數(shù)字信號處理課件ppt

1、現(xiàn)代數(shù)字信號處理課程回顧n第一章 時域離散隨機(jī)信號的分析 n第二章 維納濾波和卡爾曼濾波 n第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 n第四章 功率譜估計 n第五章 時頻分析第一章 時域離散隨機(jī)信號的分析n主要內(nèi)容主要內(nèi)容：平穩(wěn)隨機(jī)信號的統(tǒng)計描述隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計 平穩(wěn)隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng) 時間序列信號模型 n對一個隨機(jī)序列的統(tǒng)計描述，可以由這個序列的自相關(guān)函數(shù)來高度概括。n對一平穩(wěn)隨機(jī)信號，只要知道它的自相關(guān)函數(shù)，就等于知道了該隨機(jī)信號的主要數(shù)字特征。 222222(0);( );(0)( )xxxxxxxxxxxxDE xnrmrE xnmrr自相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)：( )xxrmcov ( )xxm2x

2、m2( )xDm2()xm的特性的特性( )xxrmcov ( )xxmmm( )(),cov ( )cov ()( )(),cov ( )cov ()xxxxxxxxxyyxxyyxrmrmmmrmrmmm(0) |( )|xxxxrrm各態(tài)遍歷性：11( )( )lim( , )NxNim nE X nx n iN*11( ,)( )( )lim( , ) ( , )NxxNirn mE Xn X mx n i x m iN1( )lim( )21NNnNx nx nN*1( ) ()lim( ) ()21NNnNx n x nmx n x nmNn 只要一個實現(xiàn)時間充分長的過程能夠表現(xiàn)出

3、各個實現(xiàn)的特征，就可以用一個實現(xiàn)來表示總體的特性。x(n)=mx=EX(n) x*(n)x(n+m)=rxx(m)=EX*(n)X(n+m) 功率密度譜：j(e )( )ej mxxxxPrmxx-1( )P (e)ed2jj mxxrmn 維納維納辛欽定理（辛欽定理（Wiener-Khinchin Theorem） ( )()xxxxPPPxx()0 隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計：n估計準(zhǔn)則：無偏性、有效性、一致性n均值的估計：n方差的估計：n自相關(guān)函數(shù)的估計：101NiixxNm1022)(1NnxnxmxN| | 101 ( )( ) ()|Nmxxnrmx n x nmNm)()(1)(1|

4、0mnxnxNmrmNnxx平穩(wěn)隨機(jī)序列通過線性系統(tǒng)：kykknxEkhnyEmknxkhny)()()()()()( *( )()( ) ()( )( )( )*yyxxlkxxxxrmrmlh k h lkrmv mrmh mhm2*1( )( )( )jjjyyxxyyxxPzPz H z HPePeH ez相關(guān)卷積定理：n卷積的相關(guān)函數(shù)等于相關(guān)函數(shù)的卷積e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n) ref(m)=rac(m) * rbd(m) ryy(m)= rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m)( )( ),( )()hhrmh m rmhm時間序列信號模型：H

5、(z)w(n)x(n)111( )( )( )1qiiipiiibzB zH zA za z22()( )()jxxwjB ePA e1( )( )H zA z221( )()xxwjPA e22( )()jxxwPB e( )( )H zB zMA模型ARMA模型AR模型濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)： 對于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數(shù)是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。對于FIR濾波器或者M(jìn)A模型的階數(shù)，則是指q的大小，或者說是它的長度減1。 三種信號模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性， 但是對于同一時間序列用不同信號模型表示時，卻有不同的效率。 這里說的效

6、率, 指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。譜分解定理： 如果功率譜Pxx(ej)是平穩(wěn)隨機(jī)序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個零極點均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z), 滿足 式中，ak, bk都是實數(shù)，a0=b0=1, 且|k|1, |k|1。 pkkqkkpkkkqkkkzzzazbzAzBzH111100)1 ()1 ()()()()()()(12zHzHzPwxx02wrxx(m)Pxx(z)H(z)Z變換Z反變換譜分解21( )( )()xxwPzH z H z自相關(guān)函數(shù)、功率譜、時間序列信號模型三者之間關(guān)系第二章 維納濾波和卡爾曼濾波n主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：FIR維納濾波求解非因果IIR維

