交通流理論第四章

1、精品資料第四章 跟馳理論與加速度干擾本章將主要討論單車道情況下的車輛跟馳現(xiàn)象，介紹跟馳理論，建立相應(yīng)的跟馳理論模型，最后簡(jiǎn)要介紹一下加速度干擾問(wèn)題。跟馳理論是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法研究在限制超車的單車道上，行駛車隊(duì)中前車速度的變化引起的后車反應(yīng)。車輛跟馳行駛是車隊(duì)行駛過(guò)程中一種很重要的現(xiàn)象，對(duì)其研究有助于理解交通流的特性。跟馳理論所研究的參數(shù)之一就是車輛在給定速度u 下跟馳行駛時(shí)的平均車頭間距 s ，平均車頭間距則可以用來(lái)估計(jì)單車道的通行能力。在對(duì)速度間距關(guān)系的研究中，單車道通行能力的估計(jì)基本上都是基于如下公式：C 1000 u/s（4 1）式中： C 單車道通行能力（ veh/h ） ；u 速度（

2、km/h ） ；s 平均車頭間距（ m ） 。研究表明，速度間距的關(guān)系可以由下式表示：2s u u（4 2）式中系數(shù)、 可取不同的值，其物理意義如下：車輛長(zhǎng)度，l ；反應(yīng)時(shí)間，T ；跟馳車輛最大減速度的二倍之倒數(shù)。2附加項(xiàng) u2 保證了足夠的空間， 使得頭車在緊急停車的情況下跟馳車輛不與之發(fā)生碰撞， 的經(jīng)驗(yàn)值可近似取為 0.023s 2/ 英尺。 一般情況下是非線性的， 對(duì)于車速恒定（或近似恒定） 、車頭間距相等的交通流， 的近似計(jì)算公式可取為：110.5 afal（4 3）式中： a f 、 al 分別為跟車和頭車的最大減速度。跟馳理論除了用于計(jì)算平均車頭間距以外， 還可用于從微觀角度對(duì)車輛

3、跟馳現(xiàn)象進(jìn)行分析，近似得出單車道交通流的宏觀特性。總之，跟馳理論是連接車輛個(gè)體行為與車隊(duì)宏觀特性及相應(yīng)流量、穩(wěn)定性的橋梁。第一節(jié) 線性跟馳模型的建立單車道車輛跟馳理論認(rèn)為，車頭間距在100125m 以內(nèi)時(shí)車輛間存在相互影響。分析跟馳車輛駕駛員的反應(yīng)，可將反應(yīng)過(guò)程歸結(jié)為以下三個(gè)階段：感知階段：駕駛員通過(guò)視覺(jué)搜集相關(guān)信息，包括前車的速度及加速度、車間距離(前車車尾與后車車頭之間的距離，不同于車頭間距)、相對(duì)速度等；決策階段：駕駛員對(duì)所獲信息進(jìn)行分析，決定駕駛策略；控制階段：駕駛員根據(jù)自己的決策和頭車及道路的狀況，對(duì)車輛進(jìn)行操縱控制。線性跟馳模型是在對(duì)駕駛員反應(yīng)特性分析的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化得到的。、線

4、性跟馳模型的建立模馳模型實(shí)際上是關(guān)于反應(yīng)一刺激的關(guān)系式，用方程表示為:反應(yīng)刺激(4 4)可修改式中 為駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)系數(shù)，稱為靈敏度或靈敏系數(shù)。駕駛員接受的刺激是指其前 面引導(dǎo)車的加速或減速行為以及隨之產(chǎn)生的兩車之間的速度差或車間距離的變化；駕駛員 對(duì)刺激的反應(yīng)是指根據(jù)前車所做的加速或減速運(yùn)動(dòng)而對(duì)后車進(jìn)行的相應(yīng)操縱及其效果。線性跟馳模型相又簡(jiǎn)單，圖 4-1為建立線性跟馳模型的示意圖。n車停 車位置線性跟馳模型示意圖圖中各參數(shù)意義如下：S(t)Xn(t) Xni(t) t時(shí)刻車輛間的車頭間距;d1 T un 1 (t) 反應(yīng)時(shí)間 T 內(nèi) n 1車行駛的距離；xn 1 (t) t 時(shí)刻n 1

