數(shù)學(xué)論文關(guān)于收斂序列余項(xiàng)估計(jì)的一種精細(xì)化方法常維

1、關(guān)于收斂序列余項(xiàng)估計(jì)的一種精細(xì)化方法 (孝感學(xué)院數(shù)學(xué)系021114201，湖北孝感 432100)摘要：對(duì)某些重要的收斂序列，本文借助幾何直觀方法估計(jì)了它們的收斂余項(xiàng)，比一些現(xiàn)行文獻(xiàn)中的估計(jì)更為精細(xì)，而且方法簡單直觀。關(guān)鍵詞：收斂序列；余項(xiàng)；euler常數(shù)；stirling公式one fine method estimated which about convergence sequence remainderchang wei(department of mathematics,xiaogan university,021114201)abstract: to certain importa

2、nt convergent sequences, this article had estimated with the aid of the geometry direct-viewing method they restrain -odd item, compared to some present literature in estimate finer, moreover the method simple is direct-viewing.key words: convergent sequence;reminder; eulers constant; stirling formu

3、la0 引言與說明euler常數(shù)c()同圓周率、自然對(duì)數(shù)的底一樣，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)著名常數(shù)，它有多種定義方式1-4。而stirling公式是數(shù)學(xué)中的常用公式，因?yàn)樵诶碚摵蛯?shí)際應(yīng)用中（如概率統(tǒng)計(jì)等）常常需要估計(jì)當(dāng)充分大時(shí)，的無窮大的階數(shù)。由于兩者的存在性及余項(xiàng)估計(jì)的一些方法有某種類似之處，因此許多文獻(xiàn)常常一起討論它們。通常的euler常數(shù)c定義為（1）其中是euler數(shù)列，關(guān)于其收斂性的證明，通常是應(yīng)用基本不等式， （2）證明單調(diào)遞減且有界，由單調(diào)有界定理得到收斂。相對(duì)于euler數(shù)列而言，stirling公式，或者 （3）的證明卻相當(dāng)復(fù)雜。因此，國內(nèi)外一些學(xué)者近二十年來一直致力于它的基本證明（參

4、見文獻(xiàn)1-4或11）。對(duì)以上數(shù)列除考慮其收斂性外，更多研究者討論它們的收斂余項(xiàng)問題：1986年，rippon在文獻(xiàn)1中用幾何直觀思想導(dǎo)致了凸函數(shù)的一個(gè)新結(jié)果。所謂rippon的幾何方法，就是利用凸函數(shù)圖象的幾何直觀得到的一個(gè)整體的、精細(xì)的面積比較結(jié)果，其結(jié)論為：設(shè)為下凸的、嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，或者為上凸的、嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。令則 （4）rippon把該結(jié)果應(yīng)用于函數(shù)，一方面直接證明了stirling公式，另一方面還得到了euler常數(shù)c的余項(xiàng)估計(jì)式（詳細(xì)介紹可參閱譯文11）: （5）1993年，detemple在文獻(xiàn)2中用初等面積比較方法同樣巧妙的得到了euler常數(shù)c余項(xiàng)的同一估計(jì)式（2），為

5、了改進(jìn)他的方法，下面將介紹detemple的初等面積比較方法（參見譯文11）：注意到，因此令，則。應(yīng)用基本不等式，即得：對(duì)成立于是，有即得，再結(jié)合，得并且，即得 （6）除此以外，國內(nèi)外許多學(xué)者分別用不同的方法也給出同樣的或更優(yōu)的估計(jì)式，如1983年孫燮華在文獻(xiàn)5中、1991年young在文獻(xiàn)3中分別給出了另一初等方法，但這些方法都不及rippon與detemple的幾何直觀方法，以至于歐陽光中在他的“近年來國外微積分(數(shù)學(xué)分析)教材介紹(上)”一文中，對(duì)euler常數(shù)的余項(xiàng)估計(jì)及stirling公式的證明評(píng)論道：“這樣處理的好處是讓學(xué)生自己去完成證明，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，至少對(duì)成績好的學(xué)生可以

