18.2特殊的平行四邊形重難點、易錯題匯編講義

1、18.2 特殊的平行四邊形 重難點、易錯題匯編講義矩形、 菱形、正方形是三類特殊的平行四邊形， 有關(guān)性質(zhì)與判定是其重要內(nèi)容， 初學(xué)時， 不少同學(xué)會出現(xiàn)錯誤本文將分類對常見判定誤區(qū)進行剖析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考一、有關(guān)矩形判定的誤區(qū)例 1 判斷下列說法是否正確：（1）有三個角相等的四邊形是矩形；（2）對角線相等的四邊形是矩形錯解：（1）正確；（2）正確剖析：（ 1）是把矩形的判定方法記錯了，應(yīng)是 “有三個角是直角的四邊形是矩形 ”，其中 的條件是 “三個角是直角 ”而不是 “三個角相等 ”；（ 2）中錯誤地認為 “對角線相等的四邊形是矩形 ”，對矩形的判定方法理解不透徹我 們知道只有在平行四邊形中

2、加上 “對角線相等 ”的條件，得到的才是矩形正解：（ 1）錯誤；（ 2）錯誤跟蹤訓(xùn)練 1 下列說法中，錯誤的是【 】A 矩形的四個角都是直角B矩形的對角線相等C對角線垂直平分的四邊形是矩形D四個角都是直角的四邊形是矩形二、有關(guān)菱形判定的誤區(qū)例 2 已知線段 AB ，試求作兩點 C、 D，使四邊形 ADBC 是菱形錯解：在線段 AB 的垂直平分線 EF上取兩點 C、D，并且使 C、D在線段 AB 的兩側(cè)， 連接 CA、CB、DA 、 DB ，則四邊形 ADBC 是菱形剖析： 錯解錯在對菱形的判定方法理解不透 在對角線垂直的條件下， 必須說明四邊形 ADBC 是平行四邊形，才能保證四邊形 ADCB

3、 為菱形作圖過程只反映出 CD 平分 AB ，但 AB 是否平分 CD 就不一定了， 故四邊形 ADBC 不一定為平行四邊形， 也就不一定為菱形了正解：在線段 AB 的垂直平分線 EF 上取兩點 C、D，并且使 AB 平分 CD，連接 CA、CB、DA 、 DB ，則四邊形 ADBC 為菱形跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，已知在平行四邊形 ABCD 中， A 的平分線與 BC 交于點 E， B 的平分線與 AD 交于點 F， AE 與 BF 交于點 O試說明四邊形 ABEF 是菱形三、有關(guān)正方形判定的誤區(qū)例 3 判斷下列說法是否正確：（ 1）四條邊相等的四邊形是正方形；（2）兩條對角線相等且互相垂直的四邊

4、形是正方形；（3）兩條對角線分別平分一組對角的四邊形是正方形 錯解：（1）正確；（2）正確；（3）正確剖析：（ 1）雖有四條邊相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，還缺少一個條 件，這個條件是一角是直角，或其他判定既是菱形又是矩形的條件；（2）此題的錯誤是對正方形的判定方法不清楚造成的，對角線相等且互相垂直，但對 角線不一定互相平分，故不能判定它是正方形；（ 3）片面應(yīng)用了正方形的性質(zhì)，雖然正方形的每一條對角線都平分每一組對角，但反 過來就不成立了，它只能判定是菱形，還缺少一個再判斷它是矩形的條件正解：（1）錯誤；（2）錯誤；（3）錯誤跟蹤訓(xùn)練 3 下列四邊形一定是正方形的是【 】A 有

5、一個角是直角的菱形B有一個角是直角的平行四邊形C對角線相等的平行四邊形D對角線互相垂直的平行四邊形 答案1.C2理由：先得到 AEBF ，再得到四邊形 ABEF 是平行四邊形，即可得四邊形 ABEF 是菱形3A利用旋轉(zhuǎn)妙解正方形問題正方形是最特殊的四邊形，具有高度的對稱性。因此，在正方形中的線段證 明和計算等問題上， 利用旋轉(zhuǎn)變換可巧妙地拼接圖形， 使條件發(fā)生轉(zhuǎn)化并相對集 中，可達到化難為易的目的。現(xiàn)舉例如下。DF例1 如圖 正方形 ABCD 中，E、F分別是 AD、CD 邊上兩點， BF平分 EBC。求證： BE=AE+CF 。C分析：四邊形 ABCD 是正方形， AB=BC ， A= C=