5、車的位置；xn(t)t 時(shí)刻n 車的位置；T 反應(yīng)時(shí)間或稱反應(yīng)遲滯時(shí)間；d2n1車的制動(dòng)距離；d 3 n 車的制動(dòng)距離；L 停車安全距離。從圖中可以得到：s(t)xn(t)xn 1(t) d1 d2 L d3(4 5)d1 un 1(t) T un 1(t T) Txn 1(t T) T (4 6)假設(shè)兩車的制動(dòng)距離相等，即d2d3 ，則有s(t) xn(t) xn 1(t) d1L(47)由式 (4 5)和式(4 6)可得xn (t) xn 1(t) xn 1(t T)TL(48)兩邊對(duì) t 求導(dǎo)，得到xn(t) xn 1(t) xn 1(tT)T(49)也即Xni(tT) Xn(t) Xn

6、i(t)n 1,2,3,(4-10)或?qū)懗蒟ni(t)Xn(t T) Xn i(t T ) n 1,2,3,(4-11)1其中 T 1。與式 (4 4)對(duì)比，可以看出式(4 11) 是對(duì)刺激反應(yīng)方程的近似表示：刺激為兩車的相對(duì)速度；反應(yīng)為跟馳車輛的加速度。式(4 9)是在前導(dǎo)車剎車、兩車的減速距離相等以及后車在反應(yīng)時(shí)間 T 內(nèi)速度不變等假定下推導(dǎo)出來(lái)的。實(shí)際的情況要比這些假定復(fù)雜得多，比如刺激可能是由前車加速引起的，而兩車在變速行駛過(guò)程中駛過(guò)的距離也可能不相等。為了考慮一般的情況，通常把式(4 10) 或式(411) 作為線性跟馳模型的形式，其中 不一定取值為 T 1 ，也不再理解為靈敏度或靈

7、敏系數(shù)，而看成與駕駛員動(dòng)作強(qiáng)度相關(guān)的量，稱為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)，量綱為 s 1、車輛跟馳行駛過(guò)程的一般表示跟馳理論的一般形式可用傳統(tǒng)控制理論的框圖表示，見(jiàn)圖 4 2a 。式 (4 11) 所示的線性跟馳模型表示為圖 42b,圖中駕駛員行為由反應(yīng)時(shí)間和反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)代替。完善的 跟馳理論應(yīng)包括一系列方程，以便建模描述車輛及道路的動(dòng)態(tài)特性、駕駛員的生理心理特 性以及車輛間的配合。跟馳車輛狀態(tài)跟馳車輛速度圖4 2b線性跟馳模型框圖表示第二節(jié)穩(wěn)定性分析本節(jié)討論方程（4 10）所示線性跟馳模型的兩類波動(dòng)穩(wěn)定性：局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn) 定性。局部穩(wěn)定性：關(guān)注跟馳車輛對(duì)它前面車輛運(yùn)行波動(dòng)的反應(yīng)，即關(guān)注車輛間配合的局部行

8、為。漸進(jìn)穩(wěn)定性：關(guān)注車隊(duì)中每一輛車的波動(dòng)特性在車隊(duì)中的表現(xiàn)，即車隊(duì)的整體波動(dòng)特 性，如車隊(duì)頭車的波動(dòng)在車隊(duì)中的傳播。精品資料一、局部穩(wěn)定性根據(jù)研究，針對(duì) C T ( 、T參數(shù)的意義同前)取不同的值，跟馳行駛兩車的運(yùn) 動(dòng)情況可以分為以下四類：a) 0 C e 1( 0.368)時(shí)，車頭間距不發(fā)生波動(dòng)；b) e 1 C /2時(shí)，車頭間距發(fā)生波動(dòng)，但振幅呈指數(shù)衰減；c) C/2時(shí),車頭間距發(fā)生波動(dòng)，振幅不變；d) C/2時(shí),車頭間距發(fā)生波動(dòng)，振幅增大。對(duì)于C e 1的情況，利用計(jì)算機(jī)模擬的辦法給出了相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化曲線(其中反應(yīng)時(shí)間T 1.5s, C e 10.368),如圖4 3。模擬過(guò)程中假定

