高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一

1、第二節(jié)第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法( (一一) ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8章 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和部分和序列ns),2, 1(n有界有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則ns,0nu部分和數(shù)列nsns有界, 故ns1nnu從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂,

2、 ,則則 1nnu收收斂斂；反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. .證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvunvvv 21 小發(fā)大發(fā)小發(fā)大發(fā) 大收小收大收小收機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nns 則則)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散).).定理證畢定理證畢.比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級(jí)數(shù)須有參考級(jí)數(shù). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束 解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 p, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂則則 p 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppp重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), p-, p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), , 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù). .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明,11)1(1 nnn,111 n

4、n發(fā)發(fā)散散而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)小發(fā)則大發(fā)小發(fā)則大發(fā)定理定理3.3.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明lvunnnlim由, 02 l 對(duì)于對(duì)于,n ,

5、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn 22llvullnn )(232nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè) 1nnu為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的斂散性. nnn1lim例例3. 判別級(jí)數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4. 判別

6、級(jí)數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .證明證明,為有限數(shù)時(shí)為有限數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對(duì)對(duì),n ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn ,1 nnuu有有)(1nnuun

7、n 即即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,11 nmmnuru,12 nnruu,1223 nnnurruu,111 mnmur收斂收斂而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù),11收收斂斂 nnnmmnuu收斂收斂, 1 取取, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): 不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù). . 兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意:,11發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn)1( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,232)1(2nnnnnvu 例

8、例,2)1(211收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 limn例例5. 討論級(jí)數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)收斂 ;,1時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級(jí)數(shù)nn,1時(shí)當(dāng) x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn),( n)2(!1010)!1(11nn

9、uunnnn 101 n.10!1發(fā)發(fā)散散故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn對(duì)任意給定的正數(shù) ,limnnnu定理定理5. 根值審斂法 ( cauchy判別法) 設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí),limnnnu則;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) 證明提示證明提示: ,zn存在nnu有時(shí)當(dāng),nn 即nnnu)()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且機(jī)動(dòng)

10、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級(jí)數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說(shuō)明說(shuō)明 :,1pnnu 但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 證明級(jí)數(shù)11nnn收斂于s ,似代替和 s 時(shí)所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .令,nnssr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估計(jì)以部分和 sn 近 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較