等價(jià)轉(zhuǎn)化思想2

1、精品資源等價(jià)轉(zhuǎn)化思想知識(shí)要點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，近幾年來(lái)高考試題都要求學(xué)生有很強(qiáng)的等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在試題中也處處可見(jiàn)。數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程事實(shí)上是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò) 程，這種過(guò)程體現(xiàn)了“把未知解法的問(wèn)題化歸到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解”的求解策略?；瘹w轉(zhuǎn)化分等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種情況。當(dāng)轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因后果是既充分又必要時(shí)，則稱(chēng)這種轉(zhuǎn)化為等價(jià)轉(zhuǎn)化。（一）等價(jià)轉(zhuǎn)化所遵循的基本原則1 、熟悉化原則：把生疏的轉(zhuǎn)化為熟悉的，把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，把非典型的轉(zhuǎn)化為典型的以充分利用已知的知識(shí)及解題經(jīng)驗(yàn)。例 1 （ 1 ）求適合等式 (1i ) x2(1i) x 2的 x的一切值(a12) 3

2、0（2 ）求a展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)1ii略解 （1）1ii xix 4k 1（ kZ ）原式a121( a1) 2（ 2 ）aa原問(wèn)題求 (a1) 60展開(kāi)式中含 a30的系數(shù)常數(shù)項(xiàng) = C6030xaba 的取值范例 2 （1 ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b ，方程x至多有一個(gè)是實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)圍歡下載精品資源（ 2 ）馬路上有編號(hào) 1 ， 2 ， 3 8 ， 9 的九只路燈。為了節(jié)約用電，可以把其中的三只路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端路燈，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法y1aya略解 （ 1）原問(wèn)題xb 至多有一個(gè)交點(diǎn)x曲線(xiàn)x 與 y2函數(shù)x 有ay x(0,) 單調(diào)a反函數(shù)函數(shù)x 在0（ 2

3、）原問(wèn)題六個(gè) 0中間插入三塊隔板且不在兩端所求方法C5310（種）2 、簡(jiǎn)單化原則：把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，化難為易。1112 n1例 3證明不等式：23nn1n12(kk1)k 1)2( k略解原不等式k 1kk 1k（ k 1,2,3n ）2(kk 1)221kk12kk而原不等式得證例 4設(shè) k 為實(shí)數(shù)，試求出關(guān)于x 的方程 x 22kxk 22k3 0 的實(shí)數(shù)根的范圍略解 原問(wèn)題求關(guān)于 k 的方程 k 22(1x)kx230 有實(shí)數(shù)解時(shí)x 的取值范圍k4(1 x) 24( x23)0x 2歡下載精品資源3 、直觀化原則：把抽象的轉(zhuǎn)化為具體的，把數(shù)的轉(zhuǎn)化為形的，以充分利用形的直觀 y性揭示

4、數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性。例 5 解不等式54xx2xA略解 令 y154xx 2， y2x 作圖像如右Cx-5Ox5, xA 5,1422原不等式例 6 對(duì)任何實(shí)數(shù) a，方程 3x 5 axb ay .P恒有實(shí)數(shù)解。求 b 的取值范圍x略解 原問(wèn)題對(duì)任何實(shí)數(shù) a ，過(guò)定點(diǎn)P (1,b ) 的直線(xiàn)系 ya( x O1) b 與曲線(xiàn)y 3x 5 恒有公共點(diǎn)P (1, b )在區(qū)域 y3x5 上 （如圖）b 8( 二 )等價(jià)轉(zhuǎn)化的主要途徑、方法1 、從問(wèn)題的形式、特征選擇轉(zhuǎn)化途徑：所謂數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式是指問(wèn)題的條件和結(jié)論的表象特征，從而數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式必是數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)涵信息的載體，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式往往隱含著

5、如何從條件通向結(jié)論的啟示，抓住問(wèn)題的形式、特征進(jìn)行分析，往往得到啟迪而有助于選擇轉(zhuǎn)化途徑。例 7 （ 1）證明方程 ( xm)( 2x2ma)1對(duì)任何實(shí)數(shù) a 都有兩個(gè)實(shí)根， 且一根大歡下載精品資源于 m ，另一根小于mSn5n 3a10（ 2 ）已知兩等差數(shù)列an和bn，它們的前 n 項(xiàng)和之比為Sn2n 7，求b10 略解 （ 1 ）令 tx.m ,則原問(wèn)題方程 2t 2at 10 恒有一正根，一負(fù)根0t1t210t1t2 02這顯然成立a10a1a19S19,b10S19（ 2 ）21919S19a10S1998原問(wèn)題求S19b10S1945有：2 、從命題的等價(jià)性選擇轉(zhuǎn)化途徑：對(duì)于一個(gè)難