9、頭車的加速和減速性能是理想的，頭車采取恒定的加速度和減速度。圖中實(shí)線代表頭車運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，虛 線代表跟馳車輛運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，其中的“速度變化”是指頭車和跟馳車輛分別相對(duì)于初 始速度的變化值，即每一時(shí)刻的速度與初始速度之差。圖44中給出了另外四個(gè)不同 C值的車頭間距變化圖，C分別取阻尼波動(dòng)、恒幅波動(dòng)和增幅波動(dòng)幾種情況的值。圖43頭車加速度波動(dòng)方式及對(duì)兩車運(yùn)動(dòng)的影響圖44 不同C值對(duì)應(yīng)的車頭間距變化如果跟馳車輛的對(duì)于一般情況下的跟馳現(xiàn)象（不一定為車隊(duì)啟動(dòng)過(guò)程或剎車過(guò)程）初始速度和最終速度分別為 U1和U2,那么有0Xf(t T)dt U2 U1(4 12)式中：xf （t T）跟馳車輛的加速度。

10、從方程（4 10 ）我們得到0xi(t) Xf(t)dt s也即(4-13)s 0 Xi (t) Xf(t)dtu2-u1式中：Xi（t）、Xf （t）分別為頭車和跟馳車輛的速度； s車頭間距變化量。-1C e時(shí)，車頭間距以非波動(dòng)形式變化，從式 （4 13）可知車速?gòu)腢1變?yōu)閁2時(shí)其變 化量為 So如果頭車停車，則最終速度 U2 0,車頭間距的總變化量為 U1 / ,因此跟 馳車輛為了不發(fā)生碰撞， 車間距離最小值必須為 3 / ,相應(yīng)的車頭間距為 3/ l （l為 車輛長(zhǎng)度）。為了使車頭間距盡可能小，應(yīng)取盡可能大的值，其理想值為 （eT） 1。二、漸進(jìn)穩(wěn)定性在討論了方程（4 10）所示線性跟馳

11、模型的局部穩(wěn)定性之后，下面通過(guò)分析一列運(yùn)行的車隊(duì)（頭車除外）來(lái)討論其漸進(jìn)穩(wěn)定性。描述一列長(zhǎng)度為N的車隊(duì)的方程為（假設(shè)車隊(duì)中各駕駛員反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)值相同）：Xn i(t T)Xn(t) Xn i(t) n 1,2,3,N (4 14)無(wú)論車頭間距為何初始值，如果發(fā)生增幅波動(dòng)，那么在車隊(duì)后部的某一位置必定發(fā)生碰撞，方程(414)的數(shù)值解可以確定碰撞發(fā)生的位置。下面我們分析判斷波動(dòng)是增幅還是衰 減的標(biāo)準(zhǔn)，也即漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)研究，一列行駛的車隊(duì)僅當(dāng)C T 距間頭車精品資料圖4 6線性跟馳模型車隊(duì)中車頭間距隨時(shí)間的變化圖47中（C 0.80 ）給出了 9輛車組成的車隊(duì)中每一輛車的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用的坐標(biāo)

12、系是移動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)的速度與車隊(duì)的初始速度U一致。t 0時(shí)，所有的車輛都以速度u行駛，車頭間距均為12m 。頭車在t 0時(shí)開(kāi)始以4km/h/sec的減速度減速2s,速度從u變成u 8km/h ,之后又加速至原速度 u。C 0.80 ,所以頭車的這種速度波動(dòng)將在 車隊(duì)中不穩(wěn)定地傳播。從圖中可以看到，在頭車發(fā)生第一次波動(dòng)后大約 24s時(shí)，第7輛與第8輛車之間的車間距離變?yōu)榱悖窜囶^間距等于車輛長(zhǎng)度，此時(shí)即發(fā)生碰撞。圖4 79輛車車隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性（C=0.80）三、次最近車輛的配合跟馳行駛的車輛除了受最近車輛(直接在其前面的車輛)的影響之外，還會(huì)受次最近車輛(在其前面的第二輛車)的影響，這種影響

