函數(shù)的單調(diào)性與最大小值PPT課件

1、 (2) (2)單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間D D上是_或_，則稱 函數(shù)f f（x x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性， _叫做f f（x x）的單調(diào)區(qū)間. . 增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D D第1頁/共45頁2.2.函數(shù)的最值 前提前提 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y y= =f f( (x x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)M M滿足滿足 條件條件 對于任意對于任意x xI I，都有都有_； 存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 對于任意對于任意x xI I，都，都有有_；存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 結(jié)論結(jié)論 M M為最大值

2、為最大值 M M為最小值為最小值 f f（x x）M Mf f（x x0 0）= =M Mf f（x x）M Mf f（x x0 0）= =M M第2頁/共45頁基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1.1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0 0，2 2）上為增函數(shù)的是 ( )( ) A. A.y y=-=-x x+1 B.+1 B.y y= = C. C.y y= =x x2 2-4-4x x+5 D.+5 D. 解析解析 y y=-=-x x+1,+1,y y= =x x2 2-4-4x x+5, +5, 分別為一次函 數(shù)、 二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可 以看出在（0 0，2 2）上都是減函數(shù). .xy2Bxy2

3、x第3頁/共45頁2.2.已知函數(shù)y y= =f f( (x x) )是定義在R R上的增函數(shù), ,則f f( (x x)=0)=0的 根 （ ） A.A.有且只有一個(gè) B.B.有2 2個(gè) C.C.至多有一個(gè) D.D.以上均不對 解析解析 f f（x x）在R R上是增函數(shù)， 對任意x x1 1, ,x x2 2R R, ,若x x1 1 x x2 2, ,則f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),), 反之亦成立. .故若存在f f( (x x0 0)=0,)=0,則x x0 0只有一個(gè). . 若對任意x xR R都無f f( (x x)=0,)=0,則f f( (x x)=0

4、)=0無根. . C第4頁/共45頁3.3.已知f f( (x x) )為R R上的減函數(shù)，則滿足 的實(shí)數(shù)x x的取值范圍是 （ ） A.(-1,1)A.(-1,1) B.(0,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) C.(-1,0)(0,1) D. D.（-,-1)(1,+)-,-1)(1,+) 解析解析 由已知條件： 不等式等價(jià)于 解得-1-1x x1,1,且x x0. 0. ) 1 (|)1(|fxf, 1|1|x,01|xxC第5頁/共45頁4.4.函數(shù)y y=(2=(2k k+1)+1)x x+ +b b在（-，+）上是減函數(shù)，則 ( )( ) A. B. A. B. C.

5、 D. C. D. 解析解析 使y y=(2=(2k k+1)+1)x x+ +b b在（-，+）上是減函數(shù), , 則2 2k k+10+10)0； ( (x x1 1- -x x2 2)f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0)0； 其中能推出函數(shù)y y= =f f( (x x) )為增函數(shù)的命題為_._. 解析解析 依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對于，當(dāng)自變 量增大時(shí)，相對應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以可推 出函數(shù)y y= =f f（x x）為增函數(shù). . ; 0)()(2121xxxfxf. 0)()(2121xxxfxf第7頁/共45頁題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1 1】已知函數(shù)

6、證明：函數(shù)f f( (x x) )在(-1,+)(-1,+)上為增函數(shù). . （1 1）用函數(shù)單調(diào)性的定義）用函數(shù)單調(diào)性的定義. . （2 2）用導(dǎo)數(shù)法）用導(dǎo)數(shù)法. . 證明證明 方法一方法一 任取x x1 1, ,x x2 2(-1,+),(-1,+), 不妨設(shè)x x1 1 0, 0, ).1(12)(axxaxfx, 01112xxxaa且思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析第8頁/共45頁又x x1 1+10,+10,x x2 2+10,+10,于是f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)= )= 故函數(shù)f f( (x x) )在（-1,+-1,+）上為增函數(shù).

