數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像處理 基本理論、符號和術(shù)語 二值形態(tài)學(xué) 引 言一、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)1、 形態(tài)學(xué)形態(tài)學(xué): :一般指生物學(xué)中研究動物和植物結(jié)一般指生物學(xué)中研究動物和植物結(jié)構(gòu)的一個分支構(gòu)的一個分支 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（也稱圖像代數(shù)）表示以（也稱圖像代數(shù)）表示以形態(tài)形態(tài)為為基礎(chǔ)對基礎(chǔ)對圖像圖像進行分析的數(shù)學(xué)工具進行分析的數(shù)學(xué)工具2、基本思想基本思想：用具有一定形態(tài)的：用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素去度去度量和提取圖像中的對應(yīng)形狀，以達(dá)到分析和識別量和提取圖像中的對應(yīng)形狀，以達(dá)到分析和識別圖像的目的。圖像的目的。5、形態(tài)學(xué)的主要應(yīng)用： 邊界提取、區(qū)域填充、連通分量的提取、凸殼、邊界提取、區(qū)域填充、連通分量的

2、提取、凸殼、細(xì)化、粗化等細(xì)化、粗化等。形態(tài)學(xué)圖像處理的應(yīng)用可以簡化圖形態(tài)學(xué)圖像處理的應(yīng)用可以簡化圖像數(shù)據(jù)，保持它們基本的形狀特性，并除去不相干像數(shù)據(jù)，保持它們基本的形狀特性，并除去不相干的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)4、基本運算：、基本運算： 膨脹（或擴張）、腐蝕（或侵蝕）、開膨脹（或擴張）、腐蝕（或侵蝕）、開啟啟、 閉閉合合3、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)集合論集合論二、基本符號和術(shù)語1. 元素和集合元素和集合把一幅圖像稱為一個集合把一幅圖像稱為一個集合aAbBA(a)(b)ABABAbAa2、交集、 并集、補集和差集AB=aaA且且aBAB=aaA或或aBAC=aa ABC3、擊中（Hit）與擊不中（Miss）(a)(

3、b)ABBABAABABBAAB：擊不中，記為：擊中4、平移和反射A被被b平移：平移：Abab| aAa與與b對應(yīng)坐標(biāo)對應(yīng)坐標(biāo)相加相加01234xy12345(a )數(shù)字圖像數(shù)字圖像x01234123y(b )點點b01234xy12345(c)01 2 3 4 xy12345(a)y123401234x(d)|AaaAVA關(guān)于原點的關(guān)于原點的反射（對稱集）反射（對稱集）：即即A中所有元素的坐標(biāo)取反中所有元素的坐標(biāo)取反5、目標(biāo)和結(jié)構(gòu)元素被處理的圖像稱為被處理的圖像稱為目標(biāo)圖像目標(biāo)圖像，一般用集合，一般用集合A描述。描述。收集信息的收集信息的“探針探針”， 稱為稱為“結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素”，用，用集

4、合集合 B(或或 S) 描述。描述。通常通常形態(tài)學(xué)圖像處理形態(tài)學(xué)圖像處理是以在圖像中移動一是以在圖像中移動一個結(jié)構(gòu)元素并進行一種類似于卷積運算的個結(jié)構(gòu)元素并進行一種類似于卷積運算的方法進行，只是以邏輯運算代替卷積的乘方法進行，只是以邏輯運算代替卷積的乘加運算。加運算。二值圖像的邏輯運算（a）非）非（b b）與）與（c c）或）或（d d）異或）異或（e e）非與）非與 二值形態(tài)學(xué)說明說明A為圖像集合，為圖像集合，B為結(jié)構(gòu)元素，用為結(jié)構(gòu)元素，用B對對A進行腐蝕、進行腐蝕、膨脹等操作。膨脹等操作。對每個結(jié)構(gòu)元素可以指定一個原點，它是結(jié)構(gòu)元對每個結(jié)構(gòu)元素可以指定一個原點，它是結(jié)構(gòu)元素參與形態(tài)學(xué)運算的