13、也可以列入模型中，那么跟馳模型可以寫成如下形式：xn 2(t T)1xn 1(t) xn 2(t)2xn(t) xn 2(t)(4 15)式中： 1 、2 分別為跟馳車輛駕駛員對(duì)最近車輛和次最近車輛刺激的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)。為了確定次最近車輛的影響程度，研究人員專門做了三車跟馳實(shí)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，認(rèn)為在車輛跟馳行駛過(guò)程當(dāng)中，只有最近車輛對(duì)跟馳車輛有明顯的影響，次最近車輛的影響可以忽略不計(jì)。第三節(jié) 穩(wěn)態(tài)流分析滿足局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性要求，即不發(fā)生恒幅和增幅波動(dòng)的交通流為穩(wěn)態(tài)流。本節(jié)將利用單車道車輛跟馳模型討論穩(wěn)態(tài)流的特性，針對(duì)不同的交通流狀態(tài)對(duì)跟馳模型進(jìn)行必要的擴(kuò)充和修正，并由此推導(dǎo)相應(yīng)的速

14、度間距(或速度密度) 、流量密度關(guān)系式。一、線性跟馳模型分析為了討論方便，重寫式( 4 10 )如下：Xni(t T)Xn(t)Xni(t) n 1,2,3,(4-16)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中車隊(duì)將從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)，為了使兩種穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，現(xiàn)假定在t 0時(shí)每一輛車的速度為 u 1，車頭間距為 s1 。頭車在 t 0 時(shí)速度開(kāi)始改變(加速或減速) ，在一段時(shí)間 t 后其最終速度變?yōu)?u 2 。取 C T 0.47 ，交通流是穩(wěn)定的，因此車隊(duì)中每一輛車的速度最終都將達(dá)到速度u2 。在速度由u1 向 u 2轉(zhuǎn)變的同時(shí)，車頭間距也從S1變化到s2，由式(4 13 )得1s2s1(u2u1)

15、(4 17)車頭間距是交通流密度k 的倒數(shù)，于是由方程( 4 17 )得到速度密度關(guān)系式：111 k2 k1(u2 u1)(4 18)由此可知， 式(4 17)和(4 18)把一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)和另外一個(gè)隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)，建立了包含車輛跟馳微觀參數(shù)在內(nèi)的宏觀交通流變量之間的關(guān)系。對(duì)于停車流， u20 ,相應(yīng)的車頭間距s0 由車輛長(zhǎng)度和車輛間的相對(duì)距離構(gòu)成，通常稱為車輛的有效長(zhǎng)度(或稱為停車安全距離) ，用 L 表示。對(duì)應(yīng)于s0 的密度 k j 被稱作阻塞可修改精品資料密度。給定kj ,對(duì)于任意交通狀態(tài)，速度為 u ,密度為k ,式（418）可寫為:,.i .1、u （k kj ）（4 19）將

16、此公式與單車道交通試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果對(duì)比，如圖 48,可以得出的估計(jì)值0.60s -1。根據(jù)漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)：C T 0.5 ,可以得出T的上限約束為0.83s。從式（4-19）可以得到如下流量一密度關(guān)系式：kq ku 1 （420）kj由于模型是線性的，并不能很合理地描述交通流流量和密度這兩個(gè)基本參數(shù)的變化特征，圖49利用與圖48中相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行了說(shuō)明。 為了使結(jié)果更具客觀性， 圖中應(yīng)用的 是標(biāo)準(zhǔn)化流量和標(biāo)準(zhǔn)化密度，直線為式（420）標(biāo)準(zhǔn)化后的圖示。所謂標(biāo)準(zhǔn)化，就是利用觀測(cè)或計(jì)算所得的絕對(duì)值與對(duì)應(yīng)的最佳值（最大值）相比，得到其相對(duì)值。標(biāo)準(zhǔn)化流量 即是用實(shí)際流量與最佳流量（最大流量）之比，標(biāo)準(zhǔn)化密度即