6、90°， 把BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn) 90°到BAG的位置，如圖，此時 AG=CF ，只需再證 BE=GE 即可，由于 GBE=FBE=GBA，所以 GBE=ABF=BFC=G。因而 BE=GE。證明略。評注：本題將 BCF 繞點 B 進行旋轉(zhuǎn)變換，使線段 CF 與 AE 巧妙 拼接，并與 BE 組成三角表，從而利用等腰三角形的知識解題。例2 如圖 P為正方形 ABCD 內(nèi)一點， PA=1，PB=2， APB=135°，求 PC 的長。分析：由 AB=BC ， ABC=9°0 ，可將 BAP繞點 B按順P'時針方向旋轉(zhuǎn) 90°，得 BCP

7、，如圖連結(jié) PP，則 BPP是等腰直角三角 形。因為 PB=PB=，2 根據(jù)勾股定理，得 PV22 。又因為 CPB=APB=135°，PPB=45，°所以 CPP=90°，即 CPP是直角 三角形，從而 PC= （2 2 ）2+12 =3。評注：本題通過旋轉(zhuǎn)變換，將線段 PC、 P與 PP巧妙構(gòu)成直角三角形，且使已知條件相對集中，并與結(jié)論溝通起來，達到了化難為易的目的以下兩題供同學(xué)們練習(xí)：1、如圖，在正方形 ABCD 中，E、F 是 BC、CD 邊上的兩點， EAF=45°。求證： EF=BE=DF。2、如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，BC、CD

8、 邊上各角 一點E、F，若 CEF的周長為 2，求 EAF 的度數(shù)中考矩形開放題薈萃矩形是一種特殊的平行四邊形 ,也是中考的必考內(nèi)容 .為考查同學(xué)們分析能力、 想象能力、 探究能力和創(chuàng)新能力 ,矩形開放題便成了各地中考命題的熱點， 現(xiàn)僅就 2008 年中考題有關(guān)矩 形開放題精選幾例解析如下 ,供同學(xué)們鑒賞：一、條件開放型例1 如圖，在平行四邊形 ABCD中， E為BC的中點，連接 AE并延長交 DC的延長 線于點 F (1)求證： AB CF ；(2)當BC與AF 滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形 ABFC是矩形，并說明理由分析 要證 AB=CF,可通過平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定,證 ABE

9、 CFE得到;由 ABE CFE,可得 EA=EF,EB=EC,從而四邊形 ABFC 是平行四邊形 ,再根據(jù)矩形的 判定 ,要平行四邊形 ABFC 是矩形則只要對角線相等或有一角為直角,根據(jù)題設(shè) ,顯然是BC=AF.證明 (1)由平行四邊形 ABCD,得到 AB CD,則 ABE= FCE, 又 EB=EC, AEB= FEC, ABE CFE(ASA). AB=CF. (2) 當 BC = AF 時，四邊形 ABFC 是矩形 .由 ABE CFE,得到 EA=EF,EB=EC,所以四邊形 ABFC 是平行四邊形又 BC=AF, 四邊形 ABFC 是矩形 .例 2 如圖，在 ABC 中，點 O

10、 是 AC 邊上的一個動點，過點 O 作直線 MN BC，設(shè) MN 交 BCA 的角平分線于點 E，交 BCA 的外角平分線于點 F （ 1）求證： EO=FO ；（2）當點 O運動到何處時，四邊形 AECF 是矩形？并證明你的結(jié)論分析 通過角平分線和平行線的性質(zhì) ,可以推得 EO=CO,及FO=CO,從而 EO=FO； 要四邊形 AECF是矩形 ,則必是平行四邊形 ,現(xiàn)已有 EO=FO,故還需 OA=OC, 即點 O為AC 的中點 .證明（1） CE平分 BAC， 1 2，又 MNBC， 1 3， 則 3 2， EO CO 同理 FO CO, EO FO2）當點 O運動到 AC的中點時，四邊

11、形 AECF 是矩形 . EO FO ，點 O是 AC的中點即 OA=OC 四邊形 AECF是平行四邊形 .1又 1 2, 4 5, 2 4 1 180 90 ，即 ECF 90, 四邊形 AECF是矩 形2評注 條件開放型 ,是指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分,解決這類問題的基本思路是 :執(zhí)果索因逆向思維 ,從已有條件和結(jié)論入手 ,逐步分析探索結(jié)論成立的條件 ,從而 使問題得以解決 .二、結(jié)論開放型例 3 如圖，四邊形 ABCD 是矩形， E 是 AB 上一點，且 DE=AB，過 C 作 CFDE ，垂 足為 F. （1）猜想： AD 與 CF 的大小關(guān)系； （2）請證明上面的結(jié)論

