中考數(shù)學(xué)求最短距離總結(jié)含答案

1、2012年初中數(shù)學(xué)求最短距離 一、填空題（共6小題）1、邊長為2的正方形的頂點a到其內(nèi)切圓周上的最遠距離是_，最短距離是_2、已知點p到o上的點的最短距離為3cm，最長距離為5cm，則o的半徑為_cm3、（2011廣安）如圖所示，若o 的半徑為13cm，點p是弦ab上一動點，且到圓心的最短距離為5cm，則弦ab的長為_4、如圖，圓錐的底面半徑為ob=3，母線sb=9，d為sb上一點，且sd=，則點a沿圓錐表面到d點的最短距離為_ 5、如圖，p為半圓直徑ab上一動點，c為半圓中點，d為弧ac的三等分點，若ab=2，則pc+pd的最短距離為_6、如圖，牧童在a處放牛，其家在b處，a、b到河岸的距離

2、分別為ac和bd，且ac=bd，若點a到河岸cd的中點的距離為500米，則牧童從a處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是_米二、解答題（共4小題）7、正方體盒子的棱長為2，bc的中點為m，一只螞蟻從a點爬行到m點的最短距離為多少？8、己知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，c為母線pb的中點，求從a到c在圓錐的側(cè)面上的最短距離9、已知如圖，圓錐的底面半徑為3cm，母線長為9cm，c是母線pb中點且在圓錐的側(cè)面上，求從a到c的最短距離為多少厘米？10、如圖，正方形abcd，ab邊上有一點e，ae=3，eb=1，在ac上有一點p，使ep+bp為最短求：最短距離ep+bp三、選擇題（共4小題）1

3、1、如圖，在底面周長為12，高為8的圓柱體上有a、b兩點，則a、b兩點的最短距離為（）a、4b、8c、10d、512、（2003貴陽）如圖，圓柱的軸截面abcd是邊長為4的正方形，動點p從a點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到bc的中點s的最短距離為（）a、b、c、d、13、如圖，已知圓錐的母線長oa=6，底面圓的半徑為2，一小蟲在圓錐底面的點a處繞圓錐側(cè)面一周又回到點a處則小蟲所走的最短距離為（）a、12b、4c、d、14、如圖，牧童在a處放牛，其家在b處，a、b到河岸的距離分別為ac和bd，且ac=bd，若點a到河岸cd的中點的距離為500米，則牧童從a處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是（）a、

4、750米b、1000米c、1500米d、2000米用軸對稱求最短距離最值問題，也就是最大值和最小值問題，這類問題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣，本文舉例介紹一些常見的求解方法，供讀者參考。例1. （2007湖北潛江）如圖，小河邊有兩個村莊、要在河邊建一自來水廠向村與村供水（）若要使廠部到、村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？（）若要使廠部到、村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？分析（）到、兩點距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”（）要使廠部到村、村的距離和最短，可聯(lián)想到“兩點之間線段最短”解：（）如圖，取線段的中點，過中點畫的垂線，交與，則到、的距離

5、相等（）如圖，畫出點關(guān)于河岸的對稱點，連結(jié)交于，則到的距離和最短點評：如果我們注意一下，在我們的生活中有很多都利用了軸對稱，如果平時多觀察、多思考，就會發(fā)現(xiàn)軸對稱還可以幫助我們解決問題.例2. 如圖3，兩條公路oa、ob相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設(shè)為點p，如在兩條公路上各設(shè)置一個加油站，請你設(shè)計一個方案，把兩個加油站設(shè)在何處，可使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.分析 這是一個實際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，oa與ob相交，點p在aob內(nèi)部，通常我們會想到軸對稱，分別做點p關(guān)于直線oa和o