7、. , 0) 1(12112xxxxxaaaa, 0) 1)(1()( 3) 1)(1() 1)(2() 1)(2(121212122121121122xxxxxxxxxxxxxx, 01212112212xxxxaaxx第9頁/共45頁方法二方法二 求導(dǎo)數(shù)得 a a1,1,當(dāng)x x-1-1時(shí)，a ax xln ln a a0, 0, f f(x x)0)0在（-1-1，+）上恒成立，則f f( (x x) )在（-1,+-1,+）上為增函數(shù). . 對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可

8、以結(jié)合定義（基本步驟為取點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解驟為取點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解. .可導(dǎo)函可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之?dāng)?shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之. . ,) 1(3ln)( 2xaaxfx),1(131)(axaxfx, 0) 1(32x探究提高第10頁/共45頁知能遷移1 1 試討論函數(shù) x x(-1,1)(-1,1)的單 調(diào)性（其中a a00）. . 解解 方法一方法一 根據(jù)單調(diào)性的定義求解. . 設(shè)-1-1x x1 1 x x2 21, 1, -1 -1x x1 1 x x2 21,|1,|x x1 1|1,|1,|x x2 2|1,|0,0, 即-1-1x x1 1x x2 2

9、1,0.+10.,1)(2xaxxf.) 1)(1() 1)(11)()(2221211222221121xxxxxxaxaxxaxxfxf則, 1| , 01, 01212221xxxx第11頁/共45頁因此，當(dāng)a a00時(shí)，f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,即f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)a a00時(shí)，f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,即f f( (x x1 1)00時(shí)，-1-1x x1,1,即f f(x x)0,)0,此時(shí)f f（x x) )在（-1-1，1 1）上為減函數(shù)

10、. .同理，當(dāng)a a000時(shí)，f f（x x) )在（-1-1，1 1）上為減函數(shù)；a a00,-30,得x x-13,3,結(jié)合二次函數(shù)的 對稱軸直線x x=1=1知, ,在對稱軸左邊函數(shù)y y= =x x2 2- -2 2x x-3-3是 減函數(shù)，所以在區(qū)間（-，-1-1）上是減函數(shù), ,由 此可得D D項(xiàng)符合. .故選D. D. 思維啟迪D第14頁/共45頁 （1 1）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而）復(fù)合函數(shù)是指由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u u= =g g( (x x),),y y= =f f( (u u) )的單調(diào)性密切相關(guān)，其

11、單調(diào)性的規(guī)律為的單調(diào)性密切相關(guān)，其單調(diào)性的規(guī)律為“同增異減同增異減”，即即f f( (u u) )與與g g( (x x) )有相同的單調(diào)性，則有相同的單調(diào)性，則f f g g( (x x)必為增函必為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則f f g g( (x x)必為減函數(shù)必為減函數(shù). .（2 2）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：）討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：求出復(fù)合函數(shù)的定義域；求出復(fù)合函數(shù)的定義域；把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)并判斷其把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)并判斷其單調(diào)性；單調(diào)性；把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化范圍；把中間變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自

12、變量的變化范圍；根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性. . 探究提高第15頁/共45頁知能遷移2 2 函數(shù)y y= = 的遞減區(qū)間為 （ ） A.(1,+) B. A.(1,+) B. C. D. C. D. 解析解析 作出t t=2=2x x2 2-3-3x x+1+1的示意 圖如圖所示， 0 1, 0 0)0恒成立，試求實(shí) 數(shù)a a的取值范圍. . 第第(1)(1)問可先證明函數(shù)問可先證明函數(shù)f f( (x x) )在在1,+) 1,+) 上的單調(diào)性上的單調(diào)性, ,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對于第然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對于第 (2)(2)問可

13、采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)問可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f f( (x x) )在在1,+)1,+)上的最小上的最小 值大于值大于0 0的問題來解決的問題來解決. .思維啟迪,)(xaxxxf 2221第17頁/共45頁解解 設(shè)11x x1 1 x x2 2, ,則f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)= )= 11x x1 1 0,20,2x x1 1x x2 22,2,f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)0,)0,f f( (x x1 1)0)0恒成立 x x2 2+2+2x x+ +a a00恒成立. .,)(,)(221211 xxxfa時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),02112121

