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1、 巧 用 投 影 出 奇 制 勝 向量數(shù)量積幾何意義的運用江西省崇義中學 胡述洪 (341300)向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的模與b在a方向上投影|b|的乘積。向量“投影”的概念：|b|叫做向量b在a方向上的投影. 投影是一個數(shù)量，不是向量：當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0°時投影為 |b|；當= 180°時投影為 -|b|。向量的“投影”是高中數(shù)學學習中容易忽視的一個內容，多數(shù)同學只是在空間向量求距離時，證明點到直線的距離公式才“一睹芳容”，后面又消失得無影無蹤。實際上，向量“投影”具有獨特的魅力，下面我們

2、通過例題來體會向量“投影”的神奇。例一 中，是邊上的高，求?！痉治觥勘绢}若用普通方法求出、的模及夾角，再求數(shù)量積，運算量較大，也容易出錯。如果向量數(shù)量積的幾何意義，巧用向量“投影”就能快速求解。解：易求=2， 由向量數(shù)量積的幾何意義知：等于在上的投影與的乘積。 在上的投影就是 =2= 4【小結】投影的形式有兩種，注意合理選擇。本題如選擇在上的投影進行計算則顯然復雜。例二等腰三角形中，是的中點，點在的內部或邊界上運動，求的范圍?！痉治觥勘绢}的常規(guī)方法是建立平面直角坐標系，設，建立線性約束條件及線性目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識求解。思路跳躍性較大，不易掌握。下面用向量“投影”巧妙求解。解： 是確定

3、的， 只需求出在上的投影的范圍。 由向量“投影”的意義知： 當點與點重合時， ， （）= 0 當點與點重合時，在上的投影就是， 注意到此時與的夾角為鈍角,（）= 綜上， 【小結】運用投影解題，要注意：1、 數(shù)形結合。要結合圖形尋找向量之間的關系，確定向量的投影。2、 投影有正負，要根據(jù)向量的夾角正確選定符號，避免出錯。例三平行四邊形中,垂足為且=3, 則=_ (2012年湖南卷（文科）15)【分析】本題若試圖通過用數(shù)量積的定義直接求解是徒勞的，因為的模及，都求不出。注意到，所以可以考慮將分解成，再轉化成、在上的投影進行計算。解： = =()=+ 在上的投影就是=9. 同理=9故 = 18【小結】當題目條件中出現(xiàn)垂直的直線時，我們可以考慮通過轉化，利用投影解題，往往能起到事半功倍的效果。在空間向量證明點到直線的距離公式，也是用到這種方法。通過以上例題，我們加深了對向量“投影”的理解，在涉

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