第6章-隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)

1、第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)基本要求基本要求 了解幾種常見的非線性系統(tǒng) 了解計(jì)算輸出信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的直接法和特征函數(shù)法 了解準(zhǔn)正弦信號(hào)通過非線性系統(tǒng)的分析方法第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)6.1 幾種常見的非線性系統(tǒng)幾種常見的非線性系統(tǒng)一、非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別一、非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別1對(duì)于線性系統(tǒng)的解，人們通常能夠求得封閉形式的表達(dá)式;對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)說，這一點(diǎn)并不是總能實(shí)現(xiàn)的。2相對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說，分析非線性系統(tǒng)一般涉

2、及的數(shù)學(xué)在概念上更高深，在內(nèi)容上則更繁雜。 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)x( )ty(t)=sgn(x( ),x( )00,x( )0ttt若y(t)若x( )|ty(t)=|2( )( )x tx ty(t)=2yxxnnn2x( ) ty(t)= b1. 硬限制硬限制2. 線性半波檢波線性半波檢波3. 線性全波檢波線性全波檢波4. 二次失真二次失真 其數(shù)字信號(hào)形式為：5. 平方律檢波器平方律檢波器 二、幾種常用的非線性系統(tǒng)二、幾種常用的非線性系統(tǒng)本章重點(diǎn)討論線性半波檢波、線性全波檢波和平方律檢波本章重點(diǎn)討論線性半波檢波、線性全波檢波和平方律檢波第第6 6章章

3、 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)6.2 直接法直接法一、基本原理一、基本原理二、平方律檢波器二、平方律檢波器三、線性半波檢波器三、線性半波檢波器第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)設(shè)隨機(jī)信號(hào)的一維概率密度為 ， 一、基本原理一、基本原理 tXtxfX;x1212,; ,fx x t t密度函數(shù)為 ， 非線性系統(tǒng)的特性為 ，則( )yf x 二維概率 tX通過該非線性系統(tǒng)得到的輸出信號(hào)Y(t)的統(tǒng)計(jì)特性可按下式計(jì)算：xy( )( );Etf x fx t dxxy ( )( );nnEtfx fx t dx y1212x121212R,( ) (),; ,t

4、 tf x f xfx x t tdx dx 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)二、平方律檢波器二、平方律檢波器2ybx平方律檢波器的傳輸特性為 ，其中b是常數(shù)。22xy ( );x( )nnnnEtbxfx t dxb Et 22222y121212x121212R,( )( )xxx ,x ; ,t tb E x tx tbbft tdx dx 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)正態(tài)噪聲作用于平方律檢波器正態(tài)噪聲作用于平方律檢波器x( ) txx1 3 512x0nnnnEn 的偶數(shù)為奇數(shù)2xy ( )1 3 521nnnEtbn 2xy

5、( )Etb2224xy( )33y( )EtbEt 設(shè)檢波器輸入端作用的 是一個(gè)零均值的正態(tài)噪聲，因此令n1 和 n2，得到 由于方差為的正態(tài)隨機(jī)變量X的各階矩為：2222y( )y( )y( )2y( )tEtEtEt第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) yR 2222222y121212Rx( ) x( )x( ) x( ) 2x( )x( )b Ettb EtEtEtt 2422xx2bb R輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù) 2422yxx( )2( )2jSbbRed 輸出功率譜密度輸出功率譜密度第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) xx1R2

6、jSed 2xxxRRjjReded/xx12SSd由于所以 224/yxxx( )( )bSbSSd yy( )( )SS 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)信號(hào)和噪聲同時(shí)作用于平方律檢波器信號(hào)和噪聲同時(shí)作用于平方律檢波器設(shè)平方律檢波器輸入端的隨機(jī)信號(hào)是 xsnttt噪聲的均值為零，信號(hào)和噪聲彼此不相關(guān)，平方律檢波器輸出的自相關(guān)函數(shù)是 222y121122222222222121212122112R, s( )+n( )s( )+n( )s ( )s ( )+4s( )s( )n( )n( )+s ( )n ( )+s ( )n ( )+n ( )( )t tb E

7、ttttb Ettttttttttt n t21=tt 22222ysnsnsnRR4RR2Rb 當(dāng)輸入是平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)， 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 22sssRjSbed 22nnnRjSbed 2222snsn4RR4( )js nSbedb 2/222nssn24( )bSSdb 平方律檢波器輸出端的功率譜密度平方律檢波器輸出端的功率譜密度 wSwSwSwSnSnSY口口第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)22ny( )2aEtb0422224nny( ) 38aEtba42222224ynny( ) y( )216aEtEtb

