數(shù)字濾波器技術(shù)及其應(yīng)用

1、6.3數(shù)字濾波器技術(shù)及其應(yīng)用概述 處理連續(xù)時間信號利用模擬濾波器 處理離散時間信號我們廣泛地應(yīng)用數(shù)字濾波器 數(shù)字濾波器是利用離散系統(tǒng)的特性，采用數(shù)字信號的處理方法，對輸入信號的波形或頻譜進(jìn)行加工處理，或者說對輸入信號進(jìn)行變換，使其轉(zhuǎn)換成預(yù)期的輸出信號。數(shù)字信號處理方法 硬件設(shè)備 計算機(jī)軟件優(yōu)點：抗干擾能力強(qiáng)，精度高，性能容易調(diào)節(jié)等，且隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字濾波器迅速在許多應(yīng)用中替代了模擬濾波器，越來越受到人們的注意和得到廣泛的應(yīng)用。 通常數(shù)字濾波器是線性時不變離散時間系統(tǒng)。因此，同一濾波器在時域時域可以用單位脈沖響應(yīng)hn來表示。 在頻域頻域可用頻率響應(yīng)H( )來表示 在復(fù)頻域復(fù)頻域可用系統(tǒng)函

2、數(shù)H(z)來表示 在實際設(shè)計數(shù)字濾波器時，通常按給定的技術(shù)指標(biāo)。不是系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式。故數(shù)字濾波器的中心問題是：如何設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)來滿足所要求的數(shù)字濾波器具體指標(biāo)。ejIIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法轉(zhuǎn)換法設(shè)計種類 1.沖激響應(yīng)不變變換法 2.雙線性變換法 3。微商-差商變換法 4.匹配z變換法。兩個問題 1.逼近程度問題 按照轉(zhuǎn)換法所設(shè)計的數(shù)字濾波器,其特性是否逼近模擬濾波器特性,即模擬頻響與數(shù)字(或序列)頻響的關(guān)系問題 2.穩(wěn)定性問題 對于模擬系統(tǒng),如果所有極點都在s平面的左半平面,剛該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于離散系統(tǒng)，如 是一個因果系統(tǒng)，則其所有極點都在z平面單位圓內(nèi)，收斂域包含單位圓

3、以外的整個z平面。因此，對于一個穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)，轉(zhuǎn)換為一個穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)，要求s平面的左半平面全部極點映射到z平面單位圓內(nèi)。方法：方法：利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器就是要利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器就是要把把s s平面映射到平面映射到z z平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù)平面，使模擬系統(tǒng)函數(shù) 變變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ?；疽螅夯疽螅海? 1）的頻響特性應(yīng)能模仿的頻率響應(yīng)）的頻響特性應(yīng)能模仿的頻率響應(yīng)（2 2）因果穩(wěn)定的就能映射成因果穩(wěn)定）因果穩(wěn)定的就能映射成因果穩(wěn)定幾種映射方法：幾種映射方法：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙

4、線性變換法。雙線性變換法。( )aHs( )H z( )aHs( )aHs( )H z( )H z沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列沖激響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) 。即抽樣。即抽樣滿滿滿足滿足抽樣序列的抽樣序列的Z Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系()ahT)()(nThnha)2(1)(kTjsHTzHkaezsTz=ez=estst從從S S平面變換到平面變換到Z Z平面的變換關(guān)系。平面的變換關(guān)系。z=rez=rej j s= + jts= + jtz=

5、rez=rejj= e= e(+ j)t(+ j)t= e= ette e+jt+jtr=er=et t =T=TS平面平面Z平面平面3/T3/T/T/T-/T-/T-3/T-3/T0 00 01 1-1-1jjjImzjImzRezRez數(shù)字濾波器和模擬濾波器頻率響應(yīng)之間關(guān)系數(shù)字濾波器和模擬濾波器頻率響應(yīng)之間關(guān)系只有當(dāng)只有當(dāng)才能在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器響應(yīng)而不產(chǎn)生才能在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真，即混疊失真，即12()()jakkH eHjTT2, 0)(caTjh1()()jaH eHjTT數(shù)字濾波器和模擬濾波器頻率響應(yīng)之間關(guān)系數(shù)字濾波器和模擬濾波器頻率響應(yīng)之間關(guān)系只有

6、當(dāng)只有當(dāng)才能在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器響應(yīng)而不產(chǎn)生才能在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真，即混疊失真，即2, 0)(caTjh注意：注意：（1 1）模擬濾波器頻率響應(yīng)在折疊頻率以上衰）模擬濾波器頻率響應(yīng)在折疊頻率以上衰減快、大，變換后混疊失真越小。減快、大，變換后混疊失真越小。（2 2）當(dāng)增加，可減小混疊效應(yīng)。）當(dāng)增加，可減小混疊效應(yīng)。（3 3）當(dāng)濾波器指標(biāo)用數(shù)字域給定時，若）當(dāng)濾波器指標(biāo)用數(shù)字域給定時，若不變，用減小不變，用減小T T的方法就不能解決混疊問題。的方法就不能解決混疊問題。sfc設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 只有單階極點，且假只有單階極點，且假定分母的

