貝塞爾公式精品課件

1、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的表示公式數(shù)學(xué)表達(dá)式： · s標(biāo)準(zhǔn)偏差（） · n試樣總數(shù)或測(cè)量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于2030個(gè) · i物料中某成分的各次測(cè)量值，1n； 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法· 在價(jià)格變化劇烈時(shí),該指標(biāo)值通常很高。 · 如果價(jià)格保持平穩(wěn),這個(gè)指標(biāo)值不高。 · 在價(jià)格發(fā)生劇烈的上漲/下降之前,該指標(biāo)值總是很低. 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算步驟是： 步驟一、（每個(gè)樣本數(shù)據(jù) 樣本全部數(shù)據(jù)之平均值)2。 步驟二、把步驟一所得的各個(gè)數(shù)值相加。 步驟三、把步驟二的結(jié)果除以 (n 1)（“n”指樣本數(shù)目）。 步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方

2、根就是抽樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 編輯六個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式1編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計(jì)算公式設(shè)對(duì)真值為x的某量進(jìn)行一組等精度測(cè)量, 其測(cè)得值為l1、l2、ln。令測(cè)得值l與該量真值x之差為真差占， 則有1 = li x .。.。文檔交流2 = l2 x n = ln x 我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)差）為 （1） 由于真值x都是不可知的， 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)貝塞爾公式由于真值是不可知的， 在實(shí)際應(yīng)用中, 我們常用n次測(cè)量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明, 隨著測(cè)量次數(shù)的增多， 算術(shù)平均值最接近真值， 當(dāng)時(shí)， 算術(shù)平均值就是真值。 。.。.文檔交

3、流于是我們用測(cè)得值li與算術(shù)平均值之差剩余誤差(也叫殘差）vi來代替真差 ， 即 設(shè)一組等精度測(cè)量值為l1、l2、ln 則 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差與剩余誤差v的關(guān)系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式（bessel). 它用于有限次測(cè)量次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算.由于當(dāng)時(shí)，,可見貝塞爾公式與的定義式（1）是完全一致的。 應(yīng)該指出, 在n有限時(shí), 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此, 我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差的常用估計(jì)。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)， 我們將的估計(jì)值用“s ” 表示。于是, 將式（2)改寫為 .。文檔交流（2） 在求s時(shí)， 為免去求算術(shù)平均值

4、的麻煩， 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有 于是， 式(2）可寫為 （2") 按式(2”)求s時(shí)， 只需求出各測(cè)得值的平方和和各測(cè)得值之和的平方藝 , 即可。 編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中定義s2為樣本方差 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明s2是總體方差2的無偏估計(jì)。即在大量重復(fù)試驗(yàn)中， s2圍繞2散布， 它們之間沒有系統(tǒng)誤差.而式（2')在n有限時(shí),s并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)， 也就是說s和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計(jì)告訴我們, 對(duì)于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)值為 。.。.。文檔交流（3) 令 則 即s1和s僅相差一個(gè)系數(shù)k,k是與樣本個(gè)數(shù)測(cè)量次數(shù)有關(guān)的一個(gè)系數(shù), k值見

5、表。 計(jì)算k時(shí)用到 （n + 1) = n(n） （1) = 1 由表1知, 當(dāng)n>30時(shí), 。因此， 當(dāng)n>30時(shí)， 式(3）和式(2)之間的差異可略而不計(jì)。在n=3050時(shí)， 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時(shí)， 由于k值的影響已不可忽略， 宜用式（3), 求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時(shí)再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 .。.文檔交流編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計(jì)將的定義式（1）中的真值x用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n有限時(shí)就得到 （4） 式（4)適用于n50時(shí)的情況, 當(dāng)n50時(shí)，n和(n1)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響就很小了。 2。5標(biāo)準(zhǔn)偏差的極差估計(jì)由于以上幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式計(jì)算量較大， 不宜現(xiàn)