5、參考點。素參與形態(tài)學(xué)運算的參考點。為了分析方便，為了分析方便，陰影陰影代表值為代表值為0的目標(biāo)區(qū)域，的目標(biāo)區(qū)域，白白色色代表值為代表值為1的背景區(qū)域，運算是對值為的背景區(qū)域，運算是對值為0的區(qū)域的區(qū)域進行的。進行的。一、膨脹 使圖像擴大 A A和和B B是兩個集合，是兩個集合，A A被被B B膨脹定膨脹定義義為：為：上式表示：上式表示：B B的反射進行平移與的反射進行平移與A A的交集不為空的交集不為空 B B的反射：相對于自身原點的映象的反射：相對于自身原點的映象 B B的平移：對的平移：對B B的反射進行位移的反射進行位移膨脹的另一個定義上式表示：上式表示：B B的反射進行平移與的反射進行

6、平移與A A的交集是的交集是A A的子集的子集膨脹操作過程將結(jié)構(gòu)元素B的原點移至集合A的某一點,將結(jié)構(gòu)元素B中點的坐標(biāo)與集合A中該點坐標(biāo)相加,得到對集合A中一點膨脹的運算結(jié)果.對集合A中所有元素重復(fù)該過程(a) 原始圖像原始圖像A(b) 結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素B(c) 膨脹圖像膨脹圖像膨脹的作用圖像填充 （1）填充圖像比結(jié)構(gòu)元素小的孔洞; （2）填充圖像邊緣處的小凹陷或斷開部分。 二、腐蝕：使圖像縮小A和B是兩個集合，A被B腐蝕定義為： 集合B稱為結(jié)構(gòu)元素 用用B來腐蝕來來腐蝕來腐蝕腐蝕A的的結(jié)果結(jié)果是是將結(jié)構(gòu)元素B相對于集合A進行平移, 平移后B完全包括在A中時，B的原點位置的集合。 對一個給定的

7、目標(biāo)圖像X和一個結(jié)構(gòu)元素 S，將S在圖像上移動。在每一個當(dāng)前位置x，S+x只有三種可能的狀態(tài)xS x1S x2S x3ccXxSXxSXxSXxS33)3(2)2(1) 1 (滿足條件滿足條件（1）的點的點x的集合稱為的集合稱為S對對X的腐蝕的腐蝕|XxSxSX腐蝕的作用腐蝕在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運算中的作用是消除物體邊界點。腐蝕在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運算中的作用是消除物體邊界點。如果結(jié)構(gòu)元素取如果結(jié)構(gòu)元素取33的像素塊，腐蝕將使物體的邊的像素塊，腐蝕將使物體的邊界沿周邊減少一個像素。界沿周邊減少一個像素。腐蝕可以把小于結(jié)構(gòu)元素的物體腐蝕可以把小于結(jié)構(gòu)元素的物體(毛刺、小凸起毛刺、小凸起)去去除，這樣選取不同大小

8、的結(jié)構(gòu)元素，就可以在原圖除，這樣選取不同大小的結(jié)構(gòu)元素，就可以在原圖像中去掉不同大小的物體。像中去掉不同大小的物體。如果兩個物體之間有細(xì)小的連通，那么當(dāng)結(jié)構(gòu)元素如果兩個物體之間有細(xì)小的連通，那么當(dāng)結(jié)構(gòu)元素足夠大時，通過腐蝕運算可以將兩個物體分開。足夠大時，通過腐蝕運算可以將兩個物體分開。腐蝕運算的示例(a)圖象X(b)結(jié)構(gòu)元素 S(c)腐蝕結(jié)果*c c圖中圖中黑色部分給出了黑色部分給出了腐蝕腐蝕結(jié)果。結(jié)果。由圖可見，腐蝕將圖像（區(qū)域）收縮小了。由圖可見，腐蝕將圖像（區(qū)域）收縮小了。二值圖像的腐蝕、膨脹結(jié)果E1=3*3方形結(jié)構(gòu)單元方形結(jié)構(gòu)單元 原圖原圖 E1膨脹后圖像膨脹后圖像 E1腐蝕后圖像腐