7、階次大于分子的階次。展開部分分式定分母的階次大于分子的階次。展開部分分式其相應(yīng)的沖激響應(yīng)是的拉普拉斯反變換即其相應(yīng)的沖激響應(yīng)是的拉普拉斯反變換即( )aHsNkkkassAsH1)( )aHs( )aht11( )()()()()kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nTA eu nT)()()()()(zHnhnThthsHzanTtaa 變換拉普拉斯反變換NktskatueAthk1)()(對對h(n)h(n)求求z z變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)變換，得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)11011011( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks TkH zh

8、 n zA ezAezAez 和和H(z)H(z)比較結(jié)果分析：比較結(jié)果分析：（1 1）s s平面的單極點變換到平面的單極點變換到z z平面上平面上 處的單極點。處的單極點。（2 2）兩者部分分式的系數(shù)是相同的，都是）兩者部分分式的系數(shù)是相同的，都是（3 3）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則數(shù)字濾波器也）如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則數(shù)字濾波器也 是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。（4 4）能保證兩者極點代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但不保證整）能保證兩者極點代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但不保證整 個個s s與與z z的代數(shù)對應(yīng)關(guān)系。零點就沒有這種關(guān)的代數(shù)對應(yīng)關(guān)系。零點就沒有這種關(guān) 系。而是隨系。而是隨 的極點及系數(shù)兩者而變化。的極點及系數(shù)兩者而

9、變化。( )aHskssks TzekA( )aHs 6.31 6.31式看出，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)還與抽樣間隔式看出，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)還與抽樣間隔T T成反比。當(dāng)抽樣頻率高時（成反比。當(dāng)抽樣頻率高時（T T很?。?，濾波器增益會很?。?，濾波器增益會太高。太高。修正方法：修正方法：令令則有則有及及因，共軛極點，其變成因，共軛極點，其變成H(z)H(z)關(guān)系關(guān)系kss)()(nTThnha11( )-6.391kNks TkTAH zez（）kajTjHkTjTjeH),()2()(*kss( )aHs*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssez例例1 1、設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)

10、函數(shù)為、設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)脹_激響應(yīng)不變法，設(shè)計試?yán)脹_激響應(yīng)不變法，設(shè)計IIRIIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。解：直接利用解：直接利用6.396.39式可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 設(shè)設(shè)T T0.16670.1667，即采樣頻率為，即采樣頻率為 則有則有2211( )4313aHsssss131311324()( )111()TTTTTTTTTTzeeH zezezzeeze1120.040( )1 1.45290.5133zH zzz6 zsfH模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別為a22( )2()(3)40.040

11、0()1 1.45290.5133ajjjjjsjwHsHjwwj wzeeH eee 代入代入，有沖激不變響應(yīng)法優(yōu)缺點：沖激不變響應(yīng)法優(yōu)缺點： 數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，模擬頻率和數(shù)沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系。字頻率之間呈線性關(guān)系。 由于存在混疊失真，因此只適應(yīng)限帶的模擬濾由于存在混疊失真，因此只適應(yīng)限帶的模擬濾波器。波器。目的：目的：主要用來克服混疊現(xiàn)象。主要用來克服混疊現(xiàn)象。 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響

12、應(yīng)相似的一種變換方法。模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。首先把整個首先把整個s s平面壓縮變換到某一中介的平面壓縮變換到某一中介的s s1 1平面的平面的一條橫帶里一條橫帶里( (即從即從-/T-/T到到/T)/T)；其次再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系其次再通過上面討論過的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 , ,將此橫帶變換到整個將此橫帶變換到整個z z平面上去平面上去, ,這樣就使這樣就使s s平面與平面與z z平面一一對應(yīng)來消除混疊。平面一一對應(yīng)來消除混疊。Tsez1S平面平面S1平面平面z平面平面jj0 01jj1 10 0/T/T-/T-/TjImzjImzRezRez0 01 1-1-1雙線性變換

13、法的映射關(guān)系雙線性變換法的映射關(guān)系將將s s平面整個平面整個jj軸壓縮變換到軸壓縮變換到s s1 1平面平面jj1 1軸上的軸上的/T/T到到/T/T一段，可以采用的變換方式：一段，可以采用的變換方式：這樣，變到，這樣，變到， 變到，變到，上式可以寫成：上式可以寫成：解析延拓到解析延拓到s s平面和平面和s s1 1平面，令則平面，令則)2tan(1T 1T 0 10 11112222TTTTeejee 11,js js 111111221221tan21s Ts Ts Ts Ts Ts TsTeeesheee再將再將s s1 1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z

