高中數(shù)學 第四章 導數(shù)及其應用 4.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課件 湘教版選修2-2

1、144生活中的優(yōu)化問題舉例 2生活中經(jīng)常遇到求利潤最大，用料最省，效率最高等問題，這些問題通常稱為 通過前面的學習，我們知道 是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，運用 ，可以解決一些生活中的 解決實際應用問題時，要把問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，這需通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成函數(shù)的最值要由極值和端點的函數(shù)值確定，當定義域是開區(qū)間，函數(shù)在開區(qū)間上有惟一的極值，則它就是函數(shù)的最值自學導引 1 2優(yōu)化問題導數(shù)導數(shù)優(yōu)化問題3數(shù)學建模 4利用導數(shù)解決實際問題中的最值問題時應注意什么？提示(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去(2)在實際問題中，

2、有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0的情形，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值(3)在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間自主探究 5有一長為16 m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則此矩形場地的最大面積為()A32 m2 B18 m2 C16 m2 D14 m2解析設矩形長為x m，則寬為(8x)m，矩形面積Sx(8x)(0 x8)令S82x0，得x4 m，此時Smax4216(m2)(當然也可用配方法或基本不等式法求最值)答案C預習測評 1 6以長為10的線段AB為直徑

3、作半圓，則它的內(nèi)接矩形的面積的最大值為()A10 B15 C25 D50解析法一：如圖，設NOB，則矩形面積為S5sin 25cos 25sin 2，故Smax25.2 78答案C9如右圖所示，某工廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為_3 10答案32米，16米 11用總長為6 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為3 4，那么容器容積最大時，高為_m.4答案0.5 12利用導數(shù)解決實際問題的一般方法(1)細致分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，正確設定所求最值的

4、變量y與自變量x，找出變量y與x的關(guān)系，即列出函數(shù)關(guān)系yf(x)，再根據(jù)實際問題確定函數(shù)yf(x)的定義域，這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學問題(2)求f(x)，解方程f(x)0，求出定義域內(nèi)所有的實數(shù)根(3)比較函數(shù)在各個根和端點處的函數(shù)值的大小，根據(jù)問題的實際意義確定函數(shù)的最大值或最小值要點闡釋 13注意：求實際問題的最值時，一定要考慮問題的實際意義，不符合實際意義的理論值要舍去在實際問題中，若在函數(shù)的定義域內(nèi)，使f(x)0成立的值只有一個，且函數(shù)在這一點處取得極大(小)值，則不與端點值比較，也可以知道這就是最大(或小)值14 在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去邊長相等的正方形，再把它

5、的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？典例剖析 題型一容積(或面積)最大問題 【例1】 1516答：當箱底邊長為40 cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000 cm3.點評在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f(x)0.如果函數(shù)在該點取得極大(小)值，極值就是函數(shù)的最大(小)值17做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_1 答案3 18題型二時間、費用最省問題 192021點評利用導數(shù)的方法解決實際問題，要注意構(gòu)造函數(shù)，但與解決一般的函數(shù)問題有區(qū)別，即注意利用導數(shù)所求出的函數(shù)最值點是否

6、符合現(xiàn)實問題的要求22一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10 km/h時，燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以_ km/h的速度航行時，能使行駛每千米的費用總和最小2 23答案2024 某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0 x30)的平方成正比已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解(1)設商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一

7、個星期的獲利為f(x)元，則依題意有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2)又由已知條件24k22，于是有k6，所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30題型三利潤最大問題 【例3】25點評利潤(收益)銷售額成本，在有關(guān)利潤(收益)的問題中，注意應用此公式列函數(shù)式262728所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元點評關(guān)于利潤最大問題，利潤等于收入減去成本，而收入等于產(chǎn)量乘價格，由此可得出利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式，再用導數(shù)求最大利潤29 甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？誤區(qū)警示忽略實際問