高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理

1、1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式 有關(guān)的簡單問題有關(guān)的簡單問題 1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理思考探究思考探究1在在(ab)n與與(ba)n的展開式中，其通項(xiàng)相同嗎？的展開式中，其通項(xiàng)相同嗎？提示：提示：從整體上看，從整體上看，(ab)n與與(ba)n的展開式是相同的，但的展開式是相同的，但具體到某一項(xiàng)是不同的，如第具體到某一項(xiàng)是不同的，如第r1項(xiàng)項(xiàng)tr1 anrbr，tr1 bnrar.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)思考探究思考探究2 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)有什么區(qū)別？二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)有什么區(qū)別？提示：提示：

2、二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個概念二項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個概念二項(xiàng)式系數(shù)是指式系數(shù)是指 ，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的部分，它不的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的部分，它不僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)的值有關(guān)1. 的展開式中的展開式中x2的系數(shù)為的系數(shù)為 () a10b5 c. d1解析：解析：含含x2的項(xiàng)為的項(xiàng)為 ( )2 x2 ，x2的系數(shù)為的系數(shù)為 .答案：答案：c2二項(xiàng)式二項(xiàng)式(a2b)n展開式中的第二項(xiàng)的系數(shù)是展開式中的第二項(xiàng)的系數(shù)

3、是8，則它的，則它的 第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 () a24 b18 c16 d6解析：解析：tr1 (2b)r，t2 an1(2b)2 an1b，2 8，n4，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 6.答案：答案：d3若若(x )n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的，則展開式的 常數(shù)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為 () a10 b20 c30 d120解析：解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和二項(xiàng)式系數(shù)之和2n64，則則n6，tr1 x6r x62r，當(dāng)當(dāng)62r0時，即時，即r3時為常數(shù)項(xiàng)，時為常數(shù)項(xiàng)，t31 20.答案：答案：b解析：解析：tr1 (ax)5r(1)r，且，

4、且x3的系數(shù)為的系數(shù)為80.4若若(ax1)5的展開式中的展開式中x3的系數(shù)是的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是的值是 _答案：答案：25若若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x 1)11，則，則a1a2a11_.解析：解析：令令x2，則有，則有a0a1a2a11(221)(22)90，再令再令x1，則有，則有a0(121)(1)2，a1a2a3a112.答案：答案：2 在解決二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)或特定項(xiàng)的問題時，關(guān)鍵是在解決二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)或特定項(xiàng)的問題時，關(guān)鍵是公式公式tr1 anrbr(0rn，rn*，nn*)的正確應(yīng)用的正確應(yīng)用特別警示特別警示應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

5、公式應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式tr1 anrbr(r0,1,2，n)時，要注意以下幾點(diǎn)：時，要注意以下幾點(diǎn)：(1)通項(xiàng)公式表示的是第通項(xiàng)公式表示的是第r1項(xiàng)，而不是第項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；項(xiàng)；(2)通項(xiàng)公式中通項(xiàng)公式中a和和b的位置不能顛倒；的位置不能顛倒；(3)展開式中第展開式中第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 與第與第r1項(xiàng)的系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)，在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時，一般在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式或指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯先處理符號，對根式或指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯 已知在已知在( )n的展開式中，第的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)

6、為常數(shù)項(xiàng)(1)求求n；(2)求含求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)求展開式中所有的有理項(xiàng)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)通項(xiàng)為通項(xiàng)為tr1 ，因?yàn)榈谝驗(yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r5時，有時，有 0，即即n10.(2)令令 2，得，得r (n6) (106)2，所求的系數(shù)為所求的系數(shù)為(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意令令 k(kz)，則，則102r3k，即，即r5 k，rn，k應(yīng)為偶數(shù)應(yīng)為偶數(shù)k可取可取2,0，2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3項(xiàng)，第項(xiàng)，第6項(xiàng)與第項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為 ( )2x

7、2， ， x2.1.對形如對形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cr)的式子求的式子求 其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即即 可；對可；對(axby)n(a，br)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之 和，只需令和，只需令xy1即可即可2一般地，若一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則，則f(x)展開展開 式中各項(xiàng)系數(shù)之和為式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4 ，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5 . 在二項(xiàng)式在二項(xiàng)式(2x3y)9展開式中，求：展開式

8、中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對值的和系數(shù)絕對值的和思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記設(shè)設(shè)(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為二項(xiàng)式系數(shù)之和為 29.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為各項(xiàng)系數(shù)之和為a0a1a2a9，令，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.(3)由由(2)知知a0a1a2a91，令令x1，y1，可得：，可得：a0a1a2a959，將兩式相加，可得，將兩式相加，可得a0a2a4a6a8 ，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和(4)

9、|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令令x1，y1，則，則|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.1.求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)：求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)： 如果如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng) 的二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系系 數(shù)最大；數(shù)最大； 如果如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；2求展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，如求求展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，如求(abx)n(a，br)的展開的展開 式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開 式各項(xiàng)系數(shù)分別為式各項(xiàng)系數(shù)分別為a1，a2，an1，且第，且第