6、b的對稱點p1、p2 ,連結(jié)p1p2分別交oa、ob于c、d，c、d兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關(guān)系進行說明.    解：分別做點p關(guān)于直線oa和ob的對稱點p1、p2,連結(jié)p1p2分別交oa、ob于c、d，則c、d就是建加油站的位置.若取異于c、d兩點的點，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在c、d兩點建加油站運油車所走的路程最短. 點評：在這里沒有詳細說明為什么在c、d兩點建加油站運油車所走的路程最短，請同學(xué)們思考弄明白。例3. （2007湖北荊門）要在河邊修建一個水泵站，分別向a、b兩村送水，水泵站應(yīng)修建

7、在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？分析 要解決這個問題，找出點a關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交直線于點p，則點p就是到a、b兩村莊的距離之和最短的點的位置。理由 根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知如果另外任選一點（異于p），連結(jié)在中，即因此，為最短由此可見，軸對稱幫我們找到了符合要求的點的位置。點評：該問題的解決為我們提供了一種解題的思路和線索，觸類旁通，由此產(chǎn)生了一系列問題的解題思路。使學(xué)生在操作活動的過程中感受知識的自然呈現(xiàn)，體驗數(shù)學(xué)的神秘與樂趣。最短距離中的數(shù)形結(jié)合淺談恩施州2008年數(shù)學(xué)中考第二十題本題在最短矩離一問題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合考查學(xué)生幾何、代數(shù)知識的運用能力。從交流的方式上來看，

8、第一問讓學(xué)生利用形的特點將特殊的代數(shù)式的求值與形結(jié)合起來，先用引導(dǎo)形式的探究得出規(guī)律，然后利用幾何知識“兩點之間，線段最短”來求出代數(shù)式的最小值。整個過程充分顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的一般過程：認知論證應(yīng)用。是一個成功的數(shù)學(xué)交流例子。第一小問設(shè)計是讓學(xué)生熟悉這一個特殊代數(shù)式與圖形之間的關(guān)系，找出“形”中包含的“式”，要有一定的觀察能力和聯(lián)想能力；第二小問設(shè)計的是一個探究過程，在“形、式”已經(jīng)具備的情況下，讓學(xué)生綜合學(xué)習(xí)過的基本數(shù)學(xué)知識進行探索，是對學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的考查，要求學(xué)生具備自主學(xué)習(xí)的能力。第三小問的設(shè)計主要是將所探究的結(jié)論進行運用，拓展。整個過程體現(xiàn)了特殊問題中的一般規(guī)律，是數(shù)學(xué)知識和問題

9、解決方法的一種自然回歸。例題如下：如圖,c為線段bd上一動點,分別過點b、d作abbd,edbd,連接ac、ec.已知ab=5,de=1,bd=8,設(shè)cd=x.(1)用含x的代數(shù)式表示acce的長；(2)請問點c滿足什么條件時,acce的值最小? 答案與評分標(biāo)準一、填空題（共6小題）1、邊長為2的正方形的頂點a到其內(nèi)切圓周上的最遠距離是+1，最短距離是1考點：正多邊形和圓。專題：存在型。分析：根據(jù)題意畫出圖形，由正方形的性質(zhì)可知，正方形的對角線ac必過o的圓心，故頂點a到其內(nèi)切圓周上的最遠距離為af，最短距離是ae，過o作ogag，由正方形的性質(zhì)可求出oa及og的長，進而可求出頂點a

10、到其內(nèi)切圓周上的最遠距離與最短距離解答：解：如圖所示，過o作ogag，ad=2，ag=og=1，oa=，ae=oaoe=1，af=oa+of=+1，頂點a到其內(nèi)切圓周上的最遠距離是+1，最短距離是1故答案為：+1，1點評：本題考查的是正多邊形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵2、已知點p到o上的點的最短距離為3cm，最長距離為5cm，則o的半徑為1或4cm考點：點與圓的位置關(guān)系。專題：計算題。分析：分兩種情況進行討論：點p在圓內(nèi)；點p在圓外，進行計算即可解答：解：點p在圓內(nèi)；如圖，ap=3cm，bp=5cm，ab=8cm，oa=4cm；點p在圓外；如圖，ap=3

