材料力學(xué)第07次教學(xué)_3學(xué)時(shí)

1、薄壁圓管的極慣性矩及切應(yīng)力公式0Rt薄壁圓管tRD02tRd02)2()2(1 (32)2()1 (32404040444tRtRtRDdDIp)2()2(324040tRtR)21 ()21(3216404040RtRtRnxxn1)1 (若|x|很小，則tR302tRxTIxTxp202)()()(薄壁圓管的橫截面上切應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布 當(dāng)t抗拉抗剪。 脆性材料在不同受力下的強(qiáng)度大?。嚎箟嚎辜艨估＠?：由相同材料制成的實(shí)心圓軸和空心圓軸，兩端受扭力偶作用，二者的長(zhǎng)度和重量均相同。如果空心圓軸的內(nèi)外徑之比為，證明：當(dāng)兩軸中的最大切應(yīng)力相同時(shí)，作用在實(shí)心圓軸和空心圓軸上的扭力偶之比為：22

2、2111mm1D1mDd2m解：由題意知，兩軸的截面積相等。即2221dDD)1 (22 D因兩軸中的最大切應(yīng)力相同，固有：2211ppWmWm1D1mDd2m)1 (2221 DD2211ppWmWm2121ppWWmm)1 (16164331DDDDDD14221)1 (2421112211例6：等截面圓軸受外載荷如圖。若材料的許用切應(yīng)力=60MPa，校核其強(qiáng)度。若將實(shí)心圓軸改為內(nèi)外徑之比為=0.7的空心圓軸，求兩圓軸強(qiáng)度相同時(shí)的重量之比。mkN2mkN1mkN3mm60DD解：扭矩圖如下TxmkN1mkN2)()(3maxmaxmax16)(DTWxTpMPa16.47601021636

3、注意計(jì)算中單位的換算！ 強(qiáng)度足夠，圓軸安全。 在強(qiáng)度相同的條件下將實(shí)心軸改為空心軸，意味著這兩軸中的最大切應(yīng)力相同。 因此，空心軸應(yīng)有與實(shí)心軸相同的抗扭截面系數(shù)。實(shí)心軸：16601633DWp空心軸：)7 . 01 (16)1 (164343DDWp66mmmm75.657 . 0160343D 兩軸重量之比就是截面積之比61. 060)7 . 01 (66)1 (22222DDL4.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形，用橫截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角來(lái)表示。橫截面xB橫截面xA圓軸單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角公式pGIxTx)(ddxGIxTpd)(d 間距為dx的兩個(gè)相鄰橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角橫截面xA和橫截面

4、xB間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角ABxxpABxGIxTd)(GIp抗扭剛度橫截面xA和橫截面xB間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角ABxxpABxGIxTd)(對(duì)單一材料的等截面圓軸：pxxABGIxxTABd )(mm對(duì)單一材料的等截面圓軸，只在兩端承受扭力偶m，則pABGIml計(jì)算中單位制的說(shuō)明： 長(zhǎng)度基本單位：mm 扭力偶(或扭矩)基本單位：N.mm 應(yīng)力和剪切彈性模量基本單位：MPa 扭轉(zhuǎn)角基本單位：rad 例7：空心圓軸兩截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為0.4，彈性模量E為210GPa，求材料的泊松比。mmkN5 . 1mmm50Dmm30dmm200a(楊氏)彈性模量E、剪切彈性模量G和泊松比之間存在關(guān)系：)1 (2EG

5、該題說(shuō)明了通過(guò)扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)測(cè)量材料泊松比的高精度方法。mmkN5 . 1mmm50Dmm30dmm200arad 00698. 01804 . 04 . 0解：pGImapImaG)6 . 01 (503200698. 0200105 . 144680.46GPaMPa80461注意各力學(xué)量的單位12GE305. 0146.802210例8：如圖空心軸。若=70MPa；求許用扭力偶。若截面B對(duì)截面A的轉(zhuǎn)角與截面C對(duì)截面B的轉(zhuǎn)角相等，求L1。1Lmm50DABCmm382dmm251d2Lmm510L解：AB段和BC段的截面抗扭系數(shù)分別為)5 . 01 (5016)1 (164343ABpABDW)

6、76. 01 (5016)1 (164343BCpBCDW1Lmm50DABCmm382dmm251d2L 按AB段計(jì)算許用扭力偶 pABWT1 按BC段計(jì)算許用扭力偶 pBCWT2mmN 1061. 16mmN 1015. 16因此許用扭力偶為 mmkN 15. 1),min(21TTTpBCBCpABABGITLGITL21若41. 11144BCABpBCpABIILL2151021 LLmm 2981L4.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度4.5.1 剛度條件 在討論圓軸的剛度條件時(shí)，通常考察圓軸單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角，定義為(x)。pGIxTxx)(dd)(剛度條件 maxmax)(pGIxT對(duì)單一材

