極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、2011屆高二數(shù)學(xué)期末備考專題極坐標(biāo)與參數(shù)方程1. 求點(diǎn)的極坐標(biāo)：有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑，叫極角；極坐標(biāo)：m是平面上一點(diǎn)，表示om的長(zhǎng)度，是，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑，叫極角；一般地，。例1.（1）點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為 （c）a b c d 提示：都是點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,在的要求下,它的極坐標(biāo)為 提示：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， ，（3）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則在相應(yīng)的極坐標(biāo)系中它的極坐標(biāo)可以是（c）a. b c d2.常見(jiàn)的曲線的極坐標(biāo)方程（1）直線過(guò)點(diǎn)m,傾斜角為常見(jiàn)的等量關(guān)系：正弦定理，；（2）圓心p半徑為r的極坐標(biāo)方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理；（3）圓錐曲線極

2、坐標(biāo)：，；提醒：極點(diǎn)是焦點(diǎn)，一般不是直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)原點(diǎn)。例2.（1）極坐標(biāo)方程表示的曲線是 . 雙曲線 提示：等價(jià)于，.（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.解：對(duì)此拋物線有，所以拋物線的極坐標(biāo)方程為，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和， ， .線段的長(zhǎng)度為.（3）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求的值.解：拋物線中，.在以拋物線的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸的極坐標(biāo)系中，拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則， 的值為.3.參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)：消去參數(shù) （1）圓的參數(shù)方程： （2）橢圓的參數(shù)方程：（3）直線過(guò)點(diǎn)m,傾斜角為的參數(shù)方程：即，即注：，

3、根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，t的幾何意義是有向線段的數(shù)量； 例3已知過(guò)點(diǎn)的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)，則最小值為 提示：設(shè)傾斜角為，則或=，則，令，所以，注意：本題可以取傾斜角的補(bǔ)角為。例4. （1）直線為參數(shù)被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi). 提示：直線為，圓心到直線的距離（2）過(guò)點(diǎn)p（3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于a、b兩點(diǎn)求線段ab的長(zhǎng)解： 直線的參數(shù)方程為，3分曲線可以化為5分將直線的參數(shù)方程代入上式，得設(shè)a、b對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，8分ab10分 （3）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程;設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積.解 （1）直線的參數(shù)方程為，即5分 （

4、2）把直線代入，得，則點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積為10分4極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式 或 ，的象限由點(diǎn)(x,y)所在象限確定.（1）它們互化的條件則是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合. （2）將點(diǎn)變成直角坐標(biāo)，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。 例5. 已知拋物線，以焦點(diǎn)f為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求拋物線的極坐標(biāo)方程。 錯(cuò)解：設(shè)代入，得，即。錯(cuò)因分析：運(yùn)用互化公式必須滿足：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合。本題極點(diǎn)是焦點(diǎn)（1，0）不是坐標(biāo)原點(diǎn)，因此所得到的極坐標(biāo)方程不是我們要求的方程。正確解法：設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)m向x軸作垂線mn， 中，。根據(jù)拋物線定義得， ，即。例6. 已知曲線c的極坐

5、標(biāo)方程是以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是：，求直線l與曲線c相交所成的弦的弦長(zhǎng)解：曲線c的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為x2y24x=0，即（x2）2y2=4 -2分直線l的參數(shù)方程，化為普通方程為xy1=0，-4分曲線c的圓心（2，0）到直線l的距離為 -6分所以直線l與曲線c相交所成的弦的弦長(zhǎng)= -10分例7. 已知橢圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)，為其左，右焦點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為()求直線和曲線的普通方程；()求點(diǎn)，到直線的距離之和.解: () 直線普通方程為； 2分曲線的普通方程為 4分() ,，點(diǎn)到直線的距離 6分點(diǎn)到直線的距離 8分 1