6、以入手的命題，可以運(yùn)用充要條件的思想，把命題轉(zhuǎn)化為易于解決的等價(jià)命題，每一個(gè)等價(jià)命題都能提供一個(gè)解題思路，因此熟悉并掌握命題的多種等價(jià)形式是轉(zhuǎn)化順利的前提，同時(shí)也是解法靈活的基礎(chǔ)。x2y21例 8 已知橢圓 a2b20 ）， A 、 B 是橢圓上的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段（ abAB 的垂a2b2a2b 2yA直平分線(xiàn)與 x軸相交于點(diǎn) P( x0 ,0) ，求證：x0Maax略解 設(shè) AB 中點(diǎn)為 M ， A(x1, y1 ), B( x2 , y2 )OPB轉(zhuǎn)化1原問(wèn)題M在橢圓內(nèi)部xM2y M21a 2b 2MPABkABkMP1(b 2xM)(yM)1a 2x0yM xM歡下載精品資源a xMa 2

7、x0aa 2b2a 2b 2a 2b2ax0aM在橢圓內(nèi)部轉(zhuǎn)化 2MP ABPA PB原問(wèn)題PA PBxM2yM21a2b2b2 ( x22x12 )( x1x0 )2y12(x2x0 )2y22(x1x2 )( x1x22x0 )y22y12a 2axMx1x2a2 x0a2a 2b2（下略）轉(zhuǎn)化 3設(shè) A(a cos,b sin), B(a cos, bsin)0,2 ()2coscos2a 2b 2直線(xiàn) MP 在 x軸上截距為 x0x0(coscos )則原問(wèn)題2a（下略）3 、從不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)系映射選擇轉(zhuǎn)化途徑：當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在原來(lái)的結(jié)構(gòu)體系中直接求解較為困難時(shí)，可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換，

8、把它等價(jià)映射到另一結(jié)構(gòu)體系中去，使問(wèn)題獲解。例 9 設(shè)單位圓 x2y 21 內(nèi)任意兩點(diǎn)A( xA , y A ), B( xB , y B ) ， P(x, y) 為以線(xiàn)段 AB為直徑的圓上任意一點(diǎn)。求證：x 2 y22略解 設(shè) A 、 B、 P 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1 , z2 , z歡下載精品資源z1z2z1z22z11, z21z222則原命題若，且z，求證：z1z2112z2 (z1z2 )z2 z1z2則z1z2z1z2z12z1212)2z2z22222z(22(2 z12 z2 ) z1z222例 10求同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z101z106z（ 1 ）z是實(shí)數(shù)，且z（ 2

9、 ） z 的實(shí)部和虛部都是整數(shù)z10a (1 a6)z略解 設(shè)則原問(wèn)題實(shí)系數(shù)方程 z 2az100 的復(fù)數(shù)解其實(shí)部、虛部均為整數(shù)za40a 2a24022i0 a 為整數(shù)240a 2為整數(shù)2a 2或 a 6z 1 3i或 z 3 i（三）幾種常見(jiàn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化思路1 、利用數(shù)學(xué)定義、公式構(gòu)造數(shù)學(xué)模型進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化ex1y1 的反函數(shù)定義域例 11 （ 1 ）求函數(shù)ex歡下載精品資源（ 2 ）求 sin 2 20cos2803 sin 20 cos80 的值ex1(1)1 ex略解 （ 1 ） ex11ex， 令 A(-1) ， B(1)求 y 的反函數(shù)定義域y 的值域求分 AB 為定比ex0 的分點(diǎn)

