23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2.3等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和實(shí)例探究實(shí)例探究: 高斯高斯(17771855) 德國著名數(shù)學(xué)家。德國著名數(shù)學(xué)家。高斯高斯10歲時(shí)曾很快算出這一結(jié)果，如何算的呢？歲時(shí)曾很快算出這一結(jié)果，如何算的呢？首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101，第第2項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和項(xiàng)的和2+99=101， 第第50項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：項(xiàng)的和：50+51=101，于是所求的和是：于是所求的和是： 10150=5050。問題問題:如何求一般等差數(shù)列的前如何求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？項(xiàng)和？等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和數(shù)列數(shù)列an中，中，a1+a2+a3+an稱為數(shù)列稱為數(shù)

2、列an的前的前n項(xiàng)和，記為項(xiàng)和，記為sn.sn=a1+a2+a3+ansn=an+an-1+an-2+a2+a1如果把兩式左右兩端相加，將會(huì)有什么結(jié)果？如果把兩式左右兩端相加，將會(huì)有什么結(jié)果？倒序相加法倒序相加法探究發(fā)現(xiàn)探究發(fā)現(xiàn)如何求一般等差數(shù)列如何求一般等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和sn？sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)dsn=an+(an-d)+an-(n-1)d2sn=n(a1+an)2)(11nnaans 公式公式an=a1+(n-1)ddnnnasn2)1(21 公式公式公式公式1公式公式2觀察公式觀察公式2,看其與二次函數(shù)有何聯(lián)系？看其與二次函數(shù)有何聯(lián)系？2)(1nnaa

3、ns dnnnasn2)1(1 將公式將公式2： 變形可得變形可得dnnnasn2)1(1 ,2,21dabda 令令，為為常常數(shù)數(shù)則則有有),(2babnansn 當(dāng)當(dāng)d0時(shí)，時(shí)，sn是一個(gè)是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)的二次函數(shù).當(dāng)當(dāng)d=0時(shí)，時(shí)，sn=na1，an是一個(gè)常數(shù)列，是一個(gè)常數(shù)列， ndandsn)2(212 .),(2的的形形式式為為常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的和和都都可可以以寫寫成成即即任任何何一一個(gè)個(gè)等等差差數(shù)數(shù)列列前前babnansnn .的等差數(shù)列的等差數(shù)列，公差為，公差為是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為；abansbannsnn 三、公式的應(yīng)用：三、公式的應(yīng)用：例例1.根據(jù)下列各題中的條

4、件，求相應(yīng)的等差數(shù)列根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列 an的的sn知三求二知三求二nnsanda,15 .6042)325 .14(26267 . 0)1(5 .1432)1(1 nnsnndnaa所所以以得得先先由由5002)955(1010 s2550)2(2)150(501005050 s(1)a1=5,an=95,n=10.求求s10(2)a1=100,d=-2,n=50.求求s50(3)a1=14.5,d=0.7,an=32.前前9項(xiàng)項(xiàng)例例2.等差數(shù)列等差數(shù)列-10，-6，-2，2，前多少項(xiàng)和是前多少項(xiàng)和是54?變式：變式：1645(1)求等差數(shù)列求等差數(shù)列13，15，17，8

5、1的各項(xiàng)和。的各項(xiàng)和。a51+a52+a80=393(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a4=0.8，a11=2.2, 求求a51+a52+a80三、公式的應(yīng)用：三、公式的應(yīng)用：2n252nn (3)設(shè)設(shè)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為sn，若，若a6=s3=12，則，則an的通項(xiàng)的通項(xiàng)an=_(4)已知已知數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)an=-5n+2，則其前，則其前n項(xiàng)和項(xiàng)和為為_(5)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為sn，a5=15，a10=25.(1)求通項(xiàng)求通項(xiàng)an；(2)若若sn=112，求，求n.an=7+(n-1)2=2n+5n=83.已知已知a3+a7-a

6、10=8,a11-a4=4,則則s13=_100例例3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中， (1)a3+a33=6，求，求s35； (2) a33 =10，求，求s65 .變式：變式：在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中-301562.已知已知a1-a4-a8-a12+a15=2，則，則s15=_三、公式的應(yīng)用：三、公式的應(yīng)用：1.已知已知a6+a9+a12+a15=20，則，則s20=_四、小結(jié)四、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：2)(1nnaans dnnnasn2)1(1 1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： ),(

7、.)2(2212為為常常數(shù)數(shù)即即babnansndandsnn 3、當(dāng)、當(dāng)d0時(shí)，等差數(shù)列的前時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和是一個(gè)項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù).的等差數(shù)列的等差數(shù)列，公差為，公差為是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為；abansbannsnn 五、等差數(shù)列前五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和問題項(xiàng)和問題例例1、已知、已知數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為：項(xiàng)和為：sn=3n2-2n，求這，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：解：sn=3n2-2n，a1=s1=3-2=1， 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)