8、a時(shí)，求得的自相關(guān)函數(shù)便是輸出的均方值，即 例例1. 假設(shè)輸入是等幅正弦信號(hào)假設(shè)輸入是等幅正弦信號(hào)是常數(shù)，是常數(shù)，0s(t)=acosta002為在為在之間均勻分布的隨機(jī)變量輸入噪聲之間均勻分布的隨機(jī)變量輸入噪聲 為零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程，信號(hào)與噪聲彼此不相關(guān)。為零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程，信號(hào)與噪聲彼此不相關(guān)。試計(jì)算輸出信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。試計(jì)算輸出信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：解：第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)S120 10 2R ( ,)=Ecoscost tatat2021=cos2att 2S0Rcos2a 224221

9、20 10 2( )( )coscosE st sta Ett44440120cos2cos24848aaaatt 21tt 242nnnR2R輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)輸入信號(hào)平方的自相關(guān)函數(shù)輸入信號(hào)平方的自相關(guān)函數(shù) 輸入噪聲平方的相關(guān)函數(shù)為：輸入噪聲平方的相關(guān)函數(shù)為： 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 22222222ynnn0R2R2Rcos2abbb a420cos28a b 輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)為輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)為 2/24nnnnn2( )bSSSdb 2/222snnsn2SS2( )bSdb a 22/002S()()4nbad 222

10、2( )nb a 2222200=S ()S ()2( )2nnnbab a 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 4242ss002( )(2)(2)416a ba bS 22222/ynn2( )2nabSbSSd 22n0n0()()2baSS4200(2)(2)16a b 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)三、線性半波檢波器三、線性半波檢波器000bxxyx x t 22x2xx12xfxe設(shè)是均值為零的平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程，概率密度是22x2x0 xy( )( )2xbEtbxfx dxxedx2Xb線性檢波器輸出端的信號(hào)均值為第第6 6

11、章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)22x222222x0 xy ( )( )2xbEtb x fx dxx edx 2222xx222bb222222222xxxy1y ( )y( )1222bbbEtEt y12x1212R,;bxbx fx xdx dx 輸出端的自相關(guān)函數(shù)是線性檢波器輸出端的信號(hào)均方值為第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)( )R1( )0y(t)1( )0 x tx t若若y(t)x( ) t例例 2 2： 設(shè)設(shè)是均值為零的正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，是均值為零的正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程， 其相關(guān)函數(shù)為其相關(guān)函數(shù)為 , ,我們對(duì)我們對(duì) 構(gòu)成如下非線

12、性運(yùn)算：構(gòu)成如下非線性運(yùn)算：求求 的均值和相關(guān)函數(shù)。的均值和相關(guān)函數(shù)。x( ) ty()y( )1x()x( )0 1x()x( )0EttPttPtt 解：解：x()tx( ) t( )(0)RrR與是聯(lián)合正態(tài)的，具有相關(guān)系數(shù)第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)( )sin(0)RR22112y()y( )()22Etty2( )( )arcsin(0)RRR設(shè) ,這里 ， 容易得出： 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 拉普拉斯變換(單邊和雙邊) 非線性系統(tǒng)輸出端自相關(guān)函數(shù) 特征函數(shù)法計(jì)算線性半波檢波器輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)6.3 計(jì)算輸出信

13、號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的特征函數(shù)法計(jì)算輸出信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的特征函數(shù)法第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)一、拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換(單邊和雙邊單邊和雙邊)( )yf x( )f x( )f x dx ( )( )j xFf x edx( )F 若為某非線性系統(tǒng)的傳輸特性，函數(shù)在任意有限區(qū)間分段光滑且滿足絕對(duì)可積條件，即( )f x( )F則的傅氏變換為該非線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。存在，為在某些情況下，f(x)不滿足絕對(duì)可積條件，需要引入拉普拉斯變換來(lái)定義轉(zhuǎn)移函數(shù)。第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)1. 單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換( )xf x e(

14、)( )xj xFf x eedx0( )jxf x edx 若 x0時(shí)，f(x)=0，且 滿足絕對(duì)可積條件，則有sj0( )( )sxF sf x edx1( )( )2jsxjf xF s e dsj 令為f(x)的單邊拉氏變換，而逆拉氏變換為，有第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)2. 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換( )f x, 0 x ( )f x若在上不絕對(duì)可積，且當(dāng)時(shí)不為零 ( )0( )00f xxfxx 00( )( )0 xfxf xx ( )( )( )f xfxfx定義，即( )fx( )fx0( )( )sxF sfx edx若函數(shù) 和 的單

15、邊拉氏變換存在，且 Re sa0( )( )sxF sfx edx Re sb時(shí)收斂，在 時(shí)收斂， 在( )( )( )( )sxF sF sF sf x edx則稱為f(x)的雙邊拉普拉斯變換，收斂域?yàn)?Reasb第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)二、非線性系統(tǒng)輸出端自相關(guān)函數(shù)二、非線性系統(tǒng)輸出端自相關(guān)函數(shù)非線性系統(tǒng)輸出端的相關(guān)函數(shù)為 yRy( )y()Ett ( )()y11R( )( )22j X tj X tEFedFed( )()21( )( )4j X tj X tFdFE ed ( )()2, ;j X tj X tE eM X t是隨機(jī)過程的二維特征函

