河北省邢臺市第一中學2020高一數(shù)學下學期第一次月考試題含解析通用

1、邢臺一中2020學年下學期第一次月考高一年級數(shù)學試題一、選擇題：（每小題5分，共60分）1.數(shù)列，的一個通項公式為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】首先注意到數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，其次數(shù)列各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，從而易求出其通項公式【詳解】數(shù)列an各項值為，各項絕對值構(gòu)成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，|an|2n1又數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，an（1）n（2n1）故選：c【點睛】本題給出數(shù)列的前幾項，猜想數(shù)列的通項，挖掘其規(guī)律是關(guān)鍵解題時應(yīng)注意數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，否則會錯2.若等差數(shù)列中，2a1+a3+a5+3a8

2、+a10=36，則a6為（ ）a. 8b. 6c. 4d. 3【答案】d【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知： .本題選擇d選項.3.在等差數(shù)列中，已知，前7項和s7=56，則公差d=（ ）a. 2b. 3c. -2d. -3【答案】b【解析】因為等差數(shù)列an中，已知，前7項和s7=56，所以可得，故選b.4.設(shè)等比數(shù)列an中，前n項和為sn，已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】試題分析：因為是等比數(shù)列，所以s3,s6s3,s9s6成等比數(shù)列，則s3(s9s6)=(s6s3)2，即，解得，即，故選a考點：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用5.的內(nèi)角所對的邊分別是a,b,c，已知2c

3、3;cosb=2a+b，則（ ）a. 30°b. 60°c. 120°d. 150°【答案】c【解析】【分析】由余弦定理可得，變形得，根據(jù)余弦定理可求得答案【詳解】根據(jù)題意，若2ccosb=2a+b，則有：，整理得：，可得：，又在中，故選：c【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.在等比數(shù)列中，若a4=8a1，且成等差數(shù)列，則其前5項和為（ ）a. 64b. 62c. d. 30【答案】b【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題設(shè)條件求得a1=2，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列公比為q，

4、因為a4=8a1，所以a1q3=8a1,a10，解得q=2，又由成等差數(shù)列，所以2(a2+1)=a1+a3，即，解得a1=2，所以s5=2(125)12=62，故選b.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知a,b,c分別為abc的三個內(nèi)角a,b,c的對邊，已知c=45°，c=2，若滿足條件的三角形有兩個，則x的取值范圍是（ ）a. b. 22<x<1c. 1<x<2d. 1<x<2【答案】a【解析】【分析】在abc中

5、，求得，由要使得三角形有兩個，得到22x<c<x，即可求解?！驹斀狻吭谥校?，則，要使得三角形有兩個，則滿足22x<c<x，即， 解得，即實數(shù)a的取值范圍是，故選a.【點睛】本題主要考查了三角形個數(shù)的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記正弦定理的應(yīng)用，以及三角形個數(shù)的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.在中，內(nèi)角所對的邊分別是a,b,c，已知,，c=5，則sinbsinc=（）a. 85b. 58c. 53d. 35【答案】d【解析】【分析】由已知及余弦定理可得b2+5b-24=0, 求出b的值，再由正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因為a=12

6、0°，a=7，c=5，由余弦定理可得：72=b2+52-2×b×5×cos120°，整理可得b2+5b-24=0，解得b=3或b=-8（舍），所以由正弦定理可得sinbsinc=bc=35.【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理，屬于基礎(chǔ)題型.9.在abc中，內(nèi)角a,b,c所對的邊分別是，若cacosb=2abcosa，則abc的形狀為（ ）a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等腰或直角三角形【答案】d【解析】余弦定理得代入原式得解得a=b或c2a2+b2=0則形狀為等腰或直角三角形,選d.點睛：判斷三角形形狀方法化邊：通

7、過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用a+b+c=這個結(jié)論10.銳角三角形的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，已知2asinc=3c，a=1，則abc周長的最大值為（ ）a. b. c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】利用正弦定理化簡2asinc=3c，求得a=3，再利用正弦定理求得b,c邊的表達式，然后利用三角恒等變換化簡周長的表達式，并由此求得周長的最大值.【詳解】依題意，由正弦定理得2sinasinc=3sinc，即sina=32，由于三角形為銳角三角形，故a=3，由正弦定理asina=b

