函數(shù)的冪級數(shù)展開式47264PPT課件

1、1函函數(shù)數(shù))(xf能能展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的必必要要條條件件是是)(xf在在點點0 x處處有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且系系數(shù)數(shù) 定理, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa ,!)0()(nfann 證設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf能能展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa， 于于是是存存在在0 r使使得得 22100)(xaxaaxaxfnnn)| (rx 第1頁/共26頁2這這表表明明)(xf是是冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在),(rr 內(nèi)內(nèi)的的和和函函數(shù)數(shù)， 在在上上式式中中令令 0 x，即即得得在在0)0(af . . 利用冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可

2、任意階求導(dǎo)的性質(zhì)，又又可可得得出出)(xf在在),(rr 內(nèi)內(nèi)有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 11)(nnnxnaxf)| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn1! 1)0(af ! 1)0( 1fa 第2頁/共26頁3 11)(nnnxnaxf)| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn! 1)0( 1fa 22)1()(nnnxannxf)| (rx 2! 2)0(af ! 2)0( 2fa 33)2)(1()(nnnxannnxf)| (rx 3! 3)0(af ! 3)0( 3fa 第3頁/共26頁4)| (rx 22100)(xaxaaxax

3、fnnn歸納可得，!)0()(kfakk )2 , 1 , 0( k即得, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa ,!)0()(nfann 第4頁/共26頁5函函數(shù)數(shù))(xf能能展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的充充分分條條件件是是 定理,0)(lim xRnnDx 其其中中 D 是是冪冪級級數(shù)數(shù) 0)(!)0(nnnxnf的的收收斂斂域域， 2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()( 稱為n階余項. 第5頁/共26頁61 1. . 求求出出0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值及及各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值 )0(f, ,)0(f , ,)0(f

4、 , ,),0(,)(nf； 0)(!)0(nnnxnf函數(shù) f(x) 展開成冪級數(shù) 具體步驟：2. 寫出冪級數(shù) ，并求其收斂域 D. 0)(!)0(nnnxnf3 3. . 考考察察0)(lim xRnx在在 D 上上是是否否成成立立。 0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx 如果是,則 f(x)在 D上可展開成麥克勞林級數(shù) 第6頁/共26頁7基本展開式基本展開式,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x,32)1()1

5、ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x第7頁/共26頁8收斂域為: 0 : 1, 1 01 : 1, 1( 1 : )1, 1( 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( n 不為正整數(shù))此外還有,110 nnxx)1, 1( x第8頁/共26頁9 一般用間接法: 根據(jù)展開式的唯一性, 利用已知展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法, 求展開式 .例1將將2e)(xxf 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . ,! e0 nnxnx),( x所以 02! )(e2nnxnx,! )1(02 nnnxn),( x第9頁/共26頁10

6、將將2eech)(xxxxf 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 例2解,! )1(! )(e00 nnnnnxxnnx ! )2(!4!21! )2(ch24202nxxxnxxnnn,! e0 nnxnx),( x),( x所以),( x第10頁/共26頁11,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x例3兩邊求導(dǎo), 得第11頁/共26頁12將將)1ln()(xxf 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 因因為為xxf 11)( 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得

7、011)1()1ln(nnnnxx 11)1(nnnnx, , 上上式式對對1 x也也成成立立, ,故故收收斂斂域域為為1 , 1( x, , 例4解， 0)(nnx1| x第12頁/共26頁13將將xxfarctan)( 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 因因為為 211)(xxf 02)(nnx, , 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 上述冪級數(shù)在上述冪級數(shù)在1 x處也收斂處也收斂, ,且且xarctan在在1 x處處有定義且連續(xù)有定義且連續(xù), ,所以上述展開式成立的范圍為所以上述展開式成立的范圍為 例5解 5312)1(arctan53012xxxnxxnnn1 , 1

8、 x1| x第13頁/共26頁14將將xxf2cos)( 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 例6解法1)2cos1(21cos2xx ,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x 02! )2()2()1(2121nnnnx,! )2(2)1(11212 nnnnxn),( x第14頁/共26頁15 012! )12()2()1(nnnnx, 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 0222! )22()2()1(211cosnnnnxx xx2sin)(cos2 所以將將xxf2cos)( 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 例6解法2),( x

9、12! )2()2()1(21nnnnx,! )2(2)1(1212 nnnnxn,! )2(2)1(1cos12122 nnnnxnx),( x第15頁/共26頁16將將341)(2 xxxf展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . )3)(1(1 xx 311121xx 3/1161)1(21xx 003)1(61)1(21nnnnnnxx 036121)1(nnnnx, , 例7解341)(2 xxxf1| x第16頁/共26頁17將將)34ln()(2xxxf 展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 例8解)34ln()(2xxxf )1)(4ln(xx )1ln()4ln(xx )1ln(

10、)41ln(4lnxx ,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x 11)1(414lnnnnnnxnxn,4)4(14ln1 nnnnxn1, 1( x第17頁/共26頁18.1lnarctan)(2克勞林級數(shù)克勞林級數(shù)展開成麥展開成麥將將xxxxf 例9解221arctan1)(xxxxxxf )11( x xxxx02d11arctan又又 xnnnxx002d) 1(，xarctan ,12)1(012 nnnnx 022)22)(12()1(nnnnnx xnnnxnxxf0012d12)1()( 故故)11( x,)12(2)1(121 nnnnnx第18頁/

11、共26頁19 以上討論的均為麥克勞林級數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級數(shù)： 000)()(!)(nnnxxnxf其收斂域為D， 并并要要求求余余項項0)(lim xRnx在在 D上上成成立立， nnxxnxfxf)(!)()(00)( )(Dx 則則)(xf在在0 xx 處處的的泰泰勒勒展展開開式式為為 一般利用麥克勞林級數(shù)間接展開。第19頁/共26頁20將將xxf 41)(展展開開成成) 1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 收收斂斂域域: : 51 x, , 即即)6, 4( x. . 例10解x 41511151 x151 x 0)51(51nnx,)1(5)1(01 nnnnx第20頁/共26頁

12、21將將xxfsin)( 展展開開成成)4( x的的冪冪級級數(shù)數(shù). . )4cos()4sin(21 xx 02012! )2()4()1(21! )12()4()1(21nnnnnnnxnx 0122! )12()4(! )2()4()1(21nnnnnxnx , , 例11解)44sin(sin xx),( x第21頁/共26頁22例12解11 x，2111231)(2 xxxxxf， 03431nnx；134 x將將函函數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展開開為為( (4 x) )的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 而341131 x， 02421241121)4(2121nnxxxx)4(31 x第22頁/共26頁23， 011)4(3121)( nnnnxxf)2, 6( x， 0343111nnxx；134 x， 0242121nnxx；124 x例12解將將函函數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展開開為為( (4 x) )的的冪冪級級數(shù)數(shù). . 第23頁/共26頁24例13解將將函函數(shù)數(shù)