(人教版數(shù)學(xué))七年級(jí)競賽專題講解：第二十九講最值問題

1、精品資源第二十九講最值問題求某個(gè)量、或者幾個(gè)量的和、差、積、商的最大值和最小值，是數(shù)學(xué)問題中的一種常見 類型，又在實(shí)際生活與生產(chǎn)實(shí)踐中，我們經(jīng)常碰到一些帶有“最”字的問題，如投入最少、 路程最短、材料最省等，這些問題我們稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，解這類問題的基本知識(shí)與基本方法有：1 .窮舉獲取；2 .運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)；3 .利用不等分析逼近求解；4 .使用幾何公理、定理、性質(zhì)等.解這類問題時(shí)，既要說明最值可以達(dá)到，又要證明不可能比所求的值更大（或更小），前者需構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦?，后者需要詳?xì)說理.例題【例1】 設(shè)自然數(shù)x, v, m, n滿足條件x = y=m-=5 ,則x+y+m+n的最小值

2、是y m n 8（湖北省黃岡市競賽題）思路點(diǎn)撥把連等式拆開用，用一個(gè)字母的代數(shù)式表示另一個(gè)字母，利用隱含整除條件,分別求出x, y, m, n的最小值.【例2】設(shè)a、b、c滿足a2+b2+c2=9,那么代數(shù)式（a b）2+（b c）2+（c a）2的最大值是（）.A. 27 B. 18C. 15 D. 12（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）思路點(diǎn)撥 利用乘法公式，把代數(shù)式變形成與已知條件關(guān)聯(lián)的式子，進(jìn)而求出最大值.【例3】 已知n、k均為自然數(shù)，且滿足不等式 <6 ,若對(duì)于某一給定的自然13 n k 11數(shù)n,只有惟一的一個(gè)自然數(shù) k使不等式成立，求所有符合要求的自然數(shù)中的最大數(shù)和最小 數(shù).（“希望

3、杯”邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥 解關(guān)于k的不等式組，利用已知條件的約束， 通過窮舉求出n的最大數(shù)與最 小數(shù).注：解含等式、不等式組成的混合組的基本思路是：用消元法轉(zhuǎn)化為只合有一個(gè)未知數(shù)的不等式（組），解不等式（組）來逼近這個(gè)未知數(shù)的值，進(jìn)而解出相關(guān)問題【例4】某人租用一輛汽車由 A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示.若汽車行駛的平均速度為80千米/時(shí)，而汽車每行駛 1千米需要的平均費(fèi)用為 1.2元，試指出此人從 A城出發(fā)到B城的最短路線，并求出所需費(fèi) 用最少為多少元？（全國初中數(shù)學(xué)競賽題）9思路點(diǎn)撥 即要求出此人從 A城出發(fā)到B城的最短時(shí)間，而從A城到B

4、城有多條線路，故 只需一一列舉，比較就可得出結(jié)論.【例5】 某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品方案，準(zhǔn)備每周（按120個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共 360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn) 60臺(tái)，已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品 的所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：家電名稱空調(diào)器彩電冰箱工 時(shí)121314產(chǎn)值（千元）432問：每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少（以千元為單位）？（河南省競賽題）思路點(diǎn)撥 設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各 x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，產(chǎn)值為s,可得到關(guān) 于x、y、z的混合方程組，通過消元，建立一元不等式組，通過解不等式組，確定相應(yīng)字母 取值范圍，進(jìn)而求出 x的

5、最大值.學(xué)力訓(xùn)練1 .多項(xiàng)式些x2+y2 6x+8y+7的最小值為 .（江蘇省競賽題）2 .在式子x +1 +|x +2 +|x + 3 +|x +4中，用不同的 x值代人，得到對(duì)應(yīng)的值，在這些 對(duì)應(yīng)的值中，最小的值為 .3 .如果把分?jǐn)?shù) 9的分子、分母分別加上正整數(shù)a, b結(jié)果等于,那么a+b的最小值713是.（第15屆江蘇省競賽題）4 .當(dāng)x =且y=時(shí)，代數(shù)式x2 2y22x+8y 5有最大值，這個(gè)最大值是 .5 .若a、b、c、d為整數(shù)，且 b是正整數(shù)，滿足b+c=d, c+d =a,a+b=c,那么a+b+c+d的最大值是（）.A. - 1 B. 5 C.0 D. 16 .多項(xiàng)式5x