7、納濾波求解因果IIR維納濾波求解維納純預(yù)測維納一步線性預(yù)測卡爾曼濾波x(n)=s(n)+v(n) ( )( )( ) ()my ns nh m x nm( )( )( )e ns ny n22min2( )( )( )min( )optjoptjmin E e nhnE e nehn最佳濾波器：正交性原理：2( )jhmin E e nn 要使均方誤差為最小，須滿足 jhh j0| )(|2jhneEEx (n-j)e* (n)=0 j=0, 1, 2, 分析：分析：上式說明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號與任一進(jìn)入估計的輸入信號正交，這就是通常所說的正交性原理。0)()(*optne

8、nyEopt維納霍夫方程：0)()()()(0*mmnxmhndknxE 維納-霍夫（WienerHopf）方程：( )( )()( )( )010 xdxxxxmrkh m rkmh krkmMFIRmIIRmIIR 維納濾波器因果維納濾波器非因果維納濾波器FIR維納濾波求解：)()()()()(10krkhmkrmhkrxxMmxxxdk=0, 1, 2, hRRxxxd12(0)(1)(1)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)xxxxxxxdxxxxxxxdxdxxxdMxxxxxxrrrMhrhrrrMrhRRrMhrMrMr1optxxxdhhR Roptxddxd

9、xxxddhRRRRneET*21T*2min2)()(| )(| xxxsxvssvvrmrmrmrmrm)()()()()(krkhmkrmhkrxxmxxxd 設(shè)定d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到 Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z) )()()(zSzSzHxxxsopt非因果IIR維納濾波求解：)()()()()()(zSzSzSzSzSzHvvssssxxxsopt 信號和噪聲不相關(guān)時 因果IIR維納濾波求解：n 對于因果IIR維納濾波器，其維納霍夫方程為 0( )( )()( )( )xdxxxxmrkh m rkmh krkk=0, 1, 2, 圖2.3.5 利

10、用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程 n 利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程: 因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為 )()()(11)()()(12optzBzSzBzBzGzHxsopt22min201opt|( )| ( )| (0)1d( )( )()2jwssskwssxsCrkE e nrzSzHz Szz 因果維納濾波的最小均方誤差為 通過前面的分析, 因果維納濾波器設(shè)計的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行： (1) 根據(jù)觀測信號x(n)的功率譜求出它所對應(yīng)的信號模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。 (2) 求的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點，得

11、(3) 積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計算Hopt(z), E|e(n)|2min。 )()(1zBzSxs)()(1zBzSxs維納預(yù)測： H(z) x(n)=s(n)+(n) )( )(nsny( H(z) x(n)=s(n)+(n) ( )()y ns nN 圖2.4.1(b) 維納預(yù)測器圖2.4.1(a) 維納濾波器min)( )(2NnsNnsE純預(yù)測：n 假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，純預(yù)測問題是在v(n)=0情況下對s(n+N), N0的預(yù)測，此時x(n)=s(n)。 因果情況下，假設(shè)s(n)與v(n)不相關(guān)，純預(yù)測情況下)()(1)()()(

12、11)()()()()()(12opt12zBzzBzBzSzzBzHzBzBzSzSzSNxsNssxsxx一步線性預(yù)測：n 采用p個最近的采樣值來預(yù)測時間序列下一時刻的值，包括前向預(yù)測和后向預(yù)測兩種。x(n p) , x(n p1) , , x(n2) , x(n1) , x(n)后向預(yù)測前向預(yù)測1( )( )( )( ) ()pky ns nx nh k x nkn 前向預(yù)測： pkpkpkpkknxaknxanxnxnxne01)()()()( )()(2*min*11| ( )| ( )( ( )( )( ) ( )( )()( )(0)( )ppkkpxxpk xxkE e nE

13、e n x nx nE e n x nEx na x nkx nra rk得到下面的方程組： pkxxpkxxpkxxpkxxpllkralrneEkrar11min2, 2 , 10)()(| )(|)()0(將方程組寫成矩陣形式 （Yule-Walker方程）方程）00| )(|1)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21neEaarprprprrrprrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxxn 后向預(yù)測： 1( )()()()ppkky ns npx npa x npk 1( )()()()()ppkkb nx npx npx npa x npk2*m

