北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟封前 機(jī)密使用完畢前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共4頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、 選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則 （a）（b）（c） （d）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（a）第一象限（b）第二象限（c）第三象限 （d）第四象限（3）“”是“曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件（c）充分必要條件（d）既不充分也不必要條件開(kāi)始i=

2、0，s=1 i=i+1i2是輸出s結(jié)束否（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（a）1（b）（c）（d）（5）函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲 線關(guān)于y軸對(duì)稱，則（a）（b）（c）（d）（6）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（a）（b）（c）（d）（7）直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與c 所圍成的圖形的面積等于（a）（b）2（c） （d）（8）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足 ，求得m的取值范圍是（a）（b）（c） （d）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離等于_（10）若等比

3、數(shù)列滿足，則公比_；前n項(xiàng)和_abc（11）如圖，ab為圓o的直徑，pa為圓o的切線，pb與圓o相交于d若，則_；_abcdpea1b1c1d1（12）將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_（13）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若c=a+b（，r），則_（14）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體abcd-a1b1c1d1中，e為bc的中點(diǎn)，點(diǎn)p在線段d1e上點(diǎn)p到直線cc1的距離的最小值為_(kāi)三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題共13分） 在abc中，（）

4、求的值；（）求c的值（16）（本小題共13分）下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天（）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；（）設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；（）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）（17）（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面，（）求證：平面；（）求證二面角的余弦值；（）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求 的值（18）（本小題共13分） 設(shè)l

5、為曲線在點(diǎn)處的切線（）求l的方程；（）證明：除切點(diǎn)之外，曲線c在直線l的下方（19）（本小題共14分） 已知a，b，c是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)（）當(dāng)點(diǎn)b是w的右頂點(diǎn)，且四邊形oabc為菱形時(shí)，求此菱形的面積；（）當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形oabc是否可能為菱形，并說(shuō)明理由（20）（本小題共13分）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)的最大值為，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，的最小值記為，（）若為2，1，4，3，2，1，4，3，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意nn*，）， 寫出、的值；（）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)證明：的充分必要條件是是公差為d的 等差數(shù)列；（）證明：若，則的項(xiàng)只能是1或者2，且有無(wú)窮多

6、項(xiàng) 為1數(shù)學(xué)試題（北京卷） 第4頁(yè) 共4頁(yè)絕密考試結(jié)束前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分） （1）b（2）d（3）a（4）c （5）d（6）b（7）c（8）c二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分） （9）1（10）2 （11） 4（12）96 （13）4（14） 三、解答題（共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（）因?yàn)椋栽赼bc中由正弦定理得所以故 （）由（）知，所以又因?yàn)?，所以所以在abc中 所以 （16）（共13分） 解：設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（i=1，2，13） 根據(jù)題意，

7、且 （）設(shè)b為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則 所以 （）由題意可知，x的所有可能取值為0，1，2，且 所以x的分布列為：x012p故x的期望 （）從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大 （17）（共14分） 解：（）因?yàn)椋詘zy因?yàn)?，且aa1垂直于這兩個(gè)平面的交線ac，所以平面 （）由（）知， 由題知ab=3，bc=5，ac=4，所以d如圖，以a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則即令z=3，則x=0，y=4，所以同理可得平面的法向量為所以由題知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為 （）設(shè)點(diǎn)d是直線bc1上一點(diǎn)，且所以解得所以由，即，解得因?yàn)?，所以在線段bc1上存在

8、點(diǎn)d，使得此時(shí) （18）（共13分） 解：（）設(shè)，則所以所以l的方程為 （）令，則除切點(diǎn)之外，曲線c在直線l的下方等價(jià)于滿足，且當(dāng)0x1時(shí)，所以故單調(diào)遞減；當(dāng)x1時(shí)，所以故單調(diào)遞減所以所以除切點(diǎn)之外，曲線c在直線l的下方 （19）（共14分） 解：（）橢圓的右頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2，0）因?yàn)樗倪呅蝟abc為菱形，所以ac與ob相互垂直平分所以可設(shè)a（1，m），代入橢圓方程得，即所以菱形oabc的面積是 （）假設(shè)四邊形oabc為菱形因?yàn)辄c(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)，且直線ac不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)ac的方程為由消去y并整理得設(shè)，則所以ac的中點(diǎn)為因?yàn)閙為ac和ob的交點(diǎn)，所以直線ob的斜率為因?yàn)椋詀c與ob不垂直所以oabc不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)b不是w的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形oabc不可能是菱形 （20）（共13分） 解：（）， （）（充分性）因?yàn)槭枪顬閐的等差數(shù)列，且d0，所以因此， （必要性）因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以于是，因此，即是公差為d的等差數(shù)列 （）因?yàn)椋?，故?duì)任意n1，anb1=1假設(shè)不存在大