6、場(chǎng)采用， 而極差估計(jì)的方法則有運(yùn)算簡(jiǎn)便， 計(jì)算量小宜于現(xiàn)場(chǎng)采用的特點(diǎn)。 。.。文檔交流極差用”r"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個(gè)樣本測(cè)得值中的最大值與最小值之差. 若對(duì)某量作次等精度測(cè)量測(cè)得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 r = lmax lmin 概率統(tǒng)計(jì)告訴我們用極差來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式為 (5) s3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏極差估計(jì), d2為與樣本個(gè)數(shù)n（測(cè)得值個(gè)數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù)， 其值見表2 由表2知, 當(dāng)n15時(shí)，, 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差更粗略的估計(jì)值為 （5'） 還可以看出, 當(dāng)200n1000時(shí)，因而又有 (5”） 顯然, 不需查表利用式(5

7、')和(5”)了即可對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計(jì)， 用以對(duì)用貝塞爾公式及其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。 .。.文檔交流應(yīng)指出,式（5）的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低， 但當(dāng)5n15時(shí)，式（5)不僅大大提高了計(jì)算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n10時(shí), 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多， 因此誤差較大， 為了提高準(zhǔn)確度， 這時(shí)應(yīng)將測(cè)得值分成四個(gè)或五個(gè)一組, 先求出各組的極差r1、， 再由各組極差求出極差平均值. .。.。.文檔交流 極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 需指出, 此時(shí)d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)n(=nk)去查表2。再則, 分組時(shí)一定要按測(cè)得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 .

8、。.文檔交流編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的平均誤差估計(jì)平均誤差的定義為 誤差理論給出 （a) 可以證明與的關(guān)系為 (證明從略） 于是（b） 由式（a）和式（b）得 從而有 式（6）就是佩特斯（c.a.f.peters.1856)公式。用該公式估計(jì)值, 由于rightvright|不需平方,故計(jì)算較為簡(jiǎn)便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。 .。.。文檔交流編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實(shí)例1對(duì)標(biāo)稱值ra = 0.160 math > m math > 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測(cè)得以下15個(gè)數(shù)據(jù):1。45，1.65,1.60,1.67，1。52，1.46,1。72,1.69,1

9、。77，1。64,4。56，1.50,1。64,1。74和1.63m， 試求該樣塊rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 .。.。.文檔交流解：1)先求平均值 2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差s 若用無偏極差估計(jì)公式式(5）計(jì)算， 首先將測(cè)得的， 15個(gè)數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個(gè), 見表3。 .。.。.文檔交流表3 組號(hào)l_1l_5r 11。481.651.601.671。520。19 21。461。721。691.771。640.31 31。561。501.641.741.630。24 因每組為5個(gè)數(shù)據(jù)， 按n=5由表2查得 故 若按常用估計(jì)即貝塞爾公式式(2) , 則 若按無偏估計(jì)公式即式(3

10、9;)計(jì)算, 因n=15，由表1查得k = 1。018, 則 若按最大似然估計(jì)公式即式（4)計(jì)算, 則 = 0.09296（ math > m math ) 若按平均誤差估計(jì)公式即式(6）, 則 現(xiàn)在用式（5')對(duì)以上計(jì)算進(jìn)行校核 可見以上算得的s、s1、s2、s3和s4沒有粗大誤差。 由以上計(jì)算結(jié)果可知0。092960。0962<0。09790。1017<0.1062 即s2 s s1 s4 < s3 可見, 最大似然估計(jì)值最小, 常用估計(jì)值s稍大, 無偏估計(jì)值s1又大， 平均誤差估計(jì)值s4再大， 極差估計(jì)值s3最大?？v觀這幾個(gè)值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅

11、為0。01324m。從理論上講， 用無偏估計(jì)值和常用估計(jì)比較合適， 在本例中, 它們僅相差0。0017m。可以相信， 隨著的增大, s、s1、s2、s3和s4之間的差別會(huì)越來越小。 .。.。.文檔交流就本例而言， 無偏極差估計(jì)值s3和無偏估計(jì)值s1僅相差0.0083m, 這說明無偏極差估計(jì)是既可以保證一定準(zhǔn)確度計(jì)算又簡(jiǎn)便的一種好方法。 。.。文檔交流jjg10289表面粗糙度比較樣塊規(guī)定ra的平均值對(duì)其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過+12%17, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的4%12之間。已得本樣塊二產(chǎn)，產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi)， 故該樣塊合格. 。.。.。文檔交流編輯標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示.因此,標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 .文檔交流例如，a、b兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，a組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，b組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67.這兩組的平均數(shù)都是70，但a組的標(biāo)準(zhǔn)差為17。08分，b組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說明a組學(xué)生之間的差距要比