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，8時刻(從開始投保起按年計)，每次金額為2,000元，該保單在時刻9發(fā)生一次負值的現(xiàn)金流量(金額為1,000,000元)。但是，如果保單持有人在保單期限內沒有死亡，人壽保險公

10、司將獲得每次金額為2,000元的15次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，并且不必返還任何款項。 五、基本人壽保險n（二）兩全保險保單 兩全保險保單是這樣一種合同：當被保險人在保險期內死亡時，或在保險期滿時他還活著，壽險公司一次性給付一筆保險金。這種保單經(jīng)常以每年預付一定水平的保費的方式購買、在被保險人死亡時或在保單期滿時終止。 考慮如下這個期限為15年的兩全保險保單，投保金額為1,000,000元，每年初支付保費58,000元，應付死亡保險金在死亡之年年末支付。對于該保單來說，如果保單持有人在投保第九年死亡，那么從人壽保險公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，8時刻；以及

11、在時刻9的一次數(shù)額為負值的現(xiàn)金流量(金額為1,000,000元)。如果保單持有人在保單期限內沒有死亡，人壽保險公司將獲得15次每次金額為58,000元的數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(在0，1，2，14時刻)以及在時刻15的一次數(shù)額為負值的現(xiàn)金流量(金額為1,000,000元)。 五、基本人壽保險n（三）年金保單 兩全保險金是一次性地給付一筆保險金。年金保單是給付一系列有規(guī)律的返還款項作為保險金，年金給付的確切條件有明確的規(guī)定。 最簡單的年金可能是這樣：在保單持有人生存期間，每年年末給付一定的水平的款項，假如，設想現(xiàn)在發(fā)行一種為年齡60歲的女性準備的保單，人壽保險公司一次性收取100，000元的保費，在

12、保單持有人生存期間每年年末付9，400元。 如果保單持有人在保單第七年死亡(即在6和7時刻之間死亡，時間是從發(fā)行保單之日起按年計算)，人壽保險公司的該合同的現(xiàn)金流量將包括在時刻0的一筆數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(100，000元)和以后的在1，2，3，6時刻的數(shù)額為負值的現(xiàn)金流量(每次9，400元)，但是如果保單持有人在保單生效后一年內死亡，人壽保險公司，無論怎樣都不會發(fā)生數(shù)額為負值的現(xiàn)金流量。 還存在其他種類的年金保險合同，例如，保單條款可能會規(guī)定在保單持有人生存期間每年年末給付年金，但是給付次數(shù)有一個總的上限。這種保單被稱為定期生命年金。第三節(jié) 利率、終值與現(xiàn)值n一、實際利率與名義利率的含義n二

13、、終值n三、現(xiàn)值一、實際利率與名義利率的含義 n（一）實際利率 我們考慮一種投資，其本金和利息在固定期限的期末支付，沒有期中支付的任何數(shù)額的利息和本金。 在討論利息問題中時間單位是個重要的概念，它可能是1個月或1年，在實踐中較常用的是一年，然而，在某些情況下，選擇一個其他的時間單位(例如6個月)也可能會簡化問題。 設想一個從t時刻開始，期限為1時間單位的金額為1元的投資，假設在t 1時刻返還1i (t)，i (t)即前面提到的該時期的實際利率(effective rate of interest)，稱為實際利率是為了把它同下面將討論的名義利率表面利率區(qū)分開來(rates of norminal

14、 or flat interest)。如果假定利率不取決于投資的金額，那么在t時刻的投資c在t 1時刻返還的現(xiàn)金是c1 i (t)。容易看出，c從時刻0到時刻n(n是整個正整數(shù))的本利總和為： 一、實際利率與名義利率的含義n（一）實際利率利率常以百分比表示，例如，可以說實際利率(對某一給定的時期)為%4312，這意味著這段時期的實際利率為0.1275。 如果每期的利率水平不隨投資的時刻t發(fā)生變化， 即對于任意的t， i(t) i 。在這種情況下，根據(jù)公式(1.1)，金額為c的投資在n個時間單位后的本利和為 nic)1 ( (1.2) 并且這個公式即使是在n不是整數(shù)時也成立。 一、實際利率與名義

15、利率的含義n（二）名義利率 名義利率是相對于實際利率而言的。我們通過一個例子來說明名義利率的概念。 一、實際利率與名義利率的含義n（二）名義利率二、終值 n在一定的利率情況下，一筆款項a經(jīng)過k個時間單位后，其本利和成為b，我們稱b為a經(jīng)過k個時間單位后的終值，a為b在k個時間單位前的現(xiàn)值。n以計息期為一年的情況來說，假定各年的利率水平是不變的，初始時的1元到了1年后變成了（1i）元， 2年后變成了（1i）2，我們稱（1i）為1元錢在1年后的終值，稱（1i）2為1元錢在2年后的終值。例如，年利率為5%時，1元錢在1年后的終值為1.05元（圖11），12年后的終值為（10.05）12=1.7958

16、6元（圖12）。 n一般地，1元經(jīng)過n年后變成了（1i）n，c元經(jīng)過n年后變成了元，我們稱（1i）n為1元錢在n年后的終值，稱c（1i）n為c元錢n年后的終值。 二、終值三、現(xiàn)值 三、現(xiàn)值第四節(jié) 利息力n一、利息力與終值函數(shù)n二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)第五節(jié) 現(xiàn)金流量的現(xiàn)值n一、離散的現(xiàn)金流量n二、連續(xù)的現(xiàn)金流量n三、現(xiàn)金流量的估值一、離散的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量n到此為止，我們假定所有的支付，不論是離散的，還是連續(xù)的，都是正值，如果某人

17、有一系列的收入款項(可以把它看作是正值)以及一系列的支出款項(可以看作是負值)，則它們的凈現(xiàn)值(net present value)被定義為數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量總和與數(shù)額為負值的現(xiàn)金流量總和的差。 三、現(xiàn)金流量的估值 三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值第六節(jié) 利息收入 n考慮這樣一位投資者，他不希望擴大本金，但是想獲得一種收入，同時保持他的本金固定在數(shù)額c上，如果利率固定為每單位時間i，并且投資者希望在每單位時間末端獲得利息收入，很顯然，他的收入將是在每個單位時間末端的ic，直至他提取了本金。第六節(jié) 利息收入第六節(jié) 利息收入第六節(jié) 利息收入第七節(jié) 固定利率

18、 第七節(jié) 固定利率n這樣，為了在時間1能夠得到1元的返還，投資者必須在時間0投入(1d)元資金。這就相當于1單位時間后到期的1元錢，在單位時間里產(chǎn)生的利息為d。因此d被稱為單位時間貼現(xiàn)率。為了避免與名義貼現(xiàn)率混淆，d有時被稱為單位時間實際貼現(xiàn)率。n我們舉例來說明貼現(xiàn)率的概念。如果a有一張一年后到期的面額為100元的票據(jù)，他想立即到銀行兌現(xiàn)，銀行只給他兌現(xiàn)了90元，也就是說銀行扣去了10%，我們稱10%為實際貼現(xiàn)率，簡稱貼現(xiàn)率。n例如，某人以8%的實際貼現(xiàn)率向銀行貸款100元，銀行將先收取8元的利息而只給92元，一年后，他向銀行償還貸款100元。n顯然，實際貼現(xiàn)率是在一年內的利息量（或稱貼現(xiàn)量）與期末資金總額的比率。第七節(jié) 固定利率第七節(jié) 固定利率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié) 名