16、數(shù)。 其中第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)輸入信號(hào)為正態(tài)噪聲時(shí)，二維特征函數(shù)是 22121 2x12R2212,;sss sMs se 2x1Et x0Et 22121 2x12R2y112221R( )()2sss sDDF s dsF s edsj時(shí)，輸出端自相關(guān)函數(shù)為 1 2xRs se 1 2xkRX1 20R!ks skes sk將 展成級(jí)數(shù) 2212kX22y11122220RR( )()! 2sskkDDkF s s e dsF s s e dskj，則有：第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) y221R( )( ), ;4Fd

17、FMd yR可寫成 y1221221R( )(), ;2DDF sF s Mds dsj 如果用拉氏變換表示，則有 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)三、線性半波檢波器輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)三、線性半波檢波器輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)線性檢波器的傳輸特性是線性檢波器的傳輸特性是 ，設(shè)輸入信號(hào)，設(shè)輸入信號(hào)x(t)為零為零均值，方差為均值，方差為1的平穩(wěn)高斯白噪聲，求輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)。的平穩(wěn)高斯白噪聲，求輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)。 ,00,0bxxf xx 第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為 200( )sxsxbF sf x e

18、dxbxedxs 22121 2x12R2212,;sss sMs se輸入信號(hào)的二維特征函數(shù)為：輸入信號(hào)的二維特征函數(shù)為： 2xxxx2xRR0R1 0R0E XtrE Xt由于 22121 2 x122212,;sss s rMs se有：第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 2212x22y1122222012R! 2ksskkDDkrbbs e dss e dssskj 22122x22221122204!ksskkDDkrbse dsse dsk 222x22204!kskjkkjkrbse dsk 2x2204!kkkrbIk 輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為輸出信號(hào)

19、的自相關(guān)函數(shù)為經(jīng)過一系列變換，得到 2222222y121 !R244222 ! 21nnnrbbbbrrnn第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)6.4 準(zhǔn)正弦振蕩信號(hào)通過非線性系統(tǒng)準(zhǔn)正弦振蕩信號(hào)通過非線性系統(tǒng)一、窄帶正態(tài)隨機(jī)過程通過非線性系統(tǒng)一、窄帶正態(tài)隨機(jī)過程通過非線性系統(tǒng)問題描述：?jiǎn)栴}描述：設(shè)窄帶隨機(jī)過程為0 x( )( )cos( )tA ttt( )A t( ) t和是隨機(jī)慢變化的時(shí)間函數(shù)， ，其中y( )f x0y( )( )cos( )tfA ttt非線性系統(tǒng)的特性為上述窄帶隨機(jī)過程通過非線性系統(tǒng)后，得到 求輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非

20、線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)( )A t( ) ttAt0y ( )costtttfAt0ttt t012ycoscos2ttttttfAfAfA 001costtttfAfAd02coscosntttttfAfAnd1,2,n ,，于是令 ，便得到變量為 將隨機(jī)過程和在某一時(shí)刻t 采樣值寫成的周期性函數(shù)。該函數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)的形式表示為其中第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)012tnYIIII00tIfA0cosnnttIfAnt則 式中表示輸出端得到的低頻分量. 表示輸出端得到的高頻分量。第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)012y tnE

21、E IIII 012nE IE IE IE I0cos00nttEfAntn 00y ttEE IEfA000ttAttE fAfAfA dAAtfA( )A t輸出端隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)平均值輸出端隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)平均值 由于 所以 為非線性系統(tǒng)輸入端隨機(jī)過程包絡(luò)的一維概率分布。密度函數(shù)第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 00HIIE I 2222000E IE I2200tAttE IfAfA dA 輸出端隨機(jī)過程的方差輸出端隨機(jī)過程的方差因此其(或低頻分量)方差應(yīng)是輸出端隨機(jī)過程低頻的起伏分量是其中第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)二、窄帶正態(tài)

22、隨機(jī)過程通過線性平方律檢波器二、窄帶正態(tài)隨機(jī)過程通過線性平方律檢波器問題描述：?jiǎn)栴}描述：xcostttA平方律檢波器的特性為，作用在檢波器，在線輸入端的窄帶正態(tài)隨機(jī)過程在t時(shí)刻的狀態(tài)為 性檢波器輸出端得0( )00bxxyf xx cosy()220tttttbAf x 其它求輸出信號(hào)的均值和方差第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)H000ytttIIEfAEfA0I001costttIfAd20021coscos2tttttttAIbAdbAd tbA 000tttAttE IEfAfA fA dA由于檢波以后，我們關(guān)心的只是隨機(jī)過程的低頻起伏分量式中 為檢波器輸出端的低頻分量，因此第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)22220ttAtAttAfAeA 222020tAtttbAAE IedA2222202tAttAbbedA2b 窄帶正態(tài)噪聲包絡(luò)的一維概率密度為于是可得第第6 6章章 隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng)隨機(jī)信號(hào)通過非線性系統(tǒng) 22