17、是實(shí)際密度與最大密度（阻 塞密度）之比。式（420）對(duì)流量和密度所要求的定性關(guān)系無(wú)法進(jìn)行解釋，這引出了對(duì) 線性跟馳模型的修改。圖4 9標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖二、非線性跟馳模型分析線性跟馳模型假定駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度與車間距離無(wú)關(guān)，即對(duì)給定的相對(duì)速度，不管車間距離?。ㄈ?或10m ）還是大（如幾百米），反應(yīng)強(qiáng)度都是相同的。實(shí)際上，對(duì)于給定的 相對(duì)速度，駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該隨車間距離的減小而增大，這是因?yàn)轳{駛員在車輛間距 較小的情況相對(duì)于車輛間距較大的情況更緊張，因而反應(yīng)的強(qiáng)度也會(huì)較大。為了考慮這一因素，我們可以認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù) 下的非線性跟馳模型。1 .車頭間距倒數(shù)模型 這種模型認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)并

18、非常量， 而是與車頭間距成反比的，由此得出如與車頭間距成反比，即:l/s(t) i/Xn(t) Xni(t)(421)這里1是一個(gè)新參數(shù)，假定為常量。把式（4-21 ）帶入式（416）中，可得到如下的跟馳方程：1Xn 1(t T)-Xn(t)XnQn 1,2,3,Xn(t) Xn(t)(4-22)同前，我們假定這些參數(shù)是來(lái)自穩(wěn)態(tài)流的。方程通過(guò)積分得到速度一密度的如下關(guān)系:u11n(kj / k)(4-23)及流量一密度的關(guān)系:q1k ln( kj / k)(4 24)由此可知u 0時(shí)，車頭間距等于車輛的有效長(zhǎng)度，即:利用圖4 8和4 9中的數(shù)據(jù)，結(jié)合交通流參數(shù)的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式（式（ -24）我們可

19、以得到圖4 10和4 11。用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,kj1。4 23 )得到1.值分別為27.7km/h和142veh/km 。經(jīng)推導(dǎo)，密度為 e kj時(shí)流量最大，為 住最大流量即為通行能力，代入1可得此條件下的通行能力近似為1400veh/h。和式（41和kj的1、4kj ,該精品資料圖4 10速度一密度關(guān)系圖（最小二乘法擬合）圖411標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（參數(shù)由圖 410擬合）分析式（424）,在k 0時(shí)正切值dq/dk趨于無(wú)窮大（從圖411也能看出），這 是不合理的。實(shí)際上，低密度情況下的車頭間距很大，車輛間的跟馳現(xiàn)象已變得很微弱。除了上述對(duì)模型的修改形式以外，我們還可以做另一種

20、修改。 分析駕駛員的反應(yīng)過(guò)程，其反應(yīng)強(qiáng)度除和車頭間距有關(guān)外，還應(yīng)與車輛速度有關(guān)，高速時(shí)的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該比低速時(shí) 大，這同樣是由于速度高時(shí)駕駛員的緊張程度也高，反應(yīng)強(qiáng)度自然也大，由此得到如下的 跟馳模型。2 .正比于速度的間距平方倒數(shù)模型對(duì)反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)作如下修改：2Xn T）/Xn（t） Mt）22為新參數(shù)，假定為常量。于是跟馳模型變?yōu)槿缦滦问剑喊?、2Xn 1（t T） .Xn1（t T） 2-Jn-Q4Xn（t） Xn1（t） n 1,2,3,（4 25）Xn（t） Xn 1（t）利用車頭間距和密度的倒數(shù)關(guān)系對(duì)此式積分，如果最大流量時(shí)的速度（最佳速度）取為e 1uf,則系數(shù) 2為km1，相應(yīng)地