14、z平面平面從而得到從而得到s s平面和平面和z z變換的單值映射關(guān)系變換的單值映射關(guān)系為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系引入待定常數(shù)率有對應(yīng)關(guān)系引入待定常數(shù)c c，Tsez11111zzsssz111tan()2Tc 1111tan ()21s Ts TTeschce(6 1)仍將代入，可得仍將代入，可得上兩式是上兩式是s s平面與平面與z z平面之間的單值映射關(guān)系，平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。這種變換就稱為雙線性變換。1s Tze1111zzcsscscz不同不同c c可以使模擬濾波器與數(shù)字濾波器頻率特性

15、在可以使模擬濾波器與數(shù)字濾波器頻率特性在不同頻率處有對應(yīng)關(guān)系，也就是可以調(diào)節(jié)頻帶間不同頻率處有對應(yīng)關(guān)系，也就是可以調(diào)節(jié)頻帶間的對應(yīng)關(guān)系。有兩種方法：的對應(yīng)關(guān)系。有兩種方法：（1 1）使兩種濾波器在低頻處有較明確的對應(yīng)關(guān)系。）使兩種濾波器在低頻處有較明確的對應(yīng)關(guān)系。即低頻時即低頻時 , ,當(dāng)當(dāng) 較小有較小有由由6-16-1式及可得式及可得因而得因而得 此時兩者低頻特性近似。此時兩者低頻特性近似。1 111tan()22TT1 112Tc Tc2（2 2）采用數(shù)字濾波器的某一特定頻率與模擬原型）采用數(shù)字濾波器的某一特定頻率與模擬原型濾波器的一個特定頻率相對應(yīng)，即濾波器的一個特定頻率相對應(yīng)，即則有則

16、有這種方法的主要優(yōu)點是在特定的模擬和數(shù)字頻率這種方法的主要優(yōu)點是在特定的模擬和數(shù)字頻率處，頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等。處，頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等?？蓽?zhǔn)確的控制截止頻率可準(zhǔn)確的控制截止頻率的位置。的位置。)2tan()2tan(1ccccTccot2ccc 模擬角頻率模擬角頻率與數(shù)字頻率與數(shù)字頻率之間的之間的變換關(guān)系變換關(guān)系當(dāng)零頻附近呈線性關(guān)系，當(dāng)增加當(dāng)零頻附近呈線性關(guān)系，當(dāng)增加時，就存在非線性關(guān)系。時，就存在非線性關(guān)系。其產(chǎn)生兩個問題：其產(chǎn)生兩個問題：（1 1）經(jīng)雙線性變換不能保持原有相位。）經(jīng)雙線性變換不能保持原有相位。（2 2）這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的）這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分

17、段常數(shù)型的。幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的。)2tan(c/c=tan(/2)/c=tan(/2)-0 0210 0210 012120 0|H|Ha a(j)|(j)|H(e|H(ejj)|)|=2tan=2tan-1-1(/c)(/c)理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用解決辦法：將頻率加以預(yù)畸，即利用將數(shù)字濾波器的截止頻率（即臨界頻率）變換成模將數(shù)字濾波器的截止頻率（即臨界頻率）變換成模擬頻率，利用這組模擬頻率來設(shè)計模擬帶通濾波擬頻率，利用這組模擬頻率來設(shè)計模擬帶通濾波器，這是我們要求的模擬原型。器，這是我們要求的模

18、擬原型。對這個模擬原形濾波器采用雙線性變換，即可以得對這個模擬原形濾波器采用雙線性變換，即可以得到所需要的數(shù)字濾波器。到所需要的數(shù)字濾波器。)2tan(c利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦法：利用雙線性變換將模擬濾波器數(shù)字化的辦法：（1 1）s s到到z z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，可以將之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，可以將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用代數(shù)置換得到數(shù)字濾波模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：器的系統(tǒng)函數(shù)：（2 2）先將模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)或級聯(lián)的子系統(tǒng)，）先將模擬系統(tǒng)分解為并聯(lián)或級聯(lián)的子系統(tǒng)，每個系統(tǒng)都變成低階的，然后再對每個子系統(tǒng)函每個系統(tǒng)都變成低階的，然后再對

19、每個子系統(tǒng)函數(shù)分別進(jìn)行雙線性變換。數(shù)分別進(jìn)行雙線性變換。因為模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解有大量的圖表可以利因為模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。用，分解起來比較方便。111111)()(11zzcHsHzHazzcsa此變換在概念上很清楚，但是實際變換可能會比較復(fù)雜，可以此變換在概念上很清楚，但是實際變換可能會比較復(fù)雜，可以先求出雙線性變換法中數(shù)字濾波器的系數(shù)與模擬濾波器的系數(shù)先求出雙線性變換法中數(shù)字濾波器的系數(shù)與模擬濾波器的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可以利用表格進(jìn)行設(shè)計。之間的關(guān)系式，并列成表格，便可以利用表格進(jìn)行設(shè)計。111111)()(11zzcHsHzHazzcsa

