第十三章 非正弦周期電流電路

1、第十二章非正弦周期電流電路和信號(hào)的頻譜121 求圖示波形的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。解：f(t) 在第一個(gè)周期()內(nèi)的表達(dá)式為 題12-1圖顯然,f(t)為奇函數(shù)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)為由于f(t)為奇函數(shù) , 所以 , 有。而 b= = = (k=1,2,3.)122 以知某信號(hào)半周期的波形如圖所示。試在下列各不同條件下畫出整個(gè)周期的波形：（1）a=0; (2) 對(duì)所有 k，b=0;（3）對(duì)所有 k，a=0;（4）a和b為零，當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí)。 解：（1）當(dāng) a=0 時(shí)，在后半個(gè)周期上，只要畫出 f(t) 的負(fù)波形與橫軸（ t軸）所圍面積與已給出的前半個(gè)周期波形所圍面積相等即可。以下題解122 圖中

2、的（b），（c）圖均滿足此條件。 題12-2圖 （a） （b） （c） 題解12-2圖（2）對(duì)所有k,b=0,f(t)應(yīng)為偶函數(shù)，即有f(t)=f(-t),波形如題解122圖（a）所示，波形對(duì)稱于縱軸。（3）對(duì)所有 k,a=0,f(t) 應(yīng)為奇函數(shù)，即f(t)= -f(-t), 波形如圖（b）所示，波形對(duì)稱于原點(diǎn)。（4）a和 b為零，當(dāng)k 為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，f(t) 稱為奇諧波函數(shù)，既 a和 b只出現(xiàn)在k為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)f(t) 滿足鏡對(duì)稱性質(zhì)，即有f(t)= -f(t+) , 波形如圖（c）所示。 注：121和122題的分析說明，周期函數(shù)含有某種對(duì)稱時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)中不含某些諧波。充分利用這些對(duì)

3、稱性，可使分解計(jì)算大為簡(jiǎn)化。需要指出的是函數(shù)的奇偶性除與函數(shù)本身有關(guān)外，還與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，因此，對(duì)某些周期函數(shù)可以適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)，使它成為奇函數(shù)或偶函數(shù)，以便簡(jiǎn)化傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)計(jì)算。123 一個(gè)RLC 串聯(lián)電路。其R=11,L=0.015H ,C=70F , 外加電壓為 u(t) = 11+141.4cos(1000t) 35.4sin(2000t)V試求電路中的電流i(t) 和電路消耗的功率。 解： RLC 串聯(lián)電路如題解123圖所示，電路中的非正弦周期電壓 u(t) 為已知，分別有直流分量，基波和二次諧波分量?？蓪懗鲭娏飨嗔康囊话惚磉_(dá)式其中 ,L =15,=14.286. 電壓分

4、量分別作用，產(chǎn)生的電流和功率分量為：（1）直流 =11V 作用時(shí)，電感L 為短路，電容 C 為開路，故，I=0 , =0 。（2） 基波 (k=1)作用時(shí)，令=100V Z= R+j(L ) =（11+j0.714）=11.023故 = =9.072A P= IR = 905.28 W（3）二次諧波 (k=2) 作用時(shí)，令=25.032V Z=R +j(2L ) =11 +j(30 14.286) =25.366故 = = 0.987A P=IR =(0.98)11 = 10.716 W所以，電路中的電流 i (t) 為 i (t) = 0 +9.072 cos (1000t 3.71) +0

5、.987 cos(2000t + 25.7) = 12.83 cos (1000t - 3.71) 1.396 sin (2000t 64.3) A電路消耗的功率P = += 905.28 +10.716 = 916 W124 電路如圖所示，電源電壓為 (t) = 50 + 100 sin ( 314t ) 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 20)V試求電流 i (t) 和電源發(fā)出的功率及電源電壓和電流的有效植。 解：設(shè)電流i (t) 第 k 次諧波的向量為(采用復(fù)振幅相量)。（1）當(dāng) k = 0 ，直流分量U= 50V 作用時(shí)，電路如題解 12-4 圖所示，有

6、Z=R +R= 60 ，故 I=A P= UI= 50= 41.667 W（2）當(dāng) k=1 ，即 =314, 基波向量 = 100V 作用時(shí)，有 Z= 10 + j3.14 += 71.267 故 = = = 1.403AP= =66.2 W （3）當(dāng) k=2 ，即 , 二次諧波向量V 作用時(shí)，有 Z故 （4）當(dāng)k=3，即，三次諧波相量作用時(shí)，有 故 所以，電流i（t）為 電源發(fā)出的平均功率為電源電壓有效值電源電流有效值125有效值為100 V 的正弦電壓加在電感 L 兩端時(shí)，得電流 I=10A ，當(dāng)電壓中有3次諧波分量，而有效值仍為100 V 時(shí)，得電流 I=8A 。試求這一電壓的基波和3次

7、諧波電壓的有效值。解：根據(jù)題意，可求得基波時(shí)的感抗為故，三次諧波時(shí)的感抗為所以，含有基波和三次諧波的電壓和電流有效值應(yīng)滿足下列關(guān)系式 代入?yún)?shù)值并整理得解之，得126 以知 RLC 串聯(lián)電路的端口電壓和電流為試求：（1）R,L,C 的值；（2）的值；（3）電路消耗的功率。 解：RLC 串聯(lián)電路如圖126圖所示，電路中的電壓 和電流 均為已知，分別含有基波和三次諧波分量。(1)由于基波的電壓和電流同相位，所以，RLC 電路在基波頻率下發(fā)生串聯(lián)諧振。故有 且 即 而三次諧波的阻抗為 的模值為解得 為故（2）三次諧波時(shí)，的阻抗角為而 則 （3） 電路消耗的功率 P 為127圖示電路各電源的電壓為 （

