3.2 矩陣的秩ppt課件

1、3.2 矩陣的秩 我們已經(jīng)知道 給定一個(gè)mn矩陣A 它的標(biāo)準(zhǔn)形 nmrOOOEF由數(shù)r完全確定. 這個(gè)數(shù)也就是A的行階梯形中非零行的行數(shù) 這個(gè)數(shù)便是矩陣A的秩. 下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A vk階子式 在mn矩陣A中 任取k行與k列(km kn) 位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素 不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式 稱為矩陣A的k階子式. 例如 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A mn 矩陣 A 的 k 階子式有knkmCC個(gè). 下頁(yè)D 是A的一個(gè)二階子式

2、.1131上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)說(shuō)明 v矩陣的秩 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D 且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0 那么D稱為矩陣A的最高階非零子式 數(shù)r稱為矩陣A的秩 記作R(A). 并規(guī)定零矩陣的秩等于0. 矩陣A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高階數(shù). (1)若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0 則R(A)s 若A中所有t階子式全為0 則R(A)t. (2)若A為mn矩陣 則0R(A)minm n. (3)R(AT)R(A). v幾個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v矩陣的秩 設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D 且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0 那么D稱為

3、矩陣A的最高階非零子式 數(shù)r稱為矩陣A的秩 記作R(A). 并規(guī)定零矩陣的秩等于0. (1)若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0 則R(A)s 若A中所有t階子式全為0 則R(A)t. (2)若A為mn矩陣 則0R(A)minm n. (3)R(AT)R(A). v幾個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論 (4)對(duì)于n階矩陣A 當(dāng)|A|0時(shí) R(A)n 當(dāng)|A|0時(shí) R(A)n. 可逆矩陣又稱為滿秩矩陣 不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱為降秩矩陣. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 例1 求矩陣A和B的秩 其中174532321A 00000340005213023012B. 在A中 容易看出一個(gè)2階子式 013221 A的3階子式只

4、有一個(gè)|A| 經(jīng)計(jì)算可知|A|0 因此R(A)2. 解 以三個(gè)非零行的首非零元為對(duì)角元的3階子式400230312是一個(gè)上三角行列式 它顯然不等于0 因此R(B)3. B是一個(gè)有3個(gè)非零行的行階梯形矩陣 其所有