9、蝕后圖像 開運算：先對圖像進行腐蝕，然后膨脹其結(jié)果； 閉運算：先對圖像進行膨脹，然后腐蝕其結(jié)果 應(yīng)用同一結(jié)構(gòu)元素SSXSX)( SSXSX)(三、膨脹和腐蝕的結(jié)合使用開運算斷開狹窄的間斷和斷開狹窄的間斷和消除細(xì)的突出物。消除細(xì)的突出物。 閉運算通常消彌狹窄的間斷和長通常消彌狹窄的間斷和長細(xì)的鴻溝，消除小的孔洞，細(xì)的鴻溝，消除小的孔洞，并填補輪廓線中的斷裂。并填補輪廓線中的斷裂。(a)噪聲噪聲圖像圖像A(b)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)元素元素S(c)(d)(e)(f)C = A SD = C SE = D SF = E SSSXSSSSX)()( 開運算開運算：（：（1 1）對腐蝕圖像用膨脹運算進行恢復(fù)對腐蝕圖像

10、用膨脹運算進行恢復(fù) （2 2）基于幾何結(jié)構(gòu)的濾波器基于幾何結(jié)構(gòu)的濾波器 （3 3）平滑圖平滑圖像輪廓，像輪廓，去除凸出部分去除凸出部分 閉運算：閉運算：（1 1）對膨脹圖像用腐蝕運算進行恢復(fù)對膨脹圖像用腐蝕運算進行恢復(fù) （2 2）平滑圖平滑圖像輪廓，像輪廓，填充凹入部分填充凹入部分 開運算與閉運算的應(yīng)用開運算與閉運算的應(yīng)用開、閉運算形態(tài)學(xué)濾波舉例：指紋噪聲消除(a)(a)有噪聲的有噪聲的圖像圖像(b)(b)結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素(c)(c)腐蝕圖像腐蝕圖像(d)A(d)A的開操的開操作作(e)(e)膨脹膨脹(f)(f)腐蝕（開腐蝕（開操作的閉操操作的閉操作）作）過程：先開后閉，開消除噪聲，閉修復(fù)開運

11、算造成的指紋斷裂。過程：先開后閉，開消除噪聲，閉修復(fù)開運算造成的指紋斷裂。 使用不同的結(jié)構(gòu)元素，判定哪些成分包括使用不同的結(jié)構(gòu)元素，判定哪些成分包括在圖像內(nèi)，哪些不包含在內(nèi)在圖像內(nèi)，哪些不包含在內(nèi) 結(jié)構(gòu)元素由多個不相交的部分組成結(jié)構(gòu)元素由多個不相交的部分組成 21SSS21SS |21CXxSXxSxSX且 四、擊中/擊不中（Hit/Miss）變換X被S擊中的結(jié)果相當(dāng)于X被S1腐蝕的結(jié)果與X被S2的反射集S2V膨脹的結(jié)果之差。)()()()()()(212121VCVCSXSXSXSXSXSXSX 嚴(yán)格的模版匹配。指出被匹配點所應(yīng)滿足嚴(yán)格的模版匹配。指出被匹配點所應(yīng)滿足的性質(zhì)（模板形狀）的同時

12、也指出這些點的性質(zhì)（模板形狀）的同時也指出這些點所不應(yīng)滿足的性質(zhì)，即對周圍環(huán)境背景的所不應(yīng)滿足的性質(zhì)，即對周圍環(huán)境背景的要求。要求。 保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的形狀細(xì)化，以及形狀識別保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的形狀細(xì)化，以及形狀識別和定位和定位。擊中/擊不中變換的應(yīng)用 應(yīng)用實例細(xì)化 骨架抽?。喊岩粋€平面區(qū)域簡化成線條 圖像細(xì)化：即骨架抽取。 對于結(jié)構(gòu)對B=(B1， B2)，利用B細(xì)化X定義為 )(BXXBX利用結(jié)構(gòu)對序列利用結(jié)構(gòu)對序列B1，B2迭代產(chǎn)生輸出序列迭代產(chǎn)生輸出序列 在實際應(yīng)用中，通常選擇一組結(jié)構(gòu)元素對，迭代過程不斷在這些結(jié)構(gòu)對中循環(huán)，當(dāng)一個完整的循環(huán)結(jié)束時，如果所得結(jié)果不再變化， 則終止迭代過程。 設(shè)設(shè):