14、02121 xxxx.27),)(2112211xxxx 第18頁/共45頁設(shè)y y= =x x2 2+2+2x x+ +a a, ,x x1,+),1,+),則函數(shù)y y= =x x2 2+2+2x x+ +a a=(=(x x+1)+1)2 2+ +a a-1-1在區(qū)間1,+)1,+)上是增函數(shù). .當(dāng)x x=1=1時(shí)，y yminmin=3+=3+a a, ,于是當(dāng)且僅當(dāng)y yminmin=3+=3+a a00時(shí), ,函數(shù)f f( (x x)0)0恒成立，故a a-3. -3. 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運(yùn)要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運(yùn)用用,(1),(1)中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小

15、值中用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值;(2);(2)中用函中用函數(shù)的最值解決恒成立問題數(shù)的最值解決恒成立問題. .在在(2)(2)中，還可以使用分中，還可以使用分離參數(shù)法，要使離參數(shù)法，要使x x2 2+2+2x x+ +a a00在在1,+)1,+)上恒成立上恒成立, , 只要只要a a-x x2 2-2-2x x=-(=-(x x+1)+1)2 2+1+1恒成立，由二次函數(shù)恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得的性質(zhì)得-(-(x x+1)+1)2 2+1-3,+1-3,所以只要所以只要a a-3-3即可即可. . 探究提高第19頁/共45頁知能遷移3 3 已知函數(shù) ( (a a0,0,x x0), 0),

16、(1)(1)求證: :f f( (x x) )在(0,+)(0,+)上是單調(diào)遞增函數(shù); ;(2)(2)若f f( (x x) )在 上的值域是 求a a的值. .(1)(1)證明證明 設(shè)x x2 2 x x1 10,0,則x x2 2- -x x1 10,0,x x1 1x x2 20,0,f f( (x x2 2)f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在(0,+)(0,+)上是單調(diào)遞增的. .xaxf11 )(,221,221,)()()()(01111112112211212 xxxxxxxaxaxfxf第20頁/共45頁.)(,)(,)(,)()(52222121221

17、2212212 affxfxf易易得得上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在又又上上的的值值域域是是在在第21頁/共45頁題型四 函數(shù)單調(diào)性與不等式【例4 4】(12(12分) )函數(shù)f f( (x x) )對任意的a a、b bR R, ,都有f f( (a a+ +b b) ) = =f f( (a a)+)+f f( (b b)-1,)-1,并且當(dāng)x x00時(shí)，f f( (x x)1.)1. （1 1）求證：f f( (x x) )是R R上的增函數(shù)； （2 2）若f f(4)=5,(4)=5,解不等式f f(3(3m m2 2- -m m-2)3.-2)3. 問題問題(1)(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證

18、明是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明, ,所所 以要用單調(diào)性的定義以要用單調(diào)性的定義. . 問題問題(2)(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號“f f”運(yùn)運(yùn) 用單調(diào)性用單調(diào)性“去掉去掉”, ,為此需將右邊常數(shù)為此需將右邊常數(shù)3 3看成某個(gè)看成某個(gè) 變量的函數(shù)值變量的函數(shù)值. . 思維啟迪第22頁/共45頁解解 （1 1）設(shè)x x1 1, ,x x2 2R R，且x x1 1 0,0,f f( (x x2 2- -x x1 1)1. 2)1. 2分f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)=)=f f(x x2 2- -x x1 1)+)+x x1 1)-)-f f

