論述向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用l

1、論述向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用高中新教材新增了平面向量的內(nèi)容并作為獨(dú)立的章節(jié)來(lái)學(xué)習(xí)后，就成為高考的一個(gè)新內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)。平面向量在圖象平移、定比分點(diǎn)、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何中應(yīng)用都很廣泛，下面筆者就此進(jìn)行探討。向量的引入為在高中數(shù)學(xué)貫徹“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)理念提供一種嶄新的方法。向量具有很好的“數(shù)形結(jié)合”特性。它是聯(lián)系代數(shù)關(guān)系與幾何圖形的最佳紐帶。它可以使圖形量化，使圖形間的關(guān)系代數(shù)化。向量的應(yīng)用1. 利用向量證明等式對(duì)于某些恒等式證明，形式中含有或符合向量的坐標(biāo)運(yùn)算形式，可運(yùn)用向量的數(shù)量積定義和向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明。例1. 已知、是任意角，求證：。證明：在

2、單位圓上，以x軸為始邊作角，終邊交單位圓于a，以x軸為始邊作角，終邊交單位圓于b，有所以又有即成立。2. 利用向量證明不等式當(dāng)求解問(wèn)題中（式子）含有乘積或乘方時(shí)，可巧妙地利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表達(dá)式：，構(gòu)造向量解之。例2. 是正數(shù)。求證：。證明：設(shè)所以。由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：。又因?yàn)樗猿闪ⅰ?. 利用向量求值對(duì)于求值問(wèn)題，巧妙地運(yùn)用向量的數(shù)量積定義構(gòu)造等量關(guān)系，求出所需量的值。例3. 已知，求銳角、。解：由條件得設(shè)則由即則即同理（因?yàn)?、為銳角）。4. 利用向量求函數(shù)值域巧妙構(gòu)造向量，可以解決條件最值問(wèn)題，特別是某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問(wèn)題，用向量證明更有獨(dú)特之處。例4. 若，求

3、的最小值。解：構(gòu)造向量由即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值。例5. 設(shè)x是實(shí)數(shù)，求的最小值。解：因?yàn)楣士稍O(shè)所以當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。所以當(dāng)時(shí)，取得最小值。5. 利用向量解決解析幾何問(wèn)題平面向量和平面解析幾何是新老教材的結(jié)合點(diǎn)，也是近幾年高考所考查的熱點(diǎn)，解此類(lèi)題應(yīng)注重從向量數(shù)量積的定義和向量的加減法的運(yùn)算入手，還應(yīng)該盡量聯(lián)系向量與解析幾何的共同點(diǎn)，綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)和技巧，使問(wèn)題有效解決。例6. 過(guò)點(diǎn)，作直線交雙曲線于a、b不同兩點(diǎn)，已知。（1）求點(diǎn)p的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。（2）是否存在這樣的直線，使？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解：（1）設(shè)的方程為，代入得當(dāng)時(shí)，設(shè)則設(shè)，由，再將代入得（*）時(shí)，滿(mǎn)足（*）式。當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知滿(mǎn)足（*）式，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線。當(dāng)時(shí)，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意。（2）因?yàn)?，所以平行四邊形oapb為矩形，oapb為矩形的充要條件是，即。當(dāng)k不存在時(shí)，a、b坐標(biāo)分別為，不滿(mǎn)足上式。又化簡(jiǎn)得此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不存在直線使oapb為矩形。所以，不存在滿(mǎn)足條件的直線l。無(wú)論在初等代數(shù)、初等幾何還是三角中,利用向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則,構(gòu)造合理的向量,對(duì)證明不等式而言,又多了一個(gè)有力工具。這不