12、.分析 由圖可以直觀看出 ,AD=CF; 根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定 , 可以得到 AD,CF 所在的兩個三角形 ADE FCD,從而 AD=CF.解 （ 1） AD CF （2） Q四邊形 ABCD 是矩形，AED FDC, DE AB CD又QCF DE, CFD A 90 , ADE FCD,AD CF例4如圖，在 ABC中， D是BC邊上的一點， E是AD的中點，過點 A作BC的 平行線交 BE的延長線于 F，且 AF DC ，連接CF （1）求證： D是 BC的中點；（ 2）如果 AB AC ，試猜測四邊形 ADCF 的形狀，并證明你的結(jié)論分析 要證 D 是 BC 的中點 ,即

13、 DB=DC, 現(xiàn)已有 AF=DC, 故只需 AF=DB, 所以只要證 AEF DEB;已知AFDC,又AF=DC,所以四邊形 ADCF 為平行四邊形 .如果 AB=AC,D 是 BC 的中點 ,則有 AD BC,從而得到四邊形 ADCF 為矩形 .證明 （1）Q AFBC， AFE DBE Q E是AD的中點， AE DE 又Q AEF DEB ， AEF DEB （AAS） AF DB Q AF DC ， DB DC 即 D 是 BC 的中點（ 2）四邊形 ADCF 是矩形，Q AF DC ， AF DC ， 四邊形 ADCF 是平行四邊形Q AB AC ， D 是 BC 的中點， AD

14、BC 即 ADC 90o 四邊形 ADCF 是矩形評注 結(jié)論開放型 ,是指問題的結(jié)論不確定或答案不唯一的開放型問題,解決這類問題的基本思路是 : 根據(jù)條件 ,聯(lián)想定理 ,尋求結(jié)論 .中考數(shù)學(xué) “點在特殊平行四邊形的邊上運動點在運動，同學(xué)們一點也不覺得稀奇，可點運動進中考試卷中，同學(xué)們不免有點驚奇，不僅如此， 點在特殊的平行四邊形的邊上運動， 已成為中考的一個熱點， 現(xiàn)分別舉一例說明 一、點在矩形邊上運動例 1、如圖 1，在矩形 MNPQ 中，動點 R從點 N 出發(fā)，沿 NPQM 方向運動至點M 處停止 .設(shè)點 R運動的路程為 x， MNR 的面積為 y，如果 y關(guān)于 x的函數(shù)圖象如圖 2 所

15、示，則當 x9 時，點 R 應(yīng)運動到（ ）A.N 處分析 依題意，結(jié)合圖象可知，當點 R從N運動到 P時， MNR的面積在逐漸增大，R 從 Q 運動到 M 時， MNR當點 R 從 P 運動到 Q 時， MNR 的面積始終保持不變，當點 的面積在逐漸減小，由此可以求解 .解 依題意，得當 x 4 時，點 R 應(yīng)運動到 P 處，當 x 9 時，點 R 應(yīng)運動到 Q 處 .故應(yīng) 選 C.說明 研究此類問題時，一定注意觀察圖形隨點運動的變化情況，及時捕捉有用信息 . 二、點在菱形邊上運動例 2 、如圖所示，兩個全等菱形的邊長為1 米，一個微型機器人由 A 點開始按分析 微型機器人由 A 點開始，每向

16、前行走 1 米就轉(zhuǎn)換一個菱形的頂點，由于 2009 米 可以分成 2009個 1米，即可以轉(zhuǎn)換 2009 個菱形的頂點，由此可以求解 .解 因為有兩個全等菱形，則周長和等于8 ，所以微型機器人由 A 點開始行走，每運動8米，則又回到 A 點，而 2009 ÷8 251 1，所以微型機器人由 A 點開始按 ABCDEFCGA 的 順序沿菱形的邊循環(huán)運動，行走 2009 米時則在點 B 處停下 .8 米一個循環(huán)說明 求解本題時一要注意菱形的邊長相等，二是每運動三、點在正方形邊上運動例 3、如圖，正方形 ABCD 邊長為 1，動點 P 沿正方形的邊按逆時針方向運動，當它的 運動路程為 2009時，點 P所在位置為；當點 P所在位置為 D點時，點 P 的運動路 程為（用含自然數(shù) n 的式子表示） .分析 由題意知，點 P 運動一周路程為 4，點 P 從 A點出發(fā)，當運動的路程是 2008 時，點 P恰好回到點 A，所以當運動路程為 2009時，點 P所在位置是點 B