21、我們可以得到如下的穩(wěn)態(tài)方程：u ufe k/km(4 26)和q ufke k/km(4 27)式中Uf是自由流速度，即密度趨于零時(shí)的速度，km是最大流量時(shí)的密度(最佳密度)。為了更完整地說(shuō)明交通流速度在低密度下與車輛密度大小無(wú)關(guān)，速度一密度關(guān)系可以寫成如下形式：U U f當(dāng) 0 k kf 時(shí)(428)和k kfu Uf exp 當(dāng) k kf 時(shí)(429)其中kf是車輛間剛要產(chǎn)生影響時(shí)的密度，超過(guò)此值交通流速度將隨著密度的增加而減小。如果假定影響剛發(fā)生時(shí)的間距為120m ,那么kf的值近似為8veh/km 。描述速度一密度關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停焊窳窒栔尉€性模型，就可以近似地表示這種關(guān)系。3 .格林

22、希爾治模型格林希爾治線性模型為：u Uf (1 k/kj)(4 30)式中：Uf 自由流車速；kj 阻塞密度。式(430)可以寫成如下形式：U Uf (1 L/S)(431)對(duì)兩邊求導(dǎo)可得：u (Uf L/S2)S(4 32)對(duì)第(n 1)輛車引入反應(yīng)時(shí)間之后:Xn1(t T)Uf LXn(t) Xn1(t)2Xn(t)Xn 1 (t)n 1,2,3,(4-33)可修改反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)為：(4 34)Uf LXn (t) Xn 1(t)24 .模型的統(tǒng)一表示總結(jié)上述的各種跟馳理論方程(包括線性模型)，可以得到如下的通式:(4 35)xn 1(t T)xn(t) xn 1(t)其中的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)取以

23、下幾種形式：1 )常數(shù)， 0 ；2 )反比于車頭間距， 1 / S ；3 )正比于車速、反比于車頭間距的平方， 2u / S2 ；4 )反比于車頭間距的平方， u f L / S2 。反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)可以看作下述一般形式的具體化：al,mxnm1(tT)/xn(t)xn 1(t)l(4 36)這里的ai,m是常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，l、m為指數(shù)且l 0、m 0。就穩(wěn)態(tài)流而言，式(4 35) 和式(4 36 )給出了跟馳模型的基本形式。三、交通流基本參數(shù)關(guān)系式的一般表示將方程( 4 35 )對(duì)時(shí)間積分， 取式 (4 36) 的形式，可以得到：(4 37)fm(u)a fl(S) b式中： a , b 積分

24、常數(shù)；u 交通流的穩(wěn)態(tài)速度；S 穩(wěn)態(tài)車頭間距。f p ( x) 可由下式確定( p l 或 m ) ：p 1 時(shí)， fp (x) x1 p(4 38)p 1 時(shí)， f p ( x) ln x(4 39)積分常數(shù)的確定依賴于具體的 m 和 l 值 ( l 0 ， m 0 ) ，而且與兩個(gè)邊界條件：( 1 )S-8時(shí)，u - Uf；(2)S L時(shí)，u 0的滿足情況有關(guān)(各參數(shù)含義同前)，下面分幾種情況進(jìn)行討論。(1 ) l 1， 0 m 1 的情況，兩邊界條件均滿足，積分常數(shù) a 、 b 的值可由下式求 得：afm(uf)/fl(L)(4 40) b fm(uf)（2） l 1 ， m 1 的情況

25、，僅滿足第一個(gè)邊界條件，可得到積分常數(shù)b 的值如下：b fm(uf)(4 41) 積分常數(shù)a的值可以通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。（3） l 1,0 m 1的情況，僅滿足第二個(gè)邊界條件，可以得到積分常數(shù)a、b具有如下關(guān)系：b afl（L）（442）同樣a、b的值可以利用具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)擬合求得。（4） l 1, m 1的情況，兩邊界條件均不滿足，積分常數(shù)a、b的值只能通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。利用式（4 37）、（4 38）、（4 39）、（4 40）、（4 41 ）、（4 42）以及穩(wěn)態(tài)流 的特性，可以得到速度、密度和流量之間的關(guān)系。 圖4 12、413包含了一些不同l、m 值對(duì)應(yīng)的流量一密度關(guān)