7、料的等截面圓軸 pGIxTmaxmax)(計(jì)算中單位制的說(shuō)明： 長(zhǎng)度基本單位：mm 扭力偶(或扭矩)基本單位：N.mm 剪切彈性模量基本單位：MPa 單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角基本單位：rad/mm 許可最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角 在工程上，許可單位長(zhǎng)度最大扭轉(zhuǎn)角的量綱通常是度/米，而按公式計(jì)算出的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的量綱是弧度/毫米。需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 /m 10180)()(3maxmaxmaxppGIxTGIxT4.5.2 剛度條件的應(yīng)用校核剛度；計(jì)算許可載荷(外力偶)；計(jì)算許可截面尺寸；4.6 圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問(wèn)題 與拉(壓)桿的超靜定問(wèn)題類(lèi)似，求解圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問(wèn)題，仍然要綜合運(yùn)用平衡方程、幾何方程和物理方程

8、。 步驟如下： (1)平衡方程 所有外力與內(nèi)力應(yīng)滿(mǎn)足力平衡和力矩平衡條件(2)幾何方程 各構(gòu)件的變形應(yīng)彼此協(xié)調(diào)以保證結(jié)構(gòu)的完好 (3)物理方程 應(yīng)力(或內(nèi)力)與應(yīng)變(或變形)滿(mǎn)足Hook定律(4)求解 將物理方程代入幾何方程得到補(bǔ)充方程，聯(lián)立平衡方程即可求解未知量。 例9：如圖組合軸，銅套和剛芯軸緊密結(jié)合。若Gc和Gs已知，分別求銅套和鋼芯中的最大切應(yīng)力。dDmm銅套 剛芯解：銅套和鋼芯軸應(yīng)各自承擔(dān)一部分扭力偶。cTsT平衡方程mTTsc物理方程pccccIGlTpssssIGlTdDmmcTsT幾何方程： 由題意知，由于銅套和鋼芯軸緊密結(jié)合，即銅套和鋼芯軸的扭轉(zhuǎn)角應(yīng)該相同。即幾何方程為：sc

9、pccccIGlTpssssIGlTpsspccscIGIGTTmTTscpsspccpcccIGIGmIGTpsspccpsssIGIGmIGT載荷的分配與剛度成正比。橫截面上的應(yīng)力分布pcpcpsspcccpcccWIIGIGmGWTmaxpspspsspccspsssWIIGIGmGWTmaxmaxcmaxs注意：在兩軸交界處，扭轉(zhuǎn)角連續(xù)，而應(yīng)力不連續(xù)。思考：如何確定組合軸的內(nèi)外半徑，以充分發(fā)揮材料強(qiáng)度。 要充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，應(yīng)使銅套和鋼芯軸的最大切應(yīng)力同時(shí)達(dá)到各自的許用切應(yīng)力。cpsspcccpcpcpsspccccIGIGmDGWIIGIGmG)(2maxspsspccspspsp

10、sspccssIGIGmdGWIIGIGmG)(2maxcsscGGDdmqABl 5 . 0l 5 . 0例10：確定圓軸A端和B端的約束力偶矩。mql 5 . 0l 5 . 0AB解：為表述方便，用矢量形式來(lái)表示扭力偶或扭矩。 設(shè)A端和B端的約束力偶矩分別是mA和mB。平衡方程lqmmmBA5 . 0扭矩函數(shù)lxlmlxxqmxTBmA5 . 05 . 00)(mqABl 5 . 0l 5 . 0AmBmxC幾何方程 由題意知，變形協(xié)調(diào)關(guān)系為A和B間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為零。即mqABl 5 . 0l 5 . 0mqABl 5 . 0l 5 . 0AmBmxC0ABCBAC物理方程llplpABx

11、GIxTxGIxT5 . 05 . 00d)(d)(llpBlpmAxGImxGIxqm5 . 05 . 00ddpmBAGIlqmml8)(42lqmmmBA5 . 0平衡方程08)(42pmBAABGIlqmml幾何方程和物理方程lqmlqmmBmA8183mqABl 5 . 0l 5 . 0AmBmxC圖中的mB方向與實(shí)際方向相反 求解超靜定問(wèn)題，還可用解除多余約束法。例10：確定圓軸A端和B端的約束力偶矩。(解除多余約束法)mql 5 . 0l 5 . 0ABmqABl 5 . 0l 5 . 0C 扭力偶的矢量表達(dá)解：解除B端的約束，代之以相應(yīng)的約束力偶矩mB。mqABl 5 . 0l 5 . 0BmC注意：mB是待定的未知量！mqABl 5 . 0l 5 . 0CABl 5 . 0l 5 . 0BmC載荷分解mqABl 5 . 0l 5 . 0CABl 5 .