8、，時(shí)，an=sn-sn-1=3n2-2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5， 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，a1=1也滿足上式也滿足上式.an=6n-5，而，而an+1-an=6數(shù)列數(shù)列an成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為，公差為6方法點(diǎn)評(píng)：方法點(diǎn)評(píng)：a1=s1是求數(shù)列通項(xiàng)的必經(jīng)之路，是求數(shù)列通項(xiàng)的必經(jīng)之路，an=sn-sn-1，一般是針對(duì)一般是針對(duì)n2時(shí)的自然數(shù)時(shí)的自然數(shù)n而言的，因此，要注意驗(yàn)證而言的，因此，要注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否也適合，若不適合時(shí)，則應(yīng)時(shí)是否也適合，若不適合時(shí)，則應(yīng)分段分段寫出通項(xiàng)公寫出通項(xiàng)公式式由數(shù)列的前由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式的步驟：項(xiàng)和求數(shù)列的通

9、項(xiàng)公式的步驟：1、令、令n=1，求，求a1，即，即a1=s1.2、當(dāng)、當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，an=sn-sn-1 .3、驗(yàn)證、驗(yàn)證n=1時(shí)，時(shí)， an=sn-sn-1是否成立是否成立.4、得出結(jié)論、得出結(jié)論.變式：已知變式：已知數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為：項(xiàng)和為：sn=4n2+2(nn*)，則求，則求an解：解：sn=4n2+2，a1=s1=4+2=6， 當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，an=sn-sn-1=4n2+2-4(n-1)2+2=8n-4， 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，a1=8-4=46不滿足不滿足. 2, 4816nnnannnnntnannsna項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前求數(shù)列求數(shù)列項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前、數(shù)列、數(shù)列例例 |

10、,22052322 ,220523|34. 035034, 7 .3401043,10431,10432,10112205123221211211nnsaaaaaatnanannnanaannssansannnnnnnnnnnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，即當(dāng)即當(dāng)，得，得由由的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列所以數(shù)列時(shí)，也適合上式，時(shí)，也適合上式，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)解：解： )35( ,3502220523)34(2205233502220523)220523()3422053423(22)()(2)()(|35222223421342136353421353421nnnnnntnnnn

11、ssaaaaaaaaaaaaaaaaatnnnnnnn，故故時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnntnaaaa項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前求數(shù)列求數(shù)列中中等差數(shù)列等差數(shù)列|,12,60,171 練習(xí)練習(xí) 20,1260212323,20,21232322nnnnnntn例例3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，已知第中，已知第1項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為310，第，第11項(xiàng)到第項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為910，求第，求第21項(xiàng)到第項(xiàng)到第30項(xiàng)的和。項(xiàng)的和。解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為，公差為d，由題意，得，由題意，得 即：即： 解得：解得： a21=4+206=124， 910310102010s

12、ss 910310219202031029101011dada 641da15106291012410302221 aaa從上例中我們發(fā)現(xiàn)：從上例中我們發(fā)現(xiàn)：s10，s20-s10，s30-s20也成等差也成等差數(shù)列，你能得出更一般的結(jié)論嗎？數(shù)列，你能得出更一般的結(jié)論嗎？等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：項(xiàng)和的性質(zhì)：等差數(shù)列中：等差數(shù)列中：sk，s2k-sk，s3k-s2k，snk-s(n-1)k也成等差數(shù)列也成等差數(shù)列.即等差數(shù)列依次每即等差數(shù)列依次每k項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列，其公差項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列，其公差是是k2d練習(xí)：練習(xí)：1、等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前m項(xiàng)和為項(xiàng)和為30，前，前2m項(xiàng)和

13、為項(xiàng)和為100，則數(shù)列的前則數(shù)列的前3m項(xiàng)的和為多少？項(xiàng)的和為多少？s3m=2102、等差數(shù)列等差數(shù)列an，s10=10，s20=100，求，求s40s40=520已知兩個(gè)等差數(shù)列已知兩個(gè)等差數(shù)列an,bn，它們的前，它們的前n項(xiàng)項(xiàng)和分別是和分別是sn,tn，則，則等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：項(xiàng)和的性質(zhì)：1212 nnnntsba已知兩個(gè)等差數(shù)列已知兩個(gè)等差數(shù)列an,bn，它們的前，它們的前n項(xiàng)和分別項(xiàng)和分別是是sn,tn，若，若.,13288banntsnn求求 2315練習(xí)練習(xí)例例1、等差數(shù)列、等差數(shù)列an中，中，a1=25，s17=s9，問數(shù)列前，問數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大，并求此最大