6、0分5.曲線的極坐標(biāo)方程 (1)求曲線軌跡的方程步驟： （1）建立坐標(biāo)系；（2）在曲線上取一點(diǎn)p；（3）寫出等式；（4）根據(jù)幾何意義用表示上述等式，并化簡(jiǎn)（注意：）；（5）驗(yàn)證。 注意：常見(jiàn)的技巧（1）直接法；（2）定義法；（3）坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法（利用幾何意義）(2)求軌跡方程的常用方法：直接法：直接通過(guò)建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡最基本的方法.待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回方程代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足某已知曲線定義,則可由曲線定義直接寫出方程.交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可

7、考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.例8. 已知圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)點(diǎn)的圓的切線的極坐標(biāo)方程。錯(cuò)解：由得，圓心，。因?yàn)榘霃絚p垂直切線，所以切線的傾斜角為，切線方程是。設(shè)是過(guò)點(diǎn)的圓的切線上的任一點(diǎn)，再設(shè)代入，得，即。錯(cuò)因分析：上述解法是想先求出切線的直角方程，得到直角坐標(biāo)方程之后，再將直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，想法是很好的。但是問(wèn)題是它忽視了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化的一個(gè)必要條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合。也就是說(shuō)切線方程是以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系內(nèi)的極坐標(biāo)方程。這與題中要

8、求“以圓心為極點(diǎn)”相悖。如右圖在中，有，即為所求切線的極坐標(biāo)方程例9. 極點(diǎn)作直線與另一直線相交于點(diǎn),在上取一點(diǎn),使.()求點(diǎn)的軌跡方程；()設(shè)為上的任意一點(diǎn),試求的最小值解析：()設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為,m的坐標(biāo)為,則即為所求軌跡方程.()由()知p的軌跡是以()為圓心，半徑為的圓，易得rp的最小值為1.點(diǎn)評(píng)：求軌跡的極坐標(biāo)方程首先要設(shè)坐標(biāo)，然后要找等量關(guān)系，如，從而建立極坐標(biāo)方程。不過(guò)從到，顯然需要對(duì)極徑的幾何意義的足夠認(rèn)識(shí)。7.參數(shù)方程的應(yīng)用例10在橢圓上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線的距離的最小值.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為， 當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)所求點(diǎn)為.例11 某曲線的極坐標(biāo)方程為。（1）將上述曲線方程華

9、為普通方程；（2）若點(diǎn)是該曲線上任意點(diǎn)，求的取值范圍。錯(cuò)解：（1）因?yàn)?且 ，所以（2）點(diǎn)是圓上任意點(diǎn)，設(shè)，=，的取值范圍。錯(cuò)因分析：本題第二問(wèn)中點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，上述解法似乎是要將直角坐標(biāo)改成極坐標(biāo)，并且極點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)也重合，把直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式直接錯(cuò)誤地當(dāng)成參數(shù)方程使用，得到=，從而轉(zhuǎn)化成三角最值問(wèn)題。這種方法實(shí)質(zhì)上是在直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)用圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元，進(jìn)而求最值的方法，但是圓上點(diǎn)到極點(diǎn)距離是變量，不是圓的半徑2，因?yàn)閳A心不在極點(diǎn)上。也就是說(shuō)點(diǎn)的坐標(biāo)既滿足但沒(méi)有用，又可以設(shè)為。=2+，的取值范圍。例12.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)f1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)m、n，設(shè),當(dāng)為何值時(shí)，mn與橢圓短軸長(zhǎng)相等？解法一：以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長(zhǎng)軸所在直線為極軸建立極坐標(biāo)系這里:a=3,c=,所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：設(shè)m點(diǎn)的極坐標(biāo)為，n點(diǎn)的極坐標(biāo)為，解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點(diǎn)為，直線mn的參數(shù)方程為：，將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：，設(shè)m、n對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)極坐標(biāo)中的極徑表示點(diǎn)p到極點(diǎn)的距離，解法一中焦徑的長(zhǎng)相當(dāng)于；參數(shù)方程中參數(shù)實(shí)質(zhì)上是動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，如解法二