26、系曲線， 其中的參數(shù)通過(guò)qn q/qmax和kn k/kj進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化。kn圖4 12標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（利用式（4 34）和（435） ,m=0 ）圖4 13 標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（利用式（ 4 34 ）和（4 35 ） ,m = 1 ）從圖中可以看到，這些模型大部分與穩(wěn)態(tài)流的定性描述相一致，只要模型參數(shù)選擇適當(dāng)，基本上可以用來(lái)擬合圖 4 8的數(shù)據(jù)。式（ 4 35 ）和（ 4 36 ）所給的跟馳模型的一般形式中， l 、 m 不一定必須取整數(shù)值， 也可以取非整數(shù)值， 例如曾經(jīng)有人提出過(guò) m 0.8 、l 2.8的模型。實(shí)際上在早期的對(duì)穩(wěn)態(tài)流和車輛跟馳現(xiàn)象的研究中，各種各樣的 l和m

27、值 都得到過(guò)。四、跟馳理論的不足以及相應(yīng)的新研究方向在先前所有的討論中，我們都假定駕駛員對(duì)于同一刺激采取相同的比率加速和減速，即加速度的絕對(duì)值相等。但是，這一假設(shè)是不符合實(shí)際的，大多數(shù)車輛的減速性能要比加速性能強(qiáng)，而且在交通比較擁擠時(shí)，跟馳車輛的駕駛員對(duì)前車減速的反應(yīng)強(qiáng)度要比加速的反應(yīng)強(qiáng)度大一些，這是出于行車安全的考慮。因此，對(duì)應(yīng)于前面車輛的加速或減速刺激，即相對(duì)速度是正還是負(fù)或者車頭間距是增大還是減小，跟馳車輛的反應(yīng)具有不對(duì)稱性。為了在跟馳模型中反映出這種不對(duì)稱性，我們可以把跟馳理論的基礎(chǔ)模型改寫成如下形式：xn 1（t T） ixn（t）xn 1（t）（4 43）其中 i 或 ，取決于相對(duì)

28、速度是正還是負(fù)或者車頭間距是增大還是減小。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)， 的平均值要比 高大約 10% ，這使得在利用跟馳理論解釋跟馳現(xiàn)象時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)特殊的困難，即在頭車加速至較高速度再減速至初始速度的循環(huán)過(guò)程中，不對(duì)稱性將阻止車輛減速至原來(lái)的速度。 N 次循環(huán)后， 車頭間距將增大到一定值以至于一部分車輛從車隊(duì)中漂移。為了解決這一困難，可以在模型中加一項(xiàng)松弛項(xiàng)，以考慮這種不對(duì)稱性。遺憾的是，到目前為止還沒(méi)有這方面的成型理論，對(duì)此尚需進(jìn)一步的研究和探討。除此之外， 跟馳理論還有一些不足。 我們上面通過(guò)對(duì)穩(wěn)態(tài)流分析， 對(duì)跟馳理論的模型不斷進(jìn)行修正和擴(kuò)充，以使模型適合于各種不同的交通狀況。但是經(jīng)過(guò)近幾年的實(shí)驗(yàn)和進(jìn)一步

29、研究發(fā)現(xiàn)，流量密度曲線在接近最大流的地方有明顯的間斷，流量突然下降。這說(shuō)明流量密度曲線具有不連續(xù)性，而以前的研究認(rèn)為該曲線是連續(xù)的，并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題。針對(duì)這一情況，現(xiàn)在有人提出了一種全新理論：突變理論。這種理論與傳統(tǒng)跟馳理論的建模方法完全不同，該理論中第一次提出可以用“交點(diǎn)突變”的思想來(lái)解釋和描述交通流參數(shù)的上述不連續(xù)性，有望解決傳統(tǒng)跟馳理論的不足。初步的研究表明，這一理論應(yīng)用于交通流分析具備可行性。隨著科技的發(fā)展， 道路和車輛技術(shù)水平也在不斷提高。 為了進(jìn)一步提高道路的利用率和通行能力，現(xiàn)在又提出了智能化公路和車輛自動(dòng)駕駛的設(shè)想方案，并在做一些試驗(yàn)性的研究和探索。所謂智能化公路和車輛自動(dòng)駕