20、NNNNNiiiNiiiNNNNNiiiNiiiasBsBsBsAsAsAAzBzAzHseseseesdsdsddsesdsH221221000221022100011)()(一階一階N N1 1A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c)/Rc)/RA A1 1 (d (d0 0-d-d1 1c)/Rc)/RB B1 1 (e (e0 0-e-e1 1c)/Rc)/R R (e R (e0 0+e+e1 1c)c)二階二階N N2 2 A A0 0 (d (d0 0+d+d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R A A1 1 (2d (2d0 0-2d-2d2 2c c2 2

21、)/R)/R A A2 2 (d (d0 0-d-d1 1c+dc+d2 2c c2 2)/R)/R B B1 1 (2e (2e0 0-2e-2e2 2c c2 2)/R)/R B B2 2 (e (e0 0-e-e1 1c+ec+e2 2c c2 2)/R)/RR (eR (e0 0+e+e1 1c+ec+e2 2c c2 2) )三階三階N N3 36.3.2 有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo).FIR.FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的條件、線性相位數(shù)字濾波器具有線性相位的條件、線性相位FIRFIR數(shù)字濾波數(shù)字濾波器的幅度特點以及零點分布特點；器的幅度特點以及零點

22、分布特點；. .窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計FIRFIR數(shù)字濾波器的基本原理、設(shè)計步驟、窗數(shù)字濾波器的基本原理、設(shè)計步驟、窗函數(shù)選取的基本原則以及窗函數(shù)設(shè)計法的不足；函數(shù)選取的基本原則以及窗函數(shù)設(shè)計法的不足；. .頻率采樣法設(shè)計頻率采樣法設(shè)計FIRFIR數(shù)字濾波器的基本原理、設(shè)計步驟以及過數(shù)字濾波器的基本原理、設(shè)計步驟以及過渡點對性能指標(biāo)的影響；渡點對性能指標(biāo)的影響；線性相位：線性相位：設(shè)濾波器頻率響應(yīng)為設(shè)濾波器頻率響應(yīng)為 1 線性相位FIR濾波器的特點)(|)(|)(jjjeeHeH若有若有dd)(為常數(shù)時為常數(shù)時即即dd)(FIR濾波器濾波器:有限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。有限長單位沖

23、激響應(yīng)數(shù)字濾波器。稱為線性相位濾波器稱為線性相位濾波器兩種情況：兩種情況： )()( 1.1線性相位條件設(shè)離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為設(shè)離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為 ，長度為，長度為N，為實序列。，為實序列。)(nh且且 關(guān)于關(guān)于 偶對稱或奇對稱偶對稱或奇對稱)(nh21N)1()(nNhnh偶對稱偶對稱)1()(nNhnh奇對稱奇對稱)(10)()()(jNnnjjeHenheH系統(tǒng)頻率響應(yīng)為系統(tǒng)頻率響應(yīng)為1. 1. 為偶對稱為偶對稱)(nh10)()(NnnznhzH系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH兩式相加兩式相加1nNm令)()()()(1)1(10)1(10

24、)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN10)()()(10)1(1)1()21)()(21)()(21)(212121NnnnNnnNnNNNNzznhzzzznhzHzzHzH頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)1021)()cos()(|)()(21NnNjezjnnhezHeHNj幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)1021)cos()()(NnNnnhH相位響應(yīng)相位響應(yīng)21,21)(NN結(jié)論：具有結(jié)論：具有 偶對稱形式?jīng)_激響應(yīng)的系統(tǒng)具有線性相位偶對稱形式?jīng)_激響應(yīng)的系統(tǒng)具有線性相位2. 2. 為奇對稱為奇對稱)(nh1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH兩式相加兩式相加1nNm令)()()()(1)1(

25、10)1(10)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN10)()()(10)1(1)1()21)()(21)()(21)(212121NnnnNnnNnNNNNzznhzzzznhzHzzHzH頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)1021)()sin()(|)()(21NnNjezjnnhjezHeHNj幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)1021)sin()()(NnNnnhH相位響應(yīng)相位響應(yīng)21,221)(NN結(jié)論：具有結(jié)論：具有 奇對稱形式?jīng)_激響應(yīng)的系統(tǒng)也具有線性相位奇對稱形式?jīng)_激響應(yīng)的系統(tǒng)也具有線性相位1.2 線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特點當(dāng)當(dāng) 為偶對稱和奇對稱時為偶對稱和奇對稱時, ,濾波器幅度函數(shù)有兩種特性濾