6、24xy+4y2+12x+25的最小值為（）.A. 4 B.5 C . 16 D. 25（“五羊杯”競賽題）7,已知 紅二1 -1 >x-5s3x ,求x 1 x + 3的最大值和最小值.328 .某校舉行慶祝“十六大”的文娛匯演，評(píng)出一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)l0個(gè)，三等獎(jiǎng)15個(gè).學(xué)校決定給獲獎(jiǎng)的學(xué)生發(fā)獎(jiǎng)品，同一等次的獎(jiǎng)品相同，并且只能從下表所列物品中選取一件：品 名小提琴運(yùn)動(dòng)服笛子舞鞋口 琴相冊(cè)筆記本鋼筆單價(jià)（元）12080242216654（1）如果獲獎(jiǎng)等次越高，獎(jiǎng)品單價(jià)就越高，那么學(xué)校最少要花多少錢買獎(jiǎng)品？（2）學(xué)校要求一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品單價(jià)是二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)的5倍，二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)品單價(jià)是三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

7、單價(jià)的4倍，在總費(fèi)用不超過1000元的前提下，有幾種購買方案？花費(fèi)最多的一種方案需 要多少錢？（江蘇泰州市試題）9 .現(xiàn)有某物質(zhì)73噸，計(jì)劃用載重量分別為 7噸和5噸的兩種卡車一次運(yùn)走， 且每輛車都要 裝滿，已知載重量7噸的卡車每臺(tái)車運(yùn)費(fèi) 65元，載重量5噸的卡車每臺(tái)車運(yùn)費(fèi) 50元，問最 省運(yùn)費(fèi)是多少元？（重慶市競賽題）10 .設(shè)m, n是非零自然數(shù)，并且 19n2- 98nm=0,則m+n的最小值是 .（國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）11 .設(shè)ai, a2,，ak為k個(gè)互不相同的正整數(shù)，且a+a2+ak= 1995,那么k的最大值是 . 12. a、b、c 是非負(fù)數(shù)，并且滿足 3a+2b+c= 5

8、, 2a+b 3c=1,設(shè) m=3a+b7c,設(shè) x 為 m 的最小值，y為m的最大值，則xy =.（2003年北京市競賽題）13 .甲、乙兩個(gè)糧庫分別存糧 600噸、1400噸，A、B兩市分別用糧1200噸、800噸，需 從甲、乙兩糧庫調(diào)運(yùn)，由甲庫到A、B兩市的運(yùn)費(fèi)分別為 6元/噸、5元/噸；由 乙?guī)斓紸、 B兩市的運(yùn)費(fèi)分別是 9元/噸、6元/噸，則總運(yùn)費(fèi)最少需 元.（北京市“迎春杯”競賽題）14 .設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且a<3b, b<5c, c<7d, d<30,則a的最大可能值是 （）.A . 3026 B. 3029C. 3045 D. 3150（“數(shù)學(xué)

9、新蕾”競賽題）15 .某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)5元（即行駛距離不超過 3千米都需付5元車費(fèi)），超過3千米以后，每增加 0. 5千米，加收0. 9元（不足0. 5千米按0. 5千米計(jì)）.某人乘坐 這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)19. 4元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路的最遠(yuǎn)可能值是（）千米.A. 12 B. 11 C. 10 D. 9（重慶市競賽題）16 .把一根lm長的金屬線材，截成長為23cm和13cm的兩種規(guī)格，用怎樣的方案截取材料 利用率最高？求出最高利用率.（利用率=實(shí)際利用材料長度 M100%,截口損耗不計(jì)） 原材料長度（江蘇省競賽題）17,已知an a?,，a?。的值都是+1