30、駛，就是在道路上開(kāi)設(shè)裝有導(dǎo)向設(shè)備（如導(dǎo)向槽）的專門車道，車輛在配有特殊裝置的情況下可以進(jìn)入該車道進(jìn)行自動(dòng)行駛，無(wú)需駕駛員手工操縱。車輛也可以隨意離開(kāi)該車道進(jìn)入普通車道，由駕駛員手工駕駛車輛行駛。傳統(tǒng)的跟馳理論都是基于駕駛員手工操縱車輛進(jìn)行的研究，如果智能化公路和車輛自動(dòng)駕駛技術(shù)在實(shí)用領(lǐng)域取得突破性進(jìn)展，那么必將導(dǎo)致跟馳理論新的研究領(lǐng)域和發(fā)展方向。目前,智能化公路與車輛自動(dòng)駕駛技術(shù)的研究還處于實(shí)驗(yàn)室階段，但也取得了一些可喜成果，其 應(yīng)用前景是十分樂(lè)觀的。第四節(jié) 加速度干擾本節(jié)簡(jiǎn)單介紹一下關(guān)于加速度干擾的問(wèn)題。分析駕駛員在路上的行車過(guò)程，任何人都 不會(huì)始終維持某一速度恒定不變，而是在一定速度范圍內(nèi)

31、變化或擺動(dòng)。交通量較小時(shí)駕駛 員也會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象；交通量較大時(shí)雖然跟馳現(xiàn)象十分明顯，但是由于受交通控制信號(hào)的 影響，車輛速度更會(huì)出現(xiàn)擺動(dòng)。加速度干擾就是對(duì)車輛速度擺動(dòng)的描述，車速擺動(dòng)還涉及 到乘車舒適性的問(wèn)題，加速度干擾可以作為一個(gè)定量評(píng)價(jià)指標(biāo)。一、加速度干擾的計(jì)算車輛速度擺動(dòng)的大小可用加速度對(duì)平均加速度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示，我們稱為加速度干擾，單位與加速度的單位一致，其公式如下：1/21 T ,- 2/、一at a dt(444)T 0式中：T 觀測(cè)總時(shí)間；a(t) t時(shí)刻加速度；a 平均加速度。如果假定平均加速度為 0,那么加速度干擾的公式變成如下形式：1/21 T , 2 , 一 a t dt

32、(445)T 0式中參數(shù)含義同上。如果加速度的觀測(cè)以連續(xù)的時(shí)間間隔t來(lái)取樣，那么相應(yīng)的計(jì)算公式如下：/1/212 ,.、 a(t) a t(446)各參數(shù)含義同上。相應(yīng)地如果平均加速度為0,則變?yōu)槿缦滦问?1/2(4 47 )T a(t) 2 t參數(shù)含義同上。卜面來(lái)推導(dǎo)加速度干擾計(jì)算的實(shí)用公式，實(shí)際應(yīng)用中一般采用如下公式形式:1/22 .aia ti48 )式中：ai 第i觀測(cè)時(shí)間段的加速度（認(rèn)為各小時(shí)間段內(nèi)加速度值相等）ti 第i觀測(cè)時(shí)間段長(zhǎng)。其余參數(shù)含義同上，將此式進(jìn)行如下變換:1/2_ 2ai a ti2Ui a titi1/2(4 一49 ）這里 Ui為第i觀測(cè)時(shí)間段的速度，相應(yīng)地:2Ui atiti2Uiti2aUi_2ati2aUiti50 )而UiUititiaitiT2Tti所以有Ui Tai tiaT(451 )將式（4 51 ）代入式Uiti450),并且利用T22a ti 2a2Ttiti,有:a2T2Uitia2T52）21/2Ui 2一 ati將此式代入式（4 49）得至ij:22(4 一uni Ut UoT T53 )式中：Ut 觀測(cè)總時(shí)段的末速度；Uo 觀測(cè)總時(shí)段的初速度；U 速度的等分間距，Ui ni Uo 此式適合于用坐標(biāo)紙對(duì)速度和加速度觀測(cè)值進(jìn)行繪圖計(jì)算。二、加速度干擾的影響因素