14、in*1( )( )()()()()()ppkkE b nE b nx npx npEx npa x npkx np1optxxxdhhR R12(0)(1)(1)(0)(1)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)xxxxxxxdxxxxxxxdxdMxxxxxxrrrMhrhrrrMrrMhrMrMr 維納霍夫方程00| )(|1)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21neEaarprprprrrprrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxx Yule-Walker方程Levinson-Durbin算法： Levinson-Durbin的一般遞推公式如

15、下： )()0()1 (1, 3 , 2 , 1 )()(2202122, 1, 1,21111nxErkpkakaaakkpraprkxxpppkpppkpkppppppkxxpxxp卡爾曼濾波：n利用狀態(tài)方程和遞推方法尋找最小均方誤差下狀態(tài)變量 的估計值 ，即kxkxkkkxxxminTkkkE x xx 假設(shè)某系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為 11kkkkxA xwkkkkvxCy Ak為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，描述系統(tǒng)狀態(tài)由時間k-1的狀態(tài)到時間k的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移； Ck為量測矩陣，描述狀態(tài)經(jīng)其作用，變成可量測或可觀測的； xk為狀態(tài)向量，是不可觀測的；yk

16、為觀測向量； wk為過程噪聲；vk為量測噪聲。第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器n主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：LMS自適應(yīng)橫向濾波器LMS自適應(yīng)格型濾波器最小二乘（LS）濾波自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用LMS自適應(yīng)橫向濾波器：H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)e(n)=d(n)-y(n) 2( )min E e nw n 10)()()(NmmnxmwnyWRWWRdEeExxdxjjTT222T222212*1min,0jjjjjNxxdxE eE eE eE ewwwWR R n 最佳權(quán)矢量W*和最小均方誤差：22*2*min2TTTjjdxxxjdxE eE dR WWR WE dR W1(22)22jjjj

17、dxxxjxxjdxWWWRR WIRWR 其中,是一個控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。 方向是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。j-Widrow-Hoff LMS算法：n 最陡下降法：n Widrow-Hoff LMS算法：jj T222212222212,jjjjjNjjjjjNE eE eE eE ewwweeeewww 采用梯度的估計值代替梯度的精確值。12jjjjjjjjWWWWe X LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機(jī)變化的， 其統(tǒng)計平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。加權(quán)系數(shù)的變化均方誤差的變化minvv w woptj圖 3.2.10 LMS

18、算法穩(wěn)態(tài)誤差 值的影響值的影響 對穩(wěn)定性的影響： 2max111000()xxjtr RNE x 對收斂速度的影響：minmaxmseminmax4121預(yù)測誤差格型濾波器：1111( )( )(1)( )(1)( )ffbppppbbfppppenenk enenenk enLMS自適應(yīng)格型濾波器：n在滿足預(yù)測誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計算出反射系數(shù)。其方法有：222min( )( ) pfbpppLevinsonDurbinkE enenBurgk1、觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)函數(shù)遞推求、觀測數(shù)據(jù)法求最小二乘（LS）濾波：2*min ( )jjneWWXdydeTj

19、jjjjn最小二乘準(zhǔn)則以誤差的平方和最小作為最佳準(zhǔn)則的誤差準(zhǔn)則。自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用：信 號 源噪 聲 源自 適 應(yīng)濾 波 器原 始 輸 入系 統(tǒng) 輸 出參 考 輸 入xj n1dj sj n0yjZj2200min() min,jjjjjjE nyE zsyn zs （輸出信號只包含有用信號）n 自適應(yīng)抵消器： （只有與參考輸入相關(guān)的信號才能被抵消）參考輸入端存在一定的有用信號： 當(dāng)有信號分量泄漏到參考輸入中時，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來評價。AFs(n)v(n)H(z)G(z)d(n)x(n)y(n)e(n)原始輸入端參考輸入端 泄

20、露到參考輸入端的有用信號越少，抵消效果越好。 2) 胎兒心電監(jiān)護(hù) 其中原始輸入a(t)=f(t)+m(t)+n(t)f(t):胎兒心臟產(chǎn)生信號m(t):母親心臟產(chǎn)生信號n(t):噪聲干擾信號（主要由肌肉起的，有時稱“肌肉噪聲”）。 采用自適應(yīng)噪聲抵消器消除胎兒心電圖中母體心臟信號（干擾）。一般采用：四個普通胸導(dǎo)（每路信號相同）記錄母親心跳，作為參考輸入信號。經(jīng)過自適應(yīng)噪聲抵消器處理后，母親心臟干擾信號被顯著消弱，胎兒心聲可辨。n自適應(yīng)逆濾波：自適應(yīng)逆濾波：n自適應(yīng)均衡器與自適應(yīng)解卷積問題都可歸結(jié)為用自適應(yīng)的方法求逆濾波系統(tǒng)的問題。n自適應(yīng)均衡器用以補償信道干擾的影響，使接收信號與發(fā)送信號完全一