10、或一1,設(shè)S是這2002個(gè)數(shù)的兩兩乘積之和.（1）求S的最大值和最小值，并指出能達(dá)到最大值、最小值的條件；（2）求S的最小正值，并指出能達(dá)到最小正值的條件.（“我愛數(shù)學(xué)”夏令營競賽題 ）18 . 6盒火柴按“規(guī)則方式”打包，所謂“規(guī)則方式”是指每相鄰2盒必須是以完全重合的面對(duì)接，最后得到的包裝形狀要是一個(gè)長方體.已知火柴盒的長、寬、高尺寸分別是：a=46mm, b=36mm, c=16mm ,請(qǐng)你給出一種能使表面積最小的打包方式，并畫出其示意圖.19 .永強(qiáng)加工廠接到一批訂單，為完成訂單任務(wù)，需用a米長的材料440根，b米長的材料480根，可采購到的原料有三種，一根甲種原料可截得a米長的材料4

11、根，6米長的材料8根，成本為60元；一根乙種原料可截得 a米長的材料6根，b米長的材料2根，成本為50 元；一根丙種原料可截得 a米長的材料4根，b米長的材料4根，成本為40元.問怎樣采 購，可使材料成本最低 ？（第六屆北京市數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽試題）畫最值問黑【例題求解】例1 115?提示：工"_1_¥,m=_山忖=_1_制=整3,因£5|y*8iya故y有最小值2。. uDDZu例工 選A 提示；原式=職1+#+/>一腦+ &+）,<27例3醴示咕V*得差<山<早 4<-<4'Id n-TR 11 b n fo

12、n fD*因*為自然觸，且對(duì)于給定的四東說的值只有一個(gè)故 4«'4<2' 幅 ya4 i 0當(dāng)神=用時(shí)，代人有 箱惟一的點(diǎn)值為門，又由褐n>7當(dāng)邪=8,jj=g,n = lO.g，時(shí)=12 時(shí)，有 6 件<*<6 與 J .gVT 洲-y<K8 -y »9 .M*-y »10<*<10 字,沒有符合條件的整數(shù)£當(dāng)13 時(shí).宥 10 4<*«1 :M11擦上知用的最大值為841的最小值為IX例4從4城出發(fā)到8城的路線有如下兩類：門 :從A城出境到這8城，鯨式O城.四從A城到門城所黃攙

13、矩時(shí)同為2«小時(shí)，從。城到B城所需堆短時(shí)間為建小時(shí).故此類路鞋所需最短時(shí)間為桀+降=前小時(shí)，壯丁從4城州發(fā)利達(dá)8城，不經(jīng)過門城.這時(shí)從八城到E城*必定鋰過二D.E城或F.G.H城，所而忖間至少為4g小時(shí)，綜上，從A城到拈B城所需的最鬼時(shí)間為4&小時(shí).所走的路線為4-F<）E -rH.所需的費(fèi)用般少為8OX 4&XL-46阿元）依通意得T方 Jr+ -y+ =r= 120fKGOSf 4k+ 3y+ 27* 由+樣JTr>=360|-4歡迎下載代人，整理將S=108。一 3*固§隨宅的修大而藺小,故由知當(dāng)*=6。時(shí)+ S.* = L05Q（千元L此

14、時(shí)工：，-孤* y= 270.【學(xué)力訓(xùn)練】L -18提札原式i工一少+ 3+4）工一182. 43. 26提示：由第=得，得4 6+喑 -f- 0 ,口w4. -1,-2 J 提示二原式=43（土41,1乳/+2產(chǎn) 5. B6. C 理承，畫式-（h一力產(chǎn)十與寸3尸+ 1日7,提示陽不等式,樹工1方，原式一t-KC.M而知最大值為4.聚小值才一34.（工<T）丸3,岫少花錢叔為6¥5+5*10+4乂15 = 1如元）外有兩種購買方案.方案l三等奘，二等獎(jiǎng)，一等置分別選4元/6元評(píng)0元單俳的獎(jiǎng)品，方案三一等獎(jiǎng),二等箕，一等縫 分別選6元,24元、1加元單帶的贊品一花費(fèi)最累的是后者