8、sinb=csinc得，故三角形的周長為1+23sinb+23sinc =1+23sinb+23sin23b ，故當b=3，即三角式為等邊三角形時，取得最大值為1+2=3，故選c.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理進行邊角互化，考查利用正弦定理求三角形周長的最大值，考查三角恒等變換，屬于中檔題.11.已知數(shù)列滿足a1a2a3an=2n2nn*，且對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）a. 13，+b. 13，+c. 23，+d. 23，+【答案】d【解析】 a1a2a3an=2n2nn*，兩式相除得an=22n-1nn,n2，也滿足,an=22n1nn,t>1a1+1a2+.+1an=

9、，又的取值范圍是23,+，故選d.【方法點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系求通項公式、等比數(shù)列的余弦公式與求和公式以及不等式恒成立問題，屬于難題. 對于求不等式恒成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下盡量把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的式子, 這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是含變量式子, 另一端是參數(shù)的不等式，便于利用最值法解決問題. 但要注意分離參數(shù)法不是萬能的, 如果分離參數(shù)后,得出的多項式較為復(fù)雜, 性質(zhì)很難研究, 就不要使用分離參數(shù)法.12.在中，內(nèi)角所對的邊分別是a,b,c,且bc邊上的高為,則cb+bc 的最大值是（ ）a. b. 6c. d. 4【答案】d

10、【解析】，這個形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosa，而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積， bcsina，即a223bcsina，將代入得：b2c22bc(cosa3sina)，bc+cb2(cosa3sina)4sin(a6)，當a3時取得最大值4，故選d點睛：三角形中最值問題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值. 在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出

11、現(xiàn)錯誤.二、填空題：（每小題5分，共20分）13.在abc中，內(nèi)角a,b,c所對的邊分別是a,b,c，a=4，b=43，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)，則，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，根據(jù)正弦定理得，則，又由，則，即，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理求得的值，再根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.等差數(shù)列an與的前n項和分別為和,若sntn=3n22n+1，則_.【答案】75【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，得出a9b9=a1+a17b1+b17=s

12、17t17，即可求解.【詳解】由題意知，等差數(shù)列an與的前n項和分別為和,滿足sntn=3n22n+1，由等差數(shù)列的前n項和公式，可得a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=172(a1+a17)172(b1+b17)=s17t17=3×1722×17+1=75.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.15.如圖，某學生社團在校園內(nèi)測量遠處某棟樓的高度，d為樓頂，線段的長度為，在a處測得，在處測得dba=105°，且

13、此時看樓頂d的仰角，已知樓底c和a、b在同一水平面上，則此樓高度_m（精確到）【答案】【解析】【分析】先在abd中利用正弦定理求得bd，再在rtbcd中，求得cd即可.【詳解】在abd中，由正弦定理，得：bdsin30°=absin(180°-105°-30°)，由ab600，得：bd300，在rtbcd中，因為，所以，cdbd150212，故答案為.【點睛】本題考查了正弦定理在實際生活中應(yīng)用，考查了仰角的概念，屬于基礎(chǔ)題.16.在數(shù)列an中，a1=1, 則數(shù)列an的通項公式an=_【答案】an=1,n=12n·3n2,n2【解析】【分析】利用

14、數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出相鄰兩項的關(guān)系式，得出數(shù)列nan從第二項起是以2為首項，3為公比等比數(shù)列，即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列an滿足a1=1,a1+2a2+3a3+nan=n+12an+1,nn，所以a1+2a2+3a3+(n1)an1=n2an,n2兩式相減可得nan=n+12an+1n2an，即，令n=1時，a2=a1=1，所以2a2=2，所以數(shù)列nan從第二項起構(gòu)成以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以nan=23n2,n2，所以an=2n3n2,n2所以數(shù)列an的通項公式為an=1n=12n3n2,n2.【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列通項公式

15、的應(yīng)用，其中解答中合理利用數(shù)列的遞推公式，得到數(shù)列nan從第二項起是以2為首項，3為公比等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在abc中，內(nèi)角a,b,c所對的邊分別是a,b,c，abc的面積為，若4s=a2+b2c2.(1)求角c;(2)若a=1，c=2，求.【答案】（1）4；（2）712.【解析】【分析】(1)利用三角形的面積公式，余弦定理化簡已知等式可求tanc=1，結(jié)合范圍c(0,)，可求c的值(2)由已知利用正弦定理可求sina=12，利用大邊對大角可求a<c，進而可求a的值，根據(jù)三角形內(nèi)