26、波器幅度函數(shù)有兩種特性)(nh而當(dāng)而當(dāng)N N的取值為偶數(shù)和奇數(shù)時的取值為偶數(shù)和奇數(shù)時, ,濾波器幅度特性也不同濾波器幅度特性也不同. .因而共有因而共有4 4種不同的幅度特性種不同的幅度特性. .1. 1. 偶對稱偶對稱,N,N為奇數(shù)為奇數(shù))(nh10)21cos()()(NnNnnhH由于由于N N為奇數(shù)為奇數(shù), ,中間項為中間項為 , ,21Nn1)21cos(Nn230)21cos()(2)21()(NnNnnhNhH其余項偶對稱其余項偶對稱 , ,)cos(),(nnhnNm21令230cos)21(2)21()(NmmmNhNhH212, 1),21(2)(),21()0(NnnNh

27、naNha令210cos)()(NnnnaH 關(guān)于關(guān)于 偶對稱偶對稱)(H2,00202可實現(xiàn)任意可實現(xiàn)任意形式濾波器形式濾波器2. 2. 偶對稱偶對稱,N,N為偶數(shù)為偶數(shù))(nh10)21cos()()(NnNnnhH由于由于N N為偶數(shù)為偶數(shù), ,無單獨中間項無單獨中間項, ,所有項均可兩兩合并所有項均可兩兩合并nNm2令 21)21cos()2(2)(NmmmNhH 22,1),2(2)(NnnNhnb 令 21)21cos()()(NnnnbH 關(guān)于關(guān)于 偶對稱偶對稱, ,關(guān)于關(guān)于 奇對稱奇對稱. . )(H2,0 0)(H02低通濾波器低通濾波器帶通濾波器帶通濾波器可用于設(shè)計可用于設(shè)

28、計: :不能用于不能用于: :高通濾波器高通濾波器帶阻濾波器帶阻濾波器3. 3. 奇對稱奇對稱,N,N為奇數(shù)為奇數(shù))(nh 關(guān)于關(guān)于 奇對稱奇對稱. . )(H2,0 , , 0)0(H0)(H帶通濾波器帶通濾波器可用于設(shè)計可用于設(shè)計: :僅可用于低通僅可用于低通和帶通濾波器和帶通濾波器4. 4. 奇對稱奇對稱,N,N為偶數(shù)為偶數(shù))(nh , , 0)0(H可用于設(shè)計可用于設(shè)計: : 關(guān)于關(guān)于 奇對稱奇對稱, ,關(guān)于關(guān)于 偶對稱偶對稱. . )(H2,0高通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶通濾波器4 4種不同的幅度特性中，以第一種幅度特性最好，因而在種不同的幅度特性中，以第一種幅度特性最好，因而在

29、FIRFIR濾濾波器的設(shè)計中，通常都采用第一種幅度特性。稱第一類波器的設(shè)計中，通常都采用第一種幅度特性。稱第一類FIRFIR濾波濾波器。器。 偶對稱偶對稱,N,N為奇數(shù)為奇數(shù))(nh2、FIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的設(shè)計方法設(shè)計方法窗函數(shù)法窗函數(shù)法 某理想濾波器的頻率響應(yīng)某理想濾波器的頻率響應(yīng)對應(yīng)的沖激響應(yīng)對應(yīng)的沖激響應(yīng)可見它是一無限長、非可見它是一無限長、非因果和不穩(wěn)定的系統(tǒng)。因果和不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在在N-1/2處不具有對稱處不具有對稱性。如何加以改造？性。如何加以改造？版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室ccjdeH,0, 1)(ccnndenhcnjdsin21)(FIR

30、數(shù)字濾波器的設(shè)計方法理想濾波器理想濾波器其沖激響應(yīng)為其沖激響應(yīng)為尋找一有限長因果序列來尋找一有限長因果序列來逼近理想沖激響應(yīng)，即逼近理想沖激響應(yīng)，即版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室ccnjjdeeH,0,)(nnnhcdsin)(nNnnhnhd其它,010, )()(FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法和和 ，它是為了構(gòu)造偶對稱序列而取的延遲。，它是為了構(gòu)造偶對稱序列而取的延遲。 有必要討論加窗前后兩個序列的頻率響應(yīng)或頻譜函數(shù)間的差有必要討論加窗前后兩個序列的頻率響應(yīng)或頻譜函數(shù)間的差別。由上面公式可知別。由上面公式可知矩形窗的頻譜為矩形窗的頻譜為它直接影響所設(shè)計濾波器的質(zhì)量。它直