15、,為白加元一丸7噸卡車-噸運(yùn)皆為63 + T = y /元"EL5噸卡東一噸運(yùn)料為5g5=1。（元，噸）.因此曲辱H使用7噸卡車設(shè)7啤卡車丁輛.5睡卡車y輛,則工+力工?3,上=7,飛2,當(dāng)*=之時(shí),J1般大值為九此時(shí)運(yùn)制為965 + 2X50=68j（7i；）10, 102 提示 1川=川19”一981。+】”一98¥0II.鍛 提示E不妨設(shè)川山0，<小，乂閑山.“明9都為正整故，可知5去1.出»”，,為¥3則有+2+五毫四+h I 山+的】的5,即一j<1的5/1氐/62另一方面.當(dāng)山=1必=?.，麗=6,山小網(wǎng)時(shí).這樣的切必*，時(shí)確實(shí)橢

16、足條件.II.捺臼，J aa。元 提那r設(shè)由甲庫調(diào)運(yùn)j噸16食到用市.總運(yùn)詔為了,剝yk&r+6（6OO -上）十可為0。= ）+ 9< 6Q）4-j-> = I31S00+ 2x<0<j-<6OD>14. A提示議氈?jǐn)?shù) a.b,若 a<h.則 口十1名1>15, B1品提示：設(shè)【舊的僉屬線材藏取長為之加血的級(jí)材r根，截取長為13cm的線材事根，則材科的利用率,=絲吐4y（X）醬.1 oo由朝您,知招1+1打冠10<1,。<工（4加<¥至7,工、了都是整數(shù),且年+13%-盡可能接近I0U,當(dāng)才=4時(shí).3 一 口

17、，產(chǎn)92%當(dāng) *=3時(shí),y=£=BH*;當(dāng)工=蕓時(shí).¥="4,彳=98死當(dāng)時(shí),¥=5*用=88珞：當(dāng)尸=0時(shí) 9韓，百見相|m長的金屬 微樹.健成Z3Gn的2根，13cm的4根時(shí)，材料利用率品高，最露利用率為98%.17. （1 “at +«! Hb&z：/=的" +uJ + ”+ +小時(shí)/+ 2w-2OT2 + 2m. m= +&/C -2唾當(dāng) =QT U 1 H r3 ZU-Z'Z-1或一1時(shí),吸取最大值2003噸1.當(dāng)可、曲“”地中希有100 -t 1 JOO個(gè)一 1時(shí),如取最小值一IDO.r行因?yàn)榇笥诩?/p>

18、壯的般小完全平方較為心, = 2嵬5 .且由十位q-f七也必為固鼓.所以，當(dāng)回+小期=4&或一48.即&|.口口.Um中的有。24個(gè)1.978 T-1或恰有102，i個(gè)一 1.978個(gè)I時(shí)由取最小批為r一 2。怩1 = 57,國甲18，攤水i白火柴的圖形如圖甲所示,底三三個(gè)面的面機(jī)記為< A = 6r等慮到6盒火.柴,6=1M6 = 243,因此，現(xiàn) 則方式打包有同類L1X6”和-2X3”門）uA6>r,在#6的方式下,收面枳最小的打包麻式為如圖乙，這時(shí)，式面粒. -2C+I2ii+2A圖向圖乙”>#>在2X3的方式下看而租最小的打包形式應(yīng)如圖兩'這時(shí),.我面粒5.-4（76+12分別將046mm -6 - 36mm .廣 16nlm代入.通過計(jì)尊.得Sj = 2X46X36 M2X46X 16 +