§6.2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法ppt課件

1、2 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的三種方法2,(),)TT1nf(x ,x ,x )X AX AA 對(duì)對(duì)于于二二次次型型一一個(gè)個(gè)最最基基本本的的問問題題是是找找一一個(gè)個(gè)可可逆逆( (非非退退化化 線線性性替替換換X X= =C CY Y化化f f為為只只含含平平方方項(xiàng)項(xiàng)的的簡簡單單形形式式22221122,1nnn(y ,y ,y )d yd yd y g gf.上上 式式 稱稱 為為的的 標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 型型 非非退退化化得得線線性性問問題題替替換換是是非非存存：在在？(1)XCY(2)如果存在，如何求如果存在，如何求C?定理定理 任何一個(gè)二次型都可以通過非退化線性任何一個(gè)二次型都

2、可以通過非退化線性替換替換 化為標(biāo)準(zhǔn)形?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。21211 112 12112222222:( ,.,)2. 2. 2.nnnnnnnnf x xxa xa xxa xxa xa x xa x 證證 設(shè)設(shè)(1)若若aii不全為零不全為零,設(shè)設(shè)a110則上式可寫成則上式可寫成 21211211111211112222222(,.,)2.2.nnnnnnnnaaf x xxaxxxxaaa xa xa x 21 211 1121 11 121 221 3311 1222 2222.1.2.nnnnnnn nnaaaxxxaaaxaxaxaaxaxax配方配方 令令121112111122.nn

3、nnaayxxxaayxyx改改寫寫上上述述關(guān)關(guān)系系得得到到： 1 211121 11 122.nnnnaaxyyyaaxyxy它是非退化的它是非退化的,代入后代入后 21222223232223332132131,.,2. 2. 2.nnnnnnnnf x xxa ya y ya y ya ya y ya ya y對(duì)對(duì)y2,y3,yn的二次型的二次型.當(dāng)當(dāng)aii不全為零時(shí)不全為零時(shí),繼續(xù)上述方法繼續(xù)上述方法.否則用下述否則用下述(2)(2)若若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一個(gè)但至少有一個(gè)aij0,設(shè)設(shè)a120,則則 12 1 21213 1 31123 2 3221 ,1( ,

4、.,)2. 22. 2.22.nnnnnnn nnf x xxa xxa xxa x xa x xaxxxxa1121233. . .nnxyxyyxyxy 令令它是非退化線性的替換它是非退化線性的替換,代入后代入后1212 11213 1 311231232121,1( ,.,)2() 2. 22(). 2().2nnnnnnnnnf x xxa y yya yya yyayy yayy yay y 12 1 213231 31212323221,1212 122(). 2()2. 2.22nnnnnnnnna yyaayyaayya y ya y yayyya211220,(1).ya 的

5、的 系系 數(shù)數(shù)再再 用用化化 簡簡反復(fù)使用反復(fù)使用(1)與與(2),可以在有限步內(nèi)將二次型可以在有限步內(nèi)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形.因?yàn)橐驗(yàn)?x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0則則 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化線性替換也是非退化線性替換.以上做法中以上做法中,每一步都是非退化線性替換每一步都是非退化線性替換.因此可以找到一個(gè)非退化線性替換化為二因此可以找到一個(gè)非退化線性替換化為二次型為標(biāo)準(zhǔn)形次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理定理 對(duì)任意對(duì)稱陣對(duì)任意對(duì)稱陣A,存在可逆陣存在可逆陣C使得使得CTAC為對(duì)角陣為對(duì)角陣. 即任何對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角陣即任何對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角陣.上述定

6、理的證明實(shí)績上給出了一種化二次上述定理的證明實(shí)績上給出了一種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法：配方法配方法.1.若二次型含有若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形 . ixix拉格朗日配方法的步驟拉格朗日配方法的步驟.,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 1解解32312