19、( (x x1 1) )= =f f( (x x2 2- -x x1 1)+)+f f( (x x1 1)-1-)-1-f f( (x x1 1) )= =f f( (x x2 2- -x x1 1)-10. 5)-10. 5分f f（x x2 2） f f( (x x1 1).).即f f( (x x) )是R R上的增函數(shù). 6. 6分第23頁/共45頁（2 2）f f（4 4）= =f f（2+22+2）= =f f（2 2）+ +f f（2 2）-1=5-1=5， f f（2 2）=3=3， 8 8分原不等式可化為f f(3(3m m2 2- -m m-2)-2)f f(2),(2),

20、f f( (x x) )是R R上的增函數(shù)，3 3m m2 2- -m m-22, 10-22, 10分解得-1-1m m , ,故解集為 1212分 f f( (x x) )在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）在定義域上（或某一單調(diào)區(qū)間上）具有單調(diào)性，則具有單調(diào)性，則f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) ) f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,若函數(shù)是若函數(shù)是增函數(shù)增函數(shù), ,則則f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) ) x x1 1 11時(shí)，f f( (x x)0.)0. （1 1）求f f(1)(1)的值； （2 2）判斷f f(

21、 (x x）的單調(diào)性； （3 3）若f f(3)=-1,(3)=-1,解不等式f f(|(|x x|)-2.|)0,0, 代入得f f(1)=(1)=f f( (x x1 1)-)-f f( (x x1 1)=0,)=0,故f f(1)=0. (1)=0. )(21xxf第25頁/共45頁（2 2）任取x x1 1, ,x x2 2(0,+)(0,+)，且x x1 1 x x2 2, ,則 由于當(dāng)x x11時(shí)，f f( (x x)0,)0,所以 即f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,因此f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),所以函數(shù)f f(

22、(x x) )在區(qū)間(0,+)(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù). .（3 3）由 = =f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2) )得 = =f f(9)-(9)-f f(3),(3),而f f(3)=-1,(3)=-1,所以f f(9)=-2.(9)=-2.由于函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間（0,+0,+）上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f f(|(|x x|)|)9,|9,x x99或x x-9.99或x x-9. -9. , 121xx, 0)(21xxf)(21xxf)39(f第26頁/共45頁1.1.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明（判定）函數(shù)f f( (x x) ) 在其區(qū)間上的單

23、調(diào)性，其步驟是 （1 1）設(shè)x x1 1、x x2 2是該區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且x x1 1x x2 2； （2 2）作差f f（x x1 1）- -f f（x x2 2），然后變形； （3 3）判定f f（x x1 1）- -f f（x x2 2）的符號； （4 4）根據(jù)定義作出結(jié)論. .方法與技巧方法與技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高第27頁/共45頁2.2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其 定義域的子集; ;其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本 初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .常用方法有：根據(jù)定義，利用 圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì). .3.3.復(fù)合

24、函數(shù)的單調(diào)性 對于復(fù)合函數(shù)y y= =f f g g( (x x),),若t t= =g g( (x x) )在區(qū)間( (a a, ,b b) )上是 單調(diào)函數(shù), ,且y y= =f f( (t t) )在區(qū)間( (g g( (a a),),g g( (b b)或者( (g g( (b b),), g g( (a a)上是單調(diào)函數(shù), ,若t t= =g g( (x x) )與y y= =f f( (t t) )的單調(diào)性相同 ( (同時(shí)為增或減),),則y y= =f f g g( (x x)為增函數(shù); ;若t t= =g g( (x x) )與 y y= =f f( (t t) )的單調(diào)性相反

25、, ,則y y= =f f g g( (x x)為減函數(shù). . 簡稱為: :同增異減. . 第28頁/共45頁1.1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上 單調(diào)遞增或單調(diào)遞減. .單調(diào)區(qū)間要分開寫, ,即使在兩 個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同, ,也不能用并集表示. .2.2.兩函數(shù)f f( (x x) )、g g( (x x) )在x x(a a, ,b b) )上都是增( (減) )函數(shù), ,則 f f( (x x)+)+g g( (x x) )也為增( (減) )函數(shù), ,但f f( (x x)g g( (x x), ), 等的 單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比. . 失誤與防范失誤與防