8、1） 試求（2） 如將 換為電流源 ，試求電壓（等為對(duì)應(yīng)電壓的有效值）。解：本題各電源電壓含有的各次諧波分量為：恒定分量和4個(gè)奇次（）諧波分量，各電壓的有效值計(jì)算如下：（1）(2)設(shè)電壓 參考方向如圖中所示，當(dāng)將 換為電流源 （其方向設(shè)為從c點(diǎn)指向d點(diǎn)）時(shí)，有各電壓有效值分別為注：本題在求解各電壓有效值中，需要先將不同電源電壓的相同頻率的時(shí)域響應(yīng)相加，再進(jìn)行各次諧波有效值的計(jì)算，最后求出所要求解的非正弦電壓的有效值。128 圖示為濾波電路，需要負(fù)載中不含基波分量，但 的諧波分量能全部傳送至負(fù)載。如求 和 解：欲使負(fù)載中不含基波分量，既在此時(shí)負(fù)載中的電流需為零，則有和 C 在 處發(fā)生并聯(lián)諧振，由

9、諧振條件得故 若要求4次（）諧波分量能全部傳送至負(fù)載端，需要此電路在 處發(fā)生串聯(lián)諧振，因而 與 C 并聯(lián)的電抗為串聯(lián)諧振時(shí)，有即 129 圖示電路中 為非正弦周期電壓，其中含有 及 的諧波分量。如果要求在輸出電壓中不含這兩個(gè)諧波分量，問 L,C 應(yīng)為多少？ 解：根據(jù)圖示結(jié)構(gòu)知，欲使輸出電壓u(t) 中不含和 的諧波分量，就要求該電路在這兩個(gè)頻率時(shí)，輸出電壓u(t) 中的3次諧波分量和7次諧波分量分別為零。若在 處 1H 電感與電容 C 發(fā)生串聯(lián)諧振，輸出電壓的3次諧波 ，由諧振條件，得若在 處 1F 電容與電感 L 發(fā)生并聯(lián)諧振，則電路中7次諧波的電流 ，電壓 ，由諧振條件，得也可將上述兩個(gè)頻

10、率處發(fā)生諧振的次序調(diào)換一下，即在處，使 L 與 C發(fā)生并聯(lián)諧振，而在 處，使 與 C 發(fā)生串聯(lián)諧振，則得 1210圖示電路中 。求圖中交流電表的讀數(shù)和 。 解： 由圖示電路可知，電流表讀數(shù)為電流的有效值即而電壓 為電壓表讀數(shù)為電壓的有效值，有1211 圖示電路中 ，電流源 。求 及 發(fā)出的功率。解：電路各響應(yīng)的求解，可以看作是電壓源的各頻率分量和電流源 單獨(dú)作用時(shí)，所得各響應(yīng)分量的疊加，具體計(jì)算如下（1）直流 單獨(dú)作用時(shí)，電感短路，電容開路，電路如題解1211圖 (a) 所示，根據(jù) KVL，有故（2）的電壓分量單獨(dú)作用時(shí)，電路如題解圖(b)所示，令 。根據(jù) KVL ，有 且 解之，得（3）電流

11、源 單獨(dú)作用時(shí)，電路如題解圖（c） 所示。令 對(duì)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)a，列出結(jié)點(diǎn)電壓方程代入?yún)?shù)值并消去，有所以，電壓 為電壓源 發(fā)出的功率為 *12-12對(duì)稱三相星形連接的發(fā)電機(jī)的A 相電壓為 ，在基波頻率下負(fù)載阻抗為，中線阻抗。試求各相電流，中線電流及負(fù)載消耗的功率。如不接中線，在求各相電流及負(fù)載消耗的功率；這時(shí)中點(diǎn)電壓 為多少？ 解：圖示電路中，對(duì)稱三相電壓源的基波構(gòu)成正序?qū)ΨQ三相電壓，5次諧波構(gòu)成負(fù)序?qū)ΨQ三相電壓，而3次諧波構(gòu)成零序?qū)ΨQ組。由于此電路是對(duì)稱三相四線制連接，對(duì)正，負(fù)序電壓分量而言，可以歸結(jié)為一相（A相）電路的計(jì)算且此時(shí)中線電流為零。令,，而則可得正序和負(fù)序?qū)ΨQ組電流 A根據(jù)對(duì)稱性可以

12、寫出 對(duì)圖示電路中的零序?qū)ΨQ組電壓（既三次諧波），令 ，而，則中性點(diǎn) 與 N 之間的電壓 為 故，零序?qū)ΨQ組電流為中線電流為所以，各相電流為而中線電流為負(fù)載消耗的功率為若不接中線，正序和負(fù)序?qū)ΨQ組的各相電流均未改變而零序?qū)ΨQ組電流為零（因?yàn)椋?，所以，最后各相電流中均無零序組電流。即上述各相電流表達(dá)式中不含3次諧波分量。 此時(shí)，負(fù)載消耗的功率為而中點(diǎn)電壓中只有零序組電壓即*12-13 如果將上題中三相電源連接成三角形并計(jì)及每相電源的阻抗。（1）試求測(cè)各相電壓的電壓表讀數(shù)，及題圖中的讀數(shù)，但三角形電源沒有插入電壓表 ；（2）打開三角形電源接入電壓表 ，如圖示，試求此時(shí)兩個(gè)電壓表的讀數(shù)。解：圖示電路，是將上題中的對(duì)稱三相電源連接成三角形電源，并考慮每相電源的阻抗，則（1） 當(dāng)三角形電源中未插入電壓表時(shí)，三角形電源構(gòu)成閉合回路，其端線電壓中將不含零序?qū)ΨQ組，而只含正序和負(fù)序?qū)ΨQ組，故電壓表的