6、達(dá)到這個(gè)要求。缺點(diǎn)是每一步的由來并不明顯，過于技巧化。但話又說回來，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著許多精致有用的技巧?！北疚膶⒔沂具@種“蘊(yùn)涵”。我們的基本思路是借鑒并改進(jìn)文獻(xiàn)7中幾何直觀方法，把它應(yīng)用于euler常數(shù)的余項(xiàng)估計(jì)及stirling公式的證明中。為此，先介紹文獻(xiàn)7中方法，在7中作者用幾何直觀方法證明了文獻(xiàn)6中一個(gè)基本引理：引理16, 7 設(shè)，則 （7）證明 當(dāng)，時(shí)，對(duì)于，有，從而有 ，因此，即得，引理1得證。如圖1，以為邊的曲邊梯形的面積介于兩個(gè)矩形的面積之間，根據(jù)定積分的幾何意義，引理1的不等式中三部分分別代表了它們的面積。（圖1）1 定理及應(yīng)用為了推廣引理1，我們注意到 （，）是下凸函數(shù)，在圖1

7、中過作的切線，并聯(lián)結(jié)的弦，則曲線介于與之間，如圖2，考慮以它們?yōu)檫叺娜齻€(gè)曲邊梯形的面積，由于直線與的方程分別是與，則有，積分之，得到當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有。（圖2）于是，得到定理1 設(shè)，則（1）當(dāng)時(shí)，有 ； （8）（2）當(dāng)時(shí)，有。 （9）很明顯，定理1的結(jié)果比文獻(xiàn)4-5中相應(yīng)結(jié)論（前文的引理1）更為精細(xì)，下面我們給出它的兩個(gè)應(yīng)用：應(yīng)用1euler常數(shù)的余項(xiàng)估計(jì)已知euler數(shù)列收斂于，即，以下估計(jì)：當(dāng)固定時(shí)，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列（）故有 應(yīng)用定理1 之(2)：，則=當(dāng)時(shí)，于是 > = （10）同樣應(yīng)用推論(2)，有 （11）因此，有（12） 應(yīng)用2 stirling公式的新證明為證明stirli

8、ng公式：令， 則，取對(duì)數(shù)，得再令 則，則 （13）為了估計(jì)（13），考慮輔助函數(shù)： ， （14）分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得 （15）令，對(duì)分別求一、二階導(dǎo)數(shù)，得，則為嚴(yán)格單調(diào)遞增的下凸函數(shù)，且，示意圖見圖3（圖3）于是，有的面積，即，故有 ，因此，由（13），得到即得 ，于是，我們得到 （16）令 則，嚴(yán)格單調(diào)遞減，但，又因?yàn)閲?yán)格單調(diào)遞增，得到， 由單調(diào)有界原理得知與均收斂，且。余下的問題就是如何確定收斂的值，應(yīng)用瓦利斯公式可得其收斂于常數(shù)，詳情可參見文獻(xiàn)12，這里從略，至此公式獲證。致謝對(duì)指導(dǎo)教師胡付高副教授的悉心指導(dǎo)表示衷心的感謝！參考文獻(xiàn):1 rippon p l. convergence wi

9、th picturesj. amer.math.monthly.1986,93:476478.2 detemple d w.a quicker convergence to eulers constantj. amer.math.monthly. 1993,100:468470.3 young r m. eulers constantj. math.gaxetle 1991,75:187190.4 包那. euler常數(shù)與euler公式j(luò).數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1988（4）：53625 孫燮華. euler公式的推廣及其精細(xì)化j.數(shù)學(xué)通報(bào)，1982,11:2225.6 田寅生.一個(gè)不等式的指數(shù)推廣及應(yīng)用j.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2003，9:20237 胡付高.一個(gè)不等式的簡證及其幾何直觀j.中學(xué)數(shù)學(xué) 2004(2)：78 detemple d w and wang s h.half integer approximations for the partial sums of the harmonic serirsj.math.anal.appl.,1991,160:237258.9 歐陽光中.近年來國外微積分(數(shù)學(xué)分析)教材介紹(上)j.數(shù)學(xué)通報(bào)，1992,1:3033.10