26、范)(1xf第29頁/共45頁一、選擇題1.1.若函數(shù)y y= =axax與 在(0,+)(0,+)上都是減函數(shù)， 則y y= =axax2 2+ +bxbx在（0 0，+）上是 （ ） A.A.增函數(shù) B.B.減函數(shù) C.C.先增后減 D.D.先減后增 解析解析 y y= =axax與 在(0,+)(0,+)上都是減函數(shù), , a a0,0,b b000且a a11）是R R上 的減函數(shù)，則a a的取值范圍是 ( ) ( ) A. A.（0 0，1 1） B. B. C. D. C. D. 解析解析 據(jù)單調(diào)性定義，f f（x x）為減函數(shù)應(yīng)滿足：0, 0,3)(xaxaxxfx) 1 ,31

27、31, 0(32, 0(.,1313100 aaaa即即B第31頁/共45頁3.3.下列四個(gè)函數(shù)中, ,在(0,1)(0,1)上為增函數(shù)的是 ( ) ( ) A. A.y y=sin =sin x x B.B.y y=-log=-log2 2x x C. C. D. D. 解析解析 y y=sin =sin x x在 上是增函數(shù)， y y=sin =sin x x在（0 0，1 1）上是增函數(shù). . xy)21(21 xy,22 A第32頁/共45頁4.4.( (天津理，8)8)已知函數(shù) 若f f(2-(2-a a2 2)f f( (a a) )，則實(shí)數(shù)a a 的取值范圍是 （ ） A.A.（

28、-,-1-,-1）(2,+) B.(-1,2)(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) C.(-2,1) D.(-,-2)(1,+) 解析解析 由f f( (x x) )的圖象 可知f f( (x x) )在(-,+)(-,+)上是單調(diào)遞增函數(shù), ,由f f(2-(2-a a2 2) f f( (a a) )得2-2-a a2 2 a a, ,即a a2 2+ +a a-20,-20,解得-2-2a a1. 1,e1,函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)減區(qū)間為 23,(),2323, 1()4 ,23425)23(2x),4 ,23).4 ,23D第35頁/共

29、45頁二、填空題7.7.若函數(shù)f f( (x x)=()=(m m-1)-1)x x2 2+ +mxmx+3 (+3 (x xR R) )是偶函數(shù)，則 f f( (x x) )的單調(diào)減區(qū)間是_._. 解析解析 f f（x x）是偶函數(shù)，f f（- -x x）= =f f（x x）， ( (m m-1)-1)x x2 2- -mxmx+3=(+3=(m m-1)-1)x x2 2+ +mxmx+3+3， m m=0.=0.這時(shí)f f( (x x)=-)=-x x2 2+3+3， 單調(diào)減區(qū)間為00，+). +). 0,+)0,+)第36頁/共45頁8.8.若函數(shù) 在區(qū)間( (m m，2 2m m+

30、1)+1)上是單調(diào)遞 增函數(shù)，則m m_._. 解析解析 令f f(x x)0,)0,得-1-1x x1, +1m m,m m-1.-1. 綜上，-1-1m m0. 0. 142 xxxf)(,) 1()1 (4)( 222xxxf.,011121 mmm(-1,0(-1,0第37頁/共45頁9.9.已知定義域?yàn)镈 D 的函數(shù)f f( (x x) )，對任意x xD D, ,存在正 數(shù)K K，都有| |f f( (x x)|)|K K成立，則稱函數(shù)f f( (x x) )是D D上的 “有界函數(shù)”. .已知下列函數(shù): :f f( (x x)=2sin )=2sin x x; ; f f( (x x)= )= f f( (x x)=1-2)=1-2x x; ; 其中 是“有界函數(shù)”的是_._.（寫出所有滿足要求 的函數(shù)的序號） ,1)(2xxxf;12x第38頁/共45頁解析解析 中| |f f（x x）|=|2sin |=|2sin x x|2,|2,中| |f f（x x）|1;|1;當(dāng)x x=0=0時(shí)，f f( (x x)=0)=0，總