31、接影響所設(shè)計濾波器的質(zhì)量。版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室21NnNnnwnwnhnhRRd其它,010,1)(),()()()()(21)(jRjdjeWeHeHjRNjNnnjjReWeNeeW)(2/sin2/sin)(2110FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法矩形窗的頻譜曲線矩形窗的頻譜曲線不同窗函數(shù)窗譜是不同的。如果窗譜函數(shù)是一沖激會產(chǎn)生理想設(shè)計。不同窗函數(shù)窗譜是不同的。如果窗譜函數(shù)是一沖激會產(chǎn)生理想設(shè)計。版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室主瓣旁瓣旁瓣對窗函數(shù)的要求：主瓣窄、旁瓣小FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法- 討論矩形窗譜函數(shù)對有時延理想低通濾波器設(shè)

32、計的影響討論矩形窗譜函數(shù)對有時延理想低通濾波器設(shè)計的影響由前面知由前面知因此因此FIR數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)為數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)為根據(jù)上式，在幾個特殊情況下觀察卷積結(jié)果。根據(jù)上式，在幾個特殊情況下觀察卷積結(jié)果。版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室deWeHeWeHeHjRjdjRjdj21)()(21)( dWHeRdj21 dWHHRd21NNccc2,2,0FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法理想低通與矩形窗頻譜函數(shù)卷積過程理想低通與矩形窗頻譜函數(shù)卷積過程常用窗函數(shù)：矩形窗、巴特利特窗、漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗常用窗函數(shù)：矩形窗、巴特利特窗、漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗凱澤窗。凱澤

33、窗。版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室肩峰、泄漏和吉布斯現(xiàn)象FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法改善窗函數(shù)可改善濾波器的性能（折中和權(quán)衡過程）改善窗函數(shù)可改善濾波器的性能（折中和權(quán)衡過程）版權(quán)所有2010 ，吉林大學(xué)通信工程學(xué)院信息科學(xué)實驗室可消除泄露減小旁瓣，但過渡帶寬增加可消除泄露減小旁瓣，但過渡帶寬增加受具體窗函數(shù)限制，以上兩個條件不能同時達(dá)到最佳。受具體窗函數(shù)限制，以上兩個條件不能同時達(dá)到最佳。常用窗函數(shù)：常用窗函數(shù)：1.矩形窗矩形窗)()(nRnwN窗函數(shù)窗函數(shù)21)()(NjRjReWeW頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)2sin2sin)(NWR主瓣寬度主瓣寬度N4第一旁瓣比主瓣低第一旁

34、瓣比主瓣低dB13即：采用矩形窗設(shè)計的即：采用矩形窗設(shè)計的FIRFIR濾波器，過渡帶寬度為濾波器，過渡帶寬度為 ，阻，阻帶衰減最大帶衰減最大 。 N4dB132.三角窗三角窗12112221012)(NnNNnNnNnnwBr頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)窗函數(shù)窗函數(shù)2122122sin)4sin(22sin)41sin(12)(NjNjjBreNNeNNeW主瓣寬度主瓣寬度N8第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB25n)(nwBr03.漢寧窗漢寧窗)()12cos(121)(nRNnnwNHan 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)窗函數(shù)窗函數(shù)主瓣寬度主瓣寬度N8第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低dB3121)()(NjHan

35、jHaneWeW 時時1N)2()2(25.0)(5.0)(NWNWWWRRRHan)(RW 為矩形窗頻率響應(yīng)幅度函數(shù)為矩形窗頻率響應(yīng)幅度函數(shù))(HanW0N4N44.哈明窗哈明窗5.布萊克曼窗布萊克曼窗6.凱賽貝賽爾窗凱賽貝賽爾窗2.4 窗函數(shù)法設(shè)計步驟1.根據(jù)給定的濾波器理想頻率響應(yīng)根據(jù)給定的濾波器理想頻率響應(yīng) 求其單位沖激響應(yīng)求其單位沖激響應(yīng))(jdeH)()()(nwnhnhddeeHnhjnjdd)(21)(2.根據(jù)給定的濾波器過渡帶及阻帶衰減要求，選擇合適的窗函根據(jù)給定的濾波器過渡帶及阻帶衰減要求，選擇合適的窗函數(shù)形式數(shù)形式 。)(nw3.濾波器沖激響應(yīng)為濾波器沖激響應(yīng)為4.檢驗所

36、得濾波器是否滿足設(shè)計指標(biāo)檢驗所得濾波器是否滿足設(shè)計指標(biāo)1.1.求數(shù)字域頻率求數(shù)字域頻率解：解：例例 2 設(shè)計一個線性相位的設(shè)計一個線性相位的FIR數(shù)字低通濾波器，給定采樣頻數(shù)字低通濾波器，給定采樣頻率率 ，通帶截止頻率，通帶截止頻率 ，阻帶起始頻率阻帶起始頻率 ，阻帶衰減不小，阻帶衰減不小于于 。kHzfc15sradp/105.123srads/10323dB50通帶截止頻率通帶截止頻率2.0Tpp阻帶起始頻率阻帶起始頻率4.0Tss阻帶衰減阻帶衰減dBs50截止頻率截止頻率3.0)4.02.0(21)(21spc2.2.確定理想低通濾波器頻率響應(yīng)確定理想低通濾波器頻率響應(yīng)|0|)(ccjj