14、值多少項(xiàng)之和最大，并求此最大值六、等差數(shù)列前六、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題項(xiàng)和的最值問題16913169)13()2(2)1(25225,289921617172111917項(xiàng)之和最大，最大值是項(xiàng)之和最大，最大值是故前故前從而從而，得得解一：由解一：由 nnnnsdadadassn解二：解二：s17=s9，s17-s9=0 即即a10+a11+a17=0. a10+a17=a11+a16=a13+a14.a13+a14=0 a1=250，a130，a140， 前前n項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為sn， 且且s7=s13，問，問n為何值時(shí)為何值時(shí)sn最大？最大？最大最大時(shí)，時(shí)，即，即，解一：解一：nnsnan

15、annadnnnasdadadass1019100)10(19)20(192)1(019221213132677121211111137 最大最大即即，解二：解二：10111013711110131210987131370, 0, 0, 0000-11saadssaaaaaaaaassss 1、已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a1=-2,并且并且s3=s7，試求，試求sn的最小值及此時(shí)的的最小值及此時(shí)的n的值。的值。 練習(xí)練習(xí)9505950)5(92)10(92920929222942)1(29422222173 項(xiàng)和最小，最小值為項(xiàng)和最小，最小值為時(shí)前時(shí)前當(dāng)當(dāng)?shù)玫煤秃?，由，由差為差為解?/p>

16、設(shè)該等差數(shù)列的公解：設(shè)該等差數(shù)列的公nnnnnnnnnnnnnsdassdn2、已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中，中，a10,并且并且s4=s9，試求，試求sn的最大值時(shí)的最大值時(shí)n的值。的值。 6或或73、等差數(shù)列、等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為sn,已知已知a3=24，s11=0求求(1)數(shù)列數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 (2)當(dāng)當(dāng)n為何值時(shí)，為何值時(shí)，sn最大，最大，sn最大值為多少最大值為多少 ndnaan848)1(1 n=5或或6時(shí)時(shí),最大值為最大值為120.練習(xí)練習(xí)的值的值，求，求設(shè)設(shè)的值；的值；和和求求設(shè)設(shè)項(xiàng)和為項(xiàng)和為記前記前的前三項(xiàng)為的前三項(xiàng)為、已知等差數(shù)列、已知等差數(shù)列1

17、41173)2(,2550)1(.,2 , 4 , 14 knnknnbbbbnsbkassnaaakkbbbbkkkbbbbbnnsbnnnnnsdnnnaskakkkkkkkdkkkasaadaaaaaaaaaaakknnnnnk222)44()114()111()17()13(122)1(22)1()2(50, 3)(515002550255022)1(22)1(. 2282)1(2,2, 4, 1)1(21411731411732121121231321 ，則則是等差數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以得得由由，舍去舍去或或，解得，解得即即得得由由，公差，公差，又又由已知得由已知得解：解：裂項(xiàng)法

18、求和裂項(xiàng)法求和nnnnnntnbasbasbnas項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前，求數(shù)列，求數(shù)列，且，且項(xiàng)和，項(xiàng)和，的前的前是等差數(shù)列是等差數(shù)列、例例21211115333 12)111(2)111(2)3121(2)2111(2)111(2)1(22)1(1121)14()33(21331)2(3313322331422133153 nnnnnbbbtnnnnbnnsnadadadadadadabdadasdaadaadaannnnnn，解解得得由由已已知知得得，則則，公公差差為為的的首首項(xiàng)項(xiàng)為為解解：設(shè)設(shè) )(1knn)11(1knnk knn1)(1nknk 1342312113423121)2()(

19、)()()()1( nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 的兩種常見變形：的兩種常見變形：一般地，每一項(xiàng)都能拆分為兩項(xiàng)的差，累加后能一般地，每一項(xiàng)都能拆分為兩項(xiàng)的差，累加后能抵消若干項(xiàng)的數(shù)列可用抵消若干項(xiàng)的數(shù)列可用裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)求和法求和求和22)111(21)111()3121()211(21)111(212)1(1)1(1)2(20)1)(2(02)12()1(2 nnnnntnnnnanbnaaanananannnnnnnnn，是正項(xiàng)數(shù)列，是正項(xiàng)數(shù)列，由于由于得得由由解：解：nnnnnnnnsnbanbananaa項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前，求數(shù)列，求數(shù)列設(shè)設(shè)的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；求數(shù)列求數(shù)列滿足滿足、正項(xiàng)數(shù)列、正項(xiàng)數(shù)列練習(xí)：練習(xí)：)1(1)2()1(02)12(12 nnnnnnsnbnabaaaaa項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前，求數(shù)列，求數(shù)列設(shè)設(shè)的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；求求，中，中，、等差數(shù)列、等差數(shù)列1)2()1(2429197 .,) 13)(23(1,項(xiàng)和求其前且練習(xí)：已知數(shù)列nnnaann13 nn求通項(xiàng)公式求通項(xiàng)公式1、已知、已知a1=3且且an=sn-1+2n(n2，