21、致。h(n)w(n) s n s n *1*s ns nh nw nh nw nnW zH z或第四章 功率譜估計n主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：經(jīng)典譜估計：BT法、周期圖法、修正周期圖法；現(xiàn)代譜估計：AR模型法、最大熵譜估計、特征分解法BT法： BT| | 1*0-BT ( )(e)1 ( )( ) ()(e)( )ejxxNmxxnjjmxxmx nrmPrmx n x nmNPrm 1-BT(1)(e)( )eMjjmxxmMPrm w m BT法的加權(quán)協(xié)方差譜估計周期圖法： 2j212j-j01(e )11(e )( )exxNnjxxnx nFFTXXPNPx nX eNN觀 測 數(shù) 據(jù) x(

22、n)FFT取 模的 平 方1/NPxx(ej) 周期圖屬于漸近無偏估計，方差很大，不是一致估計。修正周期圖法：nBartlett平均周期圖法n窗口處理法平均周期圖nWelch法（修正的周期圖求平均法）n 結(jié)論結(jié)論：傳統(tǒng)的功率譜估計方法，采用觀測到的N個樣本值估計功率譜，認(rèn)為在此觀察到的N個數(shù)據(jù)以外的x(n)=0。因此，無論采取哪一種改進(jìn)方法，總是以減少分辨率為代價，換取估計方差的減少，提高分辨率的問題無法根本解決。 n 估計功率譜的方法： 首先根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)估計信號自相關(guān)函數(shù)； 求出模型參數(shù)； 最后按照下式求出信號的功率譜: j2j22211(e )|(e )|1exxwwPiiiPHaAR

23、模型法： AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點。 plwxxAplxxAxxlrlhlmrlhmr121)()()()()(m1 m=0 1 ( ) ( )( )()xxpxxAxxlrmrmh l rml0mp mp 信號預(yù)測誤差最小原則（或預(yù)測誤差功率最?。┳韵嚓P(guān)法（Levinson遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法關(guān)于關(guān)于ARAR模型階次的選擇模型階次的選擇n 如果是純P階AR信號，應(yīng)選擇模型階次k P。 如果選擇模型階次kP時，將產(chǎn)生對譜的平滑作用，降低譜的分辨率。n對于白噪聲中的AR信號，其階次的選擇應(yīng)折衷考慮。如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會使譜

24、估計產(chǎn)生偏移， 降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次， 因此信噪比低應(yīng)選高的階次。階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會使估計誤差加大，譜峰分裂。最大熵譜估計方法： j1max(1)(1)0(e )Nxxk xxxxxxkHrNa rNkrmP nAR模型功率譜估計和最大熵譜估計的等價性。(1)(0) (1)(2)(1)(2)0(1)()(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxrrrNrrrNrNrNr第五章 時頻分析n主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：線性時頻分析：短時傅里葉變換、Gabor變換、小波分析；雙線性時頻分析：維格納變換（WD）、Cohen類時頻分布。傅立葉變換的不足：n缺乏

25、時間和頻率的定位功能；n分析時變信號和非平穩(wěn)信號的局限性；n分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。41ft短時傅里葉變換：200/2010t *j2,STFT ( ,)(),e,( )fuzt ft fz u g utz ugunSTFT特點：特點：STFT要求窗口內(nèi)信號平穩(wěn)，即窗口不能太長；時間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時任意小；窗口固定不變，分辨率單一；窗函數(shù)選擇難；STFT建立在信號穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)之上，不能及時反映信號頻譜隨時間變化的情況。小波分析：小波基函數(shù)*1( , )( )d( ),( )0sabtbWT a bs tts ttaaa,1( )()a btbtaa作為小波函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：即 是一帶通函數(shù)，它的時域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時頻定位的角度，希望 是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。)(t)(t2tt02t(1/2)a (1)a (2)a /22/2tt 當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻小波對信號作細(xì)致觀察;當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察。 a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間 n 小波變換的特點 多分辨率分析方