11、cm，bp=5cm，ab=2cm，oa=1cm故答案為：1或4點評：本題考查了點和圓的位置關(guān)系，分類討論是解此題的關(guān)鍵3、（2011廣安）如圖所示，若o 的半徑為13cm，點p是弦ab上一動點，且到圓心的最短距離為5cm，則弦ab的長為24cm考點：垂徑定理；勾股定理。專題：計算題。分析：過o點作ocab于c，連oa，根據(jù)垂線段最短得到oc=5cm，根據(jù)垂徑定理得到ac=bc，再利用勾股定理計算出ac，即可得到ab解答：解：過o點作ocab于c，連oa，如圖，oc=5cm，ac=bc，在rtoac中，oa=13cm，ac=12（cm），ab=2ac=24cm故答案為：24cm點評：本題考查了垂

12、徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧也考查了勾股定理4、如圖，圓錐的底面半徑為ob=3，母線sb=9，d為sb上一點，且sd=，則點a沿圓錐表面到d點的最短距離為3cm考點：平面展開-最短路徑問題；圓錐的計算。專題：計算題。分析：最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題需先算出圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑看如何構(gòu)成一個直角三角形，然后根據(jù)勾股定理進行計算解答：解：圓錐的底面周長是6，則6=n=120°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120度asd=60°，則在圓錐側(cè)面展開圖中as=9，sd=3，aes=90度ae=assin60&

13、#176;=，sd=ascos60°=，ed=esds=，在圓錐側(cè)面展開圖中ad=3cm點a沿圓錐表面到d點的最短距離為3cm故答案為：3cm點評：本題考查了平面展開最短路徑問題，需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題5、如圖，p為半圓直徑ab上一動點，c為半圓中點，d為弧ac的三等分點，若ab=2，則pc+pd的最短距離為考點：軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系。專題：動點型。分析：要求pc+pd的最小值，應(yīng)先確定點p的位置作點c關(guān)于ab的對稱點e，連接de交ab于點p，則p即是所求作的點，且pc+pd=de根據(jù)作法知：ce是直徑，弧

14、cd的度數(shù)是30°，即ced=30°，根據(jù)三角函數(shù)即可求出pc+pd的最小值解答：解：設(shè)點c關(guān)于ab的對稱點為e，連接de交ab于p，則此時pc+pd的值最小，且pc+pd=pe+pd=pe連接oc、oe；c為半圓中點，d為弧ac的三等分點，弧cd的度數(shù)為30°，cde=90°；ab=2，ce=2；de=eccosced=，即pc+pd的最小值為 故答案為：點評：此題主要考查了軸對稱最短路線問題，難點是確定點p的位置：找點c或點d關(guān)于ab的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和ab的交點p就是所求作的位置再根據(jù)弧的度數(shù)和圓心角的度數(shù)相等發(fā)現(xiàn)一個含30

15、°角的直角三角形6、如圖，牧童在a處放牛，其家在b處，a、b到河岸的距離分別為ac和bd，且ac=bd，若點a到河岸cd的中點的距離為500米，則牧童從a處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是1000米考點：軸對稱-最短路線問題。分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和“兩點之間線段最短”，連接ab，得到最短距離為ab，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和a到河岸cd的中點的距離為500米，即可求出a'b的值解答：解：作出a的對稱點a，連接ab與cd相交于m，則牧童從a處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是ab的長易得acmbdm，ac=bd，所以ac=bd，則=，所以cm=dm，m為cd的中點，由于a到河

16、岸cd的中點的距離為500米，所以a到m的距離為500米，ab=1000米故最短距離是1000米點評：此題考查了軸對稱的性質(zhì)和“兩點之間線段最短”，解答時要注意應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)二、解答題（共4小題）7、正方體盒子的棱長為2，bc的中點為m，一只螞蟻從a點爬行到m點的最短距離為多少？考點：平面展開-最短路徑問題。分析：將正方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，可以求出螞蟻所走的最短路程解答：解：將正方體展開，連接a、m，根據(jù)兩點之間線段最短，am=答：螞蟻從a點爬行到m點的最短距離為點評：本題是一道趣味題，將正方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可8、己知圓錐的底面半徑是4cm，母線