16、角和定理可求b的值【詳解】解：(1)s=12absinc，a2+b2c2=2abcosc，4s=a2+b2c2，2absinc=2abcosc，sinc=cosc，可得tanc=1，c(0,)，c=4(2)a=1，c=2，c=4，由asina=csinc，可得：sina=asincc=1×222=12，a<c，可得a<c，a=6，【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理，大邊對大角，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題18.在abc中，內(nèi)角a,b,c所對的邊分別是a,b,c，c=60°，2c=3b.(1)

17、求角a,b的大??；(2)若為邊上一點，且a=4，bcd的面積為3，求的長.【答案】(1)a=75°,b=45°；(2)bd=13【解析】【分析】（1）由正弦定理得：，解得sinb，結(jié)合bc，可得b為銳角，利用三角形內(nèi)角和定理可求b，a的值（2）利用三角形面積公式及已知可求cd，由余弦定理即可解得bd的值【詳解】（1）c60°，可得：sinc=32，由2c=3b，可得：cb=32，又由正弦定理cb=sincsinb，可得：32sinb=32，解得：sinb=22，由已知可得bc，可得b為銳角，可得：b45°，a180°bc75°（2）b

18、cd的面積為3，即：12acdsinc=12×4×cd×32=3，解得：cd1，由余弦定理可得：bd【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形內(nèi)角和定理，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和計算能力，屬于中檔題19.已知正項等比數(shù)列an滿足a4=a2a3，前三項和s3=13(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn=log3an+n，1bnbn+1的前n項和為tn，證明：tn<12【答案】（1）an=3n-1；（2）tn=n2n+1.【解析】分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可將a4=a2a3轉(zhuǎn)化為a4=a1a4，再根據(jù)數(shù)列各項為正數(shù)，可

19、得a1的值，然后根據(jù)前三項和s3=13，可求得公比，從而可得數(shù)列an的通項公式；（2）由（1）可得數(shù)列bn的通項公式，從而可得數(shù)列1bnbn+1的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的特性，利用裂項相消法即可求得tn.詳解：（1）a4=a2a3a4=a1a4a1=1s3=a1+a2+a3=1+q+q2=13，且q>0q=3（2）bn=log33n-1+n=2n-11bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)tn=12(1-12n+1)=n2n+1點睛：本題主要考查遞推公式求通項的應(yīng)用，以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很

20、難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：（1）1nn+k=1k1n1n+k；（2） 1n+k+n=1kn+kn； （3）12n12n+1=1212n112n+1；（4）1nn+1n+2=121nn+11n+1n+2；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結(jié)果錯誤.20.在abc中，角a，b，c對邊分別為a，b，且csin2-a是acosb與bcosa的等差中項. （1）求角a； （2）若2a=b+c，且abc的外接圓半徑為1，求abc的面積.【答案】（1）3；（2）334.【解析】【分析】（1）由題意，得2ccosa=acosb+b

21、cosa，由正弦定理，化簡2sinccosa=sinc，進而得到，即可求解；（2）設(shè)abc的外接圓半徑為r，求得a=2rsina=3，利用余弦定理求得bc=3，進而利用面積公式，即可求解【詳解】（1）因為csin2-a是acosb與bcosa的等差中項.所以2ccosa=acosb+bcosa.由正弦定理得2sinccosa=sinacosb+sinbcosa，從而可得2sinccosa=sinc，又c為三角形的內(nèi)角，所以sinc0，于是cosa=12，又a為三角形內(nèi)角，因此a=3.（2）設(shè)abc的外接圓半徑為r，則r=1，a=2rsina=3，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos3=(

22、b+c)2-3bc，即3=12-3bc，所以bc=3.所以abc的面積為s=12bcsina=334.【點睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到21.已知數(shù)列an滿足an+1=2an+2n (nn*,r),且a1=1.(1)證明數(shù)列an2n是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an前n項和sn.【答案】(1)見解析；（2）sn=1+(n-1)2n.【解析】試題分析：（1）對題設(shè)中的遞推關(guān)系變形為an+12n+1=an2n+12，從而得到一個新的等差數(shù)列，其通項為an2n=n2，由此得an=n2n1.（2）利用錯位相減法求sn.解析：(1)由an+1=2an+2nnn ,等式兩端同時除以2n+1到an+12n+1=an2n+12,即 an+12n+1an2n=12 ,(2)a121=12,數(shù)列an2n 是首項為12,公差為12的等差數(shù)列,an2n=12+n112=n2, an=n2n1，數(shù)列an