13、:已知目標(biāo)點標(biāo)記為已知目標(biāo)點標(biāo)記為1 1，背景點標(biāo)記為，背景點標(biāo)記為0 0 邊界點邊界點是指：本身標(biāo)記為是指：本身標(biāo)記為1 1而其而其8 8連通鄰連通鄰域中至少有一個標(biāo)記為域中至少有一個標(biāo)記為0 0的點的點 對對3 3* *3 3鄰域中的點作如下判斷：鄰域中的點作如下判斷：細(xì)化實例（1） 考慮以邊界點為中心的考慮以邊界點為中心的8鄰域，設(shè)鄰域，設(shè)p1為中心點，對為中心點，對其鄰域的其鄰域的8個點逆時針繞中心點分別標(biāo)記為個點逆時針繞中心點分別標(biāo)記為p2，p3，p9，其中，其中p2位于位于p1的上方。如果的上方。如果p1=1(即黑點即黑點)時，下面時，下面4個條件同時滿足，則刪除個條件同時滿足，則

14、刪除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零鄰點的個數(shù)的非零鄰點的個數(shù) p3p2p9p4p1p8p5p6p7 p2p4p6=0 p4p6p8 =0 S(p1) =1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9為為序時這些點的值從序時這些點的值從0到到1變化的次數(shù)變化的次數(shù)（1） 考慮以邊界點為中心的考慮以邊界點為中心的8鄰域，設(shè)鄰域，設(shè)p1為中心點，對為中心點，對其鄰域的其鄰域的8個點逆時針繞中心點分別標(biāo)記為個點逆時針繞中心點分別標(biāo)記為p2，p3，p9，其中，其中p2位于位于p1的上方。如果的上方。如果p1=1(即黑點即黑點)時，下面時，下面4個條件同時滿

15、足，則刪除個條件同時滿足，則刪除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零鄰點的個數(shù)的非零鄰點的個數(shù) p3p2p9p4p1p8p5p6p7 p2p4p6=0 p4p6p8 =0保留了只有一個標(biāo)記為保留了只有一個標(biāo)記為1的鄰點的中心點以及有的鄰點的中心點以及有7個標(biāo)記為個標(biāo)記為1的鄰點的中心點；這表明中心點的鄰點的中心點；這表明中心點p1或者為線段的端點或者是深入?yún)^(qū)域內(nèi)部的點或者為線段的端點或者是深入?yún)^(qū)域內(nèi)部的點 S(p1) =1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9為為序時這些點的值從序時這些點的值從0到到1變化的次數(shù)變化的次數(shù)保留對寬度為單個象素的線

16、段進行操作的情況，保留對寬度為單個象素的線段進行操作的情況，以避免將骨架割斷以避免將骨架割斷 表明表明p1為邊界的右為邊界的右/下（下（p4=0或或p6=0）端點或左上）端點或左上（p2=0和和p8=0）角點，不屬于骨架點。）角點，不屬于骨架點。（2） 如果如果p1=1(即黑點即黑點)時，下面時，下面4個條件同時滿足，則刪個條件同時滿足，則刪除除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零鄰點的個數(shù)的非零鄰點的個數(shù) S(p1) = 1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9為序為序時這些點的值從時這些點的值從0到到1變化的次數(shù)變化的次數(shù) p2p4p8=0

17、p2p6p8=0（3）算法反復(fù)迭代，直至沒有點再滿足標(biāo)記刪除的條件）算法反復(fù)迭代，直至沒有點再滿足標(biāo)記刪除的條件以上兩步操作構(gòu)成一次迭代。以上兩步操作構(gòu)成一次迭代。（2） 如果如果p1=1(即黑點即黑點)時，下面時，下面4個條件同時滿足，則刪個條件同時滿足，則刪除除p1(p1=0)： 2N(p1)6，其中，其中N(p1)是是p1的非零鄰點的個數(shù)的非零鄰點的個數(shù) S(p1) = 1，其中，其中S(p1)是以是以p2，p3，p4，p9為序為序時這些點的值從時這些點的值從0到到1變化的次數(shù)變化的次數(shù) p2p4p8=0 p2p6p8=0（3）算法反復(fù)迭代，直至沒有點再滿足標(biāo)記刪除的條件）算法反復(fù)迭代，直至沒有點再滿足標(biāo)記刪除的條件以上兩步操作構(gòu)成一次迭代。以上兩步操作構(gòu)成一次迭代。、 去除了邊