10、r項(xiàng)系數(shù)最大，項(xiàng)系數(shù)最大， 應(yīng)用應(yīng)用 解出解出r來，即得系數(shù)最大的項(xiàng)來，即得系數(shù)最大的項(xiàng) 已知已知f(x)( 3x2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)令令x1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和為，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)(13)n4n，展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知由題意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31

11、(舍舍)或或2n32，n5.由于由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中為奇數(shù)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們是間兩項(xiàng)，它們是t3 (x )3(3x2)290 x6，t4 (x )2(3x2)3270 x .(2)展開式通項(xiàng)為展開式通項(xiàng)為tr1 3rx (52r)假設(shè)假設(shè)tr1項(xiàng)系數(shù)最大，則有項(xiàng)系數(shù)最大，則有 r ，rn，r4.展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為t5 x (3x2)4405x .已知已知( x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求，求(2x )2n的展開式中：的展

12、開式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng).解：解：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解n.系數(shù)絕對值最大系數(shù)絕對值最大問題需要列不等式組求解問題需要列不等式組求解由題意知，由題意知，22n2n992，即，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得，解得n5.(1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(2x )10的展開式中第的展開式中第6項(xiàng)的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大二項(xiàng)式系數(shù)最大即即t6 (2x)5( )58 064.(2)設(shè)第設(shè)第r1項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，tr1 (2x)10r(

13、 )r(1)r 210rx102r，得得 即即 解得解得 r .rz，r3，故系數(shù)的絕對值最大的是第，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項(xiàng)，項(xiàng)，t4 27x415 360 x4. 以選擇題或填空題的形式考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、以選擇題或填空題的形式考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)、展開式的系數(shù)等知識是高考對本講內(nèi)容的二項(xiàng)式系數(shù)、展開式的系數(shù)等知識是高考對本講內(nèi)容的常規(guī)考法常規(guī)考法.09年北京高考則以選擇題的形式考查了二項(xiàng)年北京高考則以選擇題的形式考查了二項(xiàng)式定理在求值中的應(yīng)用，這是一個新的考查方向式定理在求值中的應(yīng)用，這是一個新的考查方向 考題印證考題印證 (2009北京高考北京高考)若若(1 )5ab

14、 (a，b為有理數(shù)為有理數(shù))，則則ab ()a45 b55c70 d80 【解析解析】由二項(xiàng)式定理得：由二項(xiàng)式定理得： (1 )51 ( )2 ( )3 ( )4 ( )515 2020 204 4129 ， a41，b29，ab70.【答案答案】c 自主體驗(yàn)自主體驗(yàn) 若對于任意實(shí)數(shù)若對于任意實(shí)數(shù)x，有，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，則向量，則向量m(a0，a2)與向量與向量n(3,4)所成角的余所成角的余弦值是弦值是 () a0 b. c. d1解析：解析：x32(x2)3，a0238，a2 26.故故m(8,6)，mn0.答案：答案：a1(2009浙江高考浙江高考)在

15、二項(xiàng)式在二項(xiàng)式(x2 )5的展開式中，含的展開式中，含x4的的 項(xiàng)的系數(shù)是項(xiàng)的系數(shù)是 () a10 b10 c5 d5解析：解析：tr1 x2(5r)(x1)r(1)r x103r(r0,1，5)，由，由103r4得得r2.含含x4的項(xiàng)為的項(xiàng)為t3，其系數(shù)為，其系數(shù)為 10.答案：答案：b2如果如果 的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整 數(shù)數(shù)n的最小值為的最小值為 () a10 b6 c5 d3解析：解析：tr1 (3x2)nr(1)r 3nr2rx2n5r，由題意知由題意知2n5r0，即，即n ，nn*，rn，n的最小值為的最小值為5. 答案：答案：c3(1 )6

16、(1 )4的展開式中的展開式中x的系數(shù)是的系數(shù)是 () a4 b3 c3 d4解析：法一：解析：法一：化簡原式化簡原式(1 )4(1 )4(1 )2(1 )(1 )4(1 )2(1x)4(1 )2(14x6x24x3x4)(12 x)故系數(shù)為故系數(shù)為143.法二：法二：展開式中含展開式中含x的項(xiàng)為的項(xiàng)為 ( )( ) 15x6x24x3x故故x的系數(shù)為的系數(shù)為3.答案：答案：b4二項(xiàng)式二項(xiàng)式(2x )6的展開式的常數(shù)項(xiàng)是的展開式的常數(shù)項(xiàng)是_解析：解析：tr1 (2x)6r( )r 26r(1)rx62r，由，由62r0得得r3，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 23(1)3160.答案：答案：1605(2010安徽師大附中模擬安徽師大附中模擬)a (sinxcosx)dx則二項(xiàng)式則二項(xiàng)式 (a )6展開式中含展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是項(xiàng)的系數(shù)是_解析：解析：a (sinxcosx)dx(sinxcosx)|(sincos)(sin0cos0)(01)(01)2.又又tr1 (a )6r( )r a6r(1)rx a6r(1)rx3r.由由3r2，得，得r1，x2項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為 a5192.答案：答案：1926設(shè)設(shè)(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4. (1)求求a0a1a2a3a4； (2)求求a0a2a4； (3)求求