10、 P( y) 的范圍 1 y 1（ 2 ）注意到所求式與余弦定理類(lèi)似由 c 2a 2b 22ab coscsin 2 Csin 2 A sin 2 B2sin Asin B cosCsin 2 20sin 2 102sin 20sin 10cos150sin 2 1501原式=4構(gòu)設(shè)函數(shù)、方程及不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化例 12設(shè)函數(shù) f (x) 定義域?yàn)?D，若存在 x0D ，使 f (x0 )x0 成立，則稱(chēng)以 ( x0 , x0 )3xaf ( x)為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f (x) 圖像上的不動(dòng)點(diǎn)。 若函數(shù)xb圖像上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不動(dòng)點(diǎn)，求a、 b 應(yīng)滿(mǎn)足的條件。略解 設(shè) A(x1 , x1 )

11、, B(x2 , x2 ) 為 f ( x) 不動(dòng)點(diǎn)x1x2 03x1ax1x1b3x2a3xax x2x2方程 xb原問(wèn)題b（）有兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)根由（）x 2(b 3)x a0（ xb0）歡下載精品資源0x1x23b 0 x1b 0, x2b 0b 3, a 0, a 9x3例 13設(shè) 0a1 ，f ( x)log a x3的定義域?yàn)?,)，其值域?yàn)?log a a(1), log aa(1)證明：3證明：f (x) 為 ,) 上的減函數(shù)求 a的取值范圍略解 （ 1）（ 2）略。下面證（3） f (x) 在 , )（3 ）且值域?yàn)?(log a a(1),log a a(1)log a

12、3log aa(1)3log a3log aa(1)3方程 log ax3log aa( x1)在 (3,) 上有兩相異實(shí)根原問(wèn)題x3x3a( x1)ax 2(2a1) x3 3a0) 上有兩相異實(shí)根即： x3在 (3,023( x13) (x23) 00 a234a 0 a( x13)( x23)043 引入相關(guān)參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化：在有關(guān)探求參數(shù)a 的取值范圍問(wèn)題中，當(dāng)直接構(gòu)設(shè)以參數(shù)為元的不等式較為困難時(shí)，?？梢?a 的相關(guān)系數(shù)，借助把問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化歡下載精品資源x 2y 21已知橢圓 C： a 2b2b0 ），其長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為A、A，如果 C上例 14（ a存在一點(diǎn) Q ，使 AQAc12

13、0 。求 a 的取值范圍c0設(shè) Q (a cos, b sin) （為與 a 相關(guān)的參數(shù)）由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)略解 2（ B）K AQb sinK AQb sina cosa,a cosaK QAKQA2ab sin3sin2abtg120(b 2a 2 ) sin23(a2b 2 )1KQAKQA(A)02ab13( b ) 22( h ) 30b1解（ B） (A)3(a 2b 2 )aaa3c21 ( b )211 26c1a 2a333a（四）等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題 A 轉(zhuǎn)化為問(wèn)題B，若 B 只是 A 的必要非充分條件或充分非必要條件，則這種轉(zhuǎn)化就是非等價(jià)轉(zhuǎn)化。前者可能擴(kuò)大解集，后者則

14、可能縮小解集。某些問(wèn)題，或者根本不存在等價(jià)交換，或者按等價(jià)轉(zhuǎn)化的思路展開(kāi)求解較為困難。這時(shí)，就需要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，對(duì)不等價(jià)轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的后果進(jìn)行控制，以保持問(wèn)題的解集不變。例 15 已知 an 為公差 d 不為零的等差數(shù)列，Sn 為其前n 項(xiàng)和，是否存在這樣的Sn an ，使對(duì)一切 n N ， S2n 恒為一常數(shù)。若存在，則求出 an 的通項(xiàng)表達(dá)式；若不存歡下載精品資源在，則說(shuō)明理由。Snna1n(n1) d2a1(n1)d2S2n2na12n(2n1) d4a12(2n1)d略解 2S1S2滿(mǎn)足題意的 an 存在S2S4（）Sn1d 22a1d 0d 2a1此時(shí)，S2 n4（）存在，ana1( n1)d (2n1) a1（a1R, a10）說(shuō)明：第（）步是非等價(jià)轉(zhuǎn)化（必要條件），從而需要第（）步來(lái)驗(yàn)證充分性x R， f (x)sin x(1a cos2x)例16 已知2的最大值為1 ，求 a 的取值范圍略解 當(dāng)sin x1 時(shí)， f (x)1（）f (x)sin x(1a cos2x)sin