7、123222162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 的的項(xiàng)項(xiàng)配配方方含含有有x1含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng) 2321xxx 22232344xxx x 3223222xxxx 去掉配方后多出來的項(xiàng)去掉配方后多出來的項(xiàng) 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 .01,100210111 CC 將將二

8、二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形例例22211213223322224xx xx xxx xx解解:配方化簡配方化簡2221121322332224xx xx xxx xx 222221123232322 332 () ()()24xx xxxxxxxxxx 221232232xxxxx x 222123233xxxxxx 112322333yxxxyxxyx 令令11222333xyyxyyxy 即即11001110001C 代入可得標(biāo)準(zhǔn)形為代入可得標(biāo)準(zhǔn)形為222123yyy100010001B 它它的的矩矩陣陣為為111122121A 原原二二次次型型矩矩陣陣非退化線性替換矩陣為非退化線性替

9、換矩陣為110011| 10001CC 且且100111110110122011011121001TC AC 可可驗(yàn)驗(yàn)證證111110011011001001 100010001B kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換則先作可逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按按 1 中方法配方中方法配方.,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf

10、 得得.,622 323121并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例3 3由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以111223311011 0,001X CYyxyxxy 即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得1122233101012,001YC Zyzyzzy 即即所用變換矩陣為所用變換矩陣為12110101110012001001CC C.100111311 .02 C正正交交變

11、變換換法法112n,(,)nAQQAQdiag 由由實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣的的理理論論，對(duì)對(duì)任任意意 階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱陣陣存存在在正正交交矩矩陣陣使使得得12T12,.f(,)=X(),AnTnAxxxAX AA 其其中中為為 的的特特征征值值 對(duì)對(duì)任任意意一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)二二次次型型由由于于 為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱，則則存存在在正正交交矩矩陣陣Q Q使使得得112( ,),TnQ AQQ AQdiag 1 12 2n n于于是是線線性性替替換換X X= =Q QY Y( (稱稱為為) )化化f f為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正交交變變換換型型22212.nyyy 1 12 2n n對(duì)對(duì)于于任任意意 元元實(shí)實(shí)二二次次型

12、型都都存存在在正正交交變變換換X X= =Q QY Y化化f f為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型其其中中為為的的特特值值理理征征定定222212 n,(),A(i=1,2,n).1nTTnif(xxx )X AX AAyyy正正交交變變換換的的特特點(diǎn)點(diǎn)是是保保持持向向量量長長度度不不變變：X=QY設(shè)設(shè)為為正正交交變變換換，則則2(,)(,)() ()TXX XQY QYQYQY 2.TTTY Q QYY YY 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟; .1A寫寫出出二二次次型型的的矩矩陣陣;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求

13、出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;, , .4212121nnnPPPCPPP 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 解解step1step1寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A.,844141417 323121232221化化成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形通通過過正正交交變變換換將將二二次次型型Pyxxxxxxxxxxf 例例172221442414E A 9182 從而得特征值從而得特征值.18,9321 23180,EA x 將將代代入入

14、得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系,)0 , 1 , 2(2 T .) 1 , 0 , 2(3 T step2step2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 091 xEA .)1,1,21(1T ,11 取取,22 3233222(,),(,) 得正交向量組得正交向量組.)1 ,54,52(3 T ,) 0 , 1 , 2(2 T ,) 1 , 1 , 21 (1T step3step3將特征向量正交化將特征向量正交化,051522 ,3,2,1, iiii 令令得得,3232311 .4554544523 step4step4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P.45503245451324525231 P 所所以以于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有 1 12 2n n1 12 2n n1 12 2n n設(shè)設(shè)實(shí)實(shí)二二次次型型的的矩矩陣陣的的特特征征值值例例為為證證明明：對(duì)對(duì)任任意意維維實(shí)實(shí)向向量量都都有有12 (,),max,min,.,Tnf xxxX AXAcdnX 1 12 2n n(,).TTdX Xf xxxcX X AQf證證為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱陣陣，則則存存在在正正交