計算三重積分詳細(xì)方法

1、1熱烈歡迎各位朋友使用該課件！2 工科高等數(shù)學(xué)工科高等數(shù)學(xué) 廣州大學(xué)袁文俊、鄧小成、尚亞東廣州大學(xué)袁文俊、鄧小成、尚亞東3一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分三、小結(jié)三、小結(jié)4,0 r,20 . z一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點就叫點，則這樣的三個數(shù)，則這樣的三個數(shù)的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為的投影的投影面上面上在在為空間內(nèi)一點，并設(shè)點為空間內(nèi)一點，并設(shè)點設(shè)設(shè)mzrrpxoymzyxm , , ,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxm),( rp r簡單地說，柱面坐標(biāo)就是

2、簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xoy 面上的極坐標(biāo)面上的極坐標(biāo) + + z 坐標(biāo)坐標(biāo)5 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面r xyzoz),(zyxm),( rp rxyzo6 dxdydzzyxf),(.) ,sin ,cos( dzddrrzrrf 如圖，柱面坐標(biāo)系中的如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為體積元素為, dzddrrdv 于是，于是， drxyzodzdr rd再根據(jù)再根據(jù) 中中 z，r， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系

3、，化為三次積分。一般，先對一般，先對 z 積分，再對積分，再對 r ，最后對，最后對 積分。積分。7例例1 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分利用柱面坐標(biāo)計算三重積分, dxdydzz其中其中 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。與與平平面面是是由由曲曲面面 4 22 zyxz解解(1) 畫畫 圖圖(2) 確定確定 z，r， 的上下限的上下限將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得 4 :22 yxd或或 . 20,20 : rd 過過 (r, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得xyzo4xyzo4ao22 r ),( r8xyzo4 ),( r42 zr .,sin,coszzryrx 即

4、即過過 (r, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 4, 20,20 :2 zrr 于是，于是， dxdydzz . dzddrrz 420202 rdzzrdrd ao22 r, dzddrrdv 9 dxdydzz dzddrrz 420202 rdzzrdrd 20422022 drzrdr 20520)(16 21drrrd 202 0 6261821drr2 0 62618221 rr .364 10例例 2 2 求求 zdxdydzi，其其中中 是是球球面面 4222 zyx 與與拋拋物物面面 zyx322 所所圍圍的的立立體體. . 解解 zyxzyx34222

5、22求交線：求交線：xyzo將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxd . 1, 322zyxoa3 r或或 .30,20 : rd 11 dzdrdrzdxdydzzi .413 xyzo 23242030rrzdzrdrd .4322rzr 即即過過 (r, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 .43,30,20 :22 rzrr ),( r .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 或或 .30,20 : rd 12例例3 計算三重積分計算三重積分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所圍成。所圍成。與平面與平面面面 )0( 22

6、 hhzyxz解解將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得222 :hyxd 或或 .0,20 : hrd xyzohxyzohxyohhh h .hzr 過過 (r, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 ),( r13 ,0,20 : hzrhr 即即或或 .0,20 : hrd .hzr 過過 (r, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得xyohhh h hxyzoh ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr hrhdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 14 hhrdrzrd0 320 hdrrhr043

7、)(2 .10 5h ,0,20 : hzrhr 即即 dvyx )(22. 2 dzddrrr hrhdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 15二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點就叫做點，樣的三個數(shù)樣的三個數(shù)面上的投影，這面上的投影，這在在為點為點的角，這里的角，這里向線段向線段軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段的距離，的距離，間間與點與點為原點為原點來確定，其中來確定，其中，序的數(shù)序的數(shù)可用三個有次可用三個有次為

8、空間內(nèi)一點，則點為空間內(nèi)一點，則點設(shè)設(shè)mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(,0 r.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxmp r 16為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平半平面面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為pxyzo),(zyxm r zyxaxyzor 17 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 dddrrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin

9、2 dddrrdv 如圖，如圖， drxyzodr dsinr rd d d sinr再根據(jù)再再根據(jù)再 中中 r， ， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對一般，先對 r 積分，再對積分，再對 ，最后對，最后對 積分。積分。18例例4 用球面坐標(biāo)計算用球面坐標(biāo)計算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解畫畫 圖。圖。確定確定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 過過 z 軸作半平面，得軸作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 過原點作過原點作射線，

10、得射線，得. 10 rxyzo19xyzo(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 過原點作過原點作射線，得射線，得. 10 r即即 . 10,0,20 :r dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 20 0220 sin cos51dd 0220)(cos cos51dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sinco

11、s 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 21例例5 計算計算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222rzyx 圍成。圍成。)0( r將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 過過 z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 過原點作射線，得過原點作射線，得.0rr 解解軸作半平面，得軸作半平面，得xyzor22即即 .0,40,20 :rr dddrrr 2 2sin rdrrdd044020 sin xyzor dvzyx )( 222

12、.cos,sinsin,cossin rzryrx).22(515 r 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 過原點作射線，得過原點作射線，得.0rr ddrdrdvsin2 23例例 6 6 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍成成的的立立體體體體積積. . 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成， xyzor dvv由三重積分的性質(zhì)，有由三重積分的性質(zhì)，有 .20,40,20 :ar 24解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成， dvv由三重積分的性質(zhì)，有由三重積分的性質(zhì)，有 .20,40,20 :ar xyzor adrrdd202020sin4 ddrdrdvvsin2.)12(343a .cos,sinsin,coss