17、長為12cm，c為母線pb的中點，求從a到c在圓錐的側(cè)面上的最短距離考點：圓錐的計算；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；勾股定理；弧長的計算。專題：計算題。分析：最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題需先算出圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑看如何構(gòu)成一個直角三角形，然后根據(jù)勾股定理進行計算解答：解：圓錐的底面周長是8，則8=，n=120°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120度apb=60°，pa=pb，pab是等邊三角形，c是pb中點，acpb，acp=90度在圓錐側(cè)面展開圖中ap=12，pc=6，在圓錐側(cè)面展開圖中ac=6cm最短距離是6cm點

18、評：本題考查了圓錐的計算，需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題9、已知如圖，圓錐的底面半徑為3cm，母線長為9cm，c是母線pb中點且在圓錐的側(cè)面上，求從a到c的最短距離為多少厘米？考點：圓錐的計算；平面展開-最短路徑問題。分析：最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題需先算出圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑看如何構(gòu)成一個直角三角形，然后根據(jù)勾股定理進行計算解答：解：圓錐的底面周長是6，則6=，n=120°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120度apb=60°，pa=pb，pab是等邊三角形，c是pb中點，acpb，acp=

19、90度在圓錐側(cè)面展開圖中ap=9，pc=4.5，在圓錐側(cè)面展開圖中ac=cm最短距離是cm點評：本題需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題10、如圖，正方形abcd，ab邊上有一點e，ae=3，eb=1，在ac上有一點p，使ep+bp為最短求：最短距離ep+bp考點：平面展開-最短路徑問題。分析：根據(jù)正方形沿對角線的對稱性，可得無論p在什么位置，都有pd=pb；故均有ep+bp=pe+pd成立；所以原題可以轉(zhuǎn)化為求pe+pd的最小值問題，分析易得連接de與ac，求得交點就是要求的點的位置；進而可得ep+bp=de=5，可得答案解答：解：由正方形的對角線互相垂直平分，可得無論

20、p在什么位置，都有pd=pb；故均有ep+bp=pe+pd成立；連接de與ac，所得的交點，即為ep+bp的最小值時的位置，此時ep+bp=de=5點評：主要考查了正方形中的最小值問題解決此類問題關(guān)鍵是利用圖形的軸對稱性把所求的兩條線段和轉(zhuǎn)化為一條線段的長度，通常是以動點所在的直線作為對稱軸作所求線段中一條線段的對稱圖形來轉(zhuǎn)化關(guān)系三、選擇題（共4小題）11、如圖，在底面周長為12，高為8的圓柱體上有a、b兩點，則a、b兩點的最短距離為（）a、4b、8c、10d、5考點：平面展開-最短路徑問題。分析：要求a、b兩點間的最短距離，必須展開到一個平面內(nèi)只需展開圓柱的半個側(cè)面，然后利用兩點之間線段最短

21、解答解答：解：展開圓柱的半個側(cè)面，得到一個矩形：矩形的長是圓柱底面周長的一半是6，矩形的寬是圓柱的高是8再根據(jù)勾股定理求得矩形的對角線是10即a、b兩點間的最短距離是10故選c點評：要求不在同一個平面內(nèi)的兩點間的最短距離，必須把它們展開到一個平面內(nèi)再進行計算12、（2003貴陽）如圖，圓柱的軸截面abcd是邊長為4的正方形，動點p從a點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到bc的中點s的最短距離為（）a、b、c、d、考點：平面展開-最短路徑問題；圓柱的計算。專題：動點型。分析：要求動點p從a點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到bc的中點s的最短距離，就要先把側(cè)面積展開，得到一個矩形，然后再利用兩點間線段最短，線段的距離解答：解：展開后矩形的長為=2，高為2，所以利用勾股定理可得最短距離為，即2故選a點評：本題的關(guān)鍵是明確，要求最短距離，就要先展開圓柱的側(cè)面積，而且要注意展開后的矩形的長為周長的一半，而不是周長13、