37、deeH)()sin(21)(21)(nndeedeeHnhcjnjjnjddcc3.理想低通濾波器理想低通濾波器沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)為滿足線性相位為滿足線性相位21N4.確定窗函數(shù)及確定窗函數(shù)及FIR濾波器長度濾波器長度N由阻帶衰減由阻帶衰減 ，可選哈明窗，其阻帶最小衰減，可選哈明窗，其阻帶最小衰減dBs50dB53由哈明窗過渡帶寬由哈明窗過渡帶寬3.32NN6 . 6有有6 . 6N2 . 02 . 04 . 0ps332 . 06 . 6N1621N5.確定確定FIR濾波器沖激響應(yīng)濾波器沖激響應(yīng)哈明窗函數(shù)序列哈明窗函數(shù)序列2()0.540.46 cos()w()1H amRnwnnN則則FI

38、R濾波器沖激響應(yīng)為濾波器沖激響應(yīng)為( )( )( )sin0.3 (16)20.54 0.46cos()( )(16)1dHamRh nh n wnnnw nnN6.檢驗設(shè)計結(jié)果是否符合要求檢驗設(shè)計結(jié)果是否符合要求阻帶衰減大阻帶衰減大于于50分貝分貝1.對理想濾波器頻響進(jìn)行對理想濾波器頻響進(jìn)行N點采樣點采樣3 頻率采樣法3.1設(shè)計原理設(shè)理想數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)為設(shè)理想數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)為101()()()0,1, 2,1NnkNkh nID F THkHk WkNN2.根據(jù)傅立葉變換的特性，根據(jù)傅立葉變換的特性，N點頻響采樣通過傅立葉反變換成點頻響采樣通過傅立葉反變換成N點時域序列，即為點時域序

39、列，即為FIR濾波器時域沖激響應(yīng)濾波器時域沖激響應(yīng))(nhjezjdzHeH|)()(在在z z平面單位圓上對平面單位圓上對 等間隔采樣等間隔采樣N N點點)(jeH12, 1 ,0|)()(2NkeHkHkNjd對應(yīng)時域中對應(yīng)時域中N N點沖激序列點沖激序列)(nh其其z z變換為變換為101010)(1)()(NnnNknkNNnnzWkHNznhzH1010)(1NkNnnnkNzWkHN1010111)(111)(1NkNkkNNkNNNkNzWkHNzzWzWkHN1 NkNW濾波器頻率響應(yīng)為濾波器頻率響應(yīng)為101)(1|)()(NkjkNjNezjeWkHNezHeHj為理想濾波器

40、頻率響應(yīng)為理想濾波器頻率響應(yīng) 的重構(gòu)的重構(gòu))(jdeH3.2 頻率采樣法的優(yōu)化設(shè)計在頻率采樣點上，實際濾波器在頻率采樣點上，實際濾波器頻率響應(yīng)與理想濾波器頻率響頻率響應(yīng)與理想濾波器頻率響應(yīng)的數(shù)值嚴(yán)格相等。應(yīng)的數(shù)值嚴(yán)格相等。在頻率采樣點之間，實際濾波在頻率采樣點之間，實際濾波器頻率響應(yīng)由各采用點的加權(quán)器頻率響應(yīng)由各采用點的加權(quán)插值形成，與理想濾波器頻率插值形成，與理想濾波器頻率響應(yīng)存在誤差。響應(yīng)存在誤差。0)(jdeHkc1)(kH)(jeH0)(jeHk1)(kH)(jdeH理想濾波器頻率響應(yīng)變化越平理想濾波器頻率響應(yīng)變化越平緩，插值結(jié)果與實際頻響曲線緩，插值結(jié)果與實際頻響曲線越接近。增加采樣

41、點可以減小越接近。增加采樣點可以減小插值誤差。插值誤差。優(yōu)化設(shè)計優(yōu)化設(shè)計為減小在頻帶突變處的起伏為減小在頻帶突變處的起伏, ,采用插入過渡點的方法采用插入過渡點的方法0k1)(kH)(jdeH插入插入1 1個過渡點，阻帶最小衰個過渡點，阻帶最小衰減減444454dB54dB。不插入過渡點不插入過渡點, ,阻帶最小衰減阻帶最小衰減20dB20dB。0k1)(kH)(jdeH插入插入2 2個過渡點，阻帶最小衰個過渡點，阻帶最小衰減減606075dB75dB。0k1)(kH)(jdeH插入插入3 3個過渡點，阻帶最小衰個過渡點，阻帶最小衰減減808095dB95dB。后果：過渡帶增加，可通過增加采樣

42、點的方法減小過渡帶。后果：過渡帶增加，可通過增加采樣點的方法減小過渡帶。3.3 線性相位與采樣的約束1. 采樣方法采樣方法第一種：起始點在第一種：起始點在0第二種：起始點在第二種：起始點在N2. 線性相位的約束線性相位的約束對第一類線性相位對第一類線性相位FIR濾波器，濾波器， 偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)。為奇數(shù)。)(nh)()()(jjdeHeH其頻率響應(yīng)為其頻率響應(yīng)為21)(N相位響應(yīng)為相位響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為)2()( HH在在 之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點點20)()(kNHkHkNNk1)(12, 1 ,0,2NkkNk代入濾波器幅度和相位特性代入濾波器幅度和相位

43、特性12, 1 ,0Nk)(2)22()2(kNNHkNHkNH對第二類線性相位對第二類線性相位FIR濾波器，濾波器， 偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)。為偶數(shù)。)(nh)()()(jjdeHeH其頻率響應(yīng)為其頻率響應(yīng)為21)(N相位響應(yīng)為相位響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為)2()(HH在在 之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點點20)()(kNHkHkNNk1)(12, 1 ,0,2NkkNk代入濾波器幅度和相位特性代入濾波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk對第三類線性相位對第三類線性相位FIR濾波器，濾波器， 奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)。為奇數(shù)。)(nh)()()(jjdeHeH其頻率響應(yīng)為其

44、頻率響應(yīng)為221)(N相位響應(yīng)為相位響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為)2()(HH在在 之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點點20)()(kNHkH21)(kNNk12, 1 ,0,2NkkNk代入濾波器幅度和相位特性代入濾波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk對第四類線性相位對第四類線性相位FIR濾波器，濾波器， 奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)。為偶數(shù)。)(nh)()()(jjdeHeH其頻率響應(yīng)為其頻率響應(yīng)為21)(N相位響應(yīng)為相位響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為其中，幅度響應(yīng)為)2()( HH在在 之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點點20)()(kNHkH12, 1 ,0,2NkkNk代入濾波器幅度和相

45、位特性代入濾波器幅度和相位特性12, 1 ,0Nk21)(kNNk3.4 頻率采樣法的設(shè)計步驟1.根據(jù)理想濾波器性能指標(biāo)，計算在通帶和阻帶中的抽樣點根據(jù)理想濾波器性能指標(biāo)，計算在通帶和阻帶中的抽樣點數(shù)，確定濾波器沖激響應(yīng)的對稱性。數(shù)，確定濾波器沖激響應(yīng)的對稱性。2.根據(jù)單位沖激響應(yīng)根據(jù)單位沖激響應(yīng) 的對稱性，計算抽樣點的幅度的對稱性，計算抽樣點的幅度 和相位和相位 。)(nh)(kH)(k3.由由 求求 )()()(kjdekHkH)()(kHIDFTnhd檢驗是否滿足設(shè)計要求檢驗是否滿足設(shè)計要求,若不滿足若不滿足,修改抽樣修改抽樣點參數(shù)點參數(shù),重新計算直至滿足要求。重新計算直至滿足要求。 1

46、01)(1|)()(NkjkNdjNezjeWkHNezHeHj1.1.確定截止頻率處采樣點確定截止頻率處采樣點解：解：例例 3 利用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位低通濾波器。單位利用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位低通濾波器。單位沖激響應(yīng)滿足沖激響應(yīng)滿足 ，幅度響應(yīng)為，幅度響應(yīng)為采樣點數(shù)采樣點數(shù)33。)1()(nNhnh其他02|1|)(|jdeH2.2.確定抽樣點參數(shù)（幅度與相位值）確定抽樣點參數(shù)（幅度與相位值）已知已知33N采樣間隔采樣間隔33298c取取8ck)1()(nNhnh由于由于采樣點數(shù)采樣點數(shù)33第一類第一類FIR濾波器濾波器ckkkHkH2, 1 ,01|)33(|)(|1621,1

47、0,90|)33(|)(|NkkHkH322, 1 ,033321)(kkkNNk0k1)(kH)(Hc)(|)(|)(kjekHkH3. 3. 幅度特性幅度特性101)(1)(NkjkNjNjeWkHNeeH由由代入各代入各 取值取值)(kH )332sin(33)332(33sin)332sin(33)332(33sin)2sin(33)233sin()(8116kjjkkkkeeH0| )(|lg20jeH604020其幅度特性為其幅度特性為最大衰減約最大衰減約20dB,20dB,難難以滿足一般要求以滿足一般要求為了獲得更大衰減，為了獲得更大衰減，可以采用在頻率特可以采用在頻率特性突變處插入過渡性突變處插入過渡點。點。ckkkhkh2, 1 ,01)32()(162111,100)32()(Nkkhkh5.0)21()9( hh0k1)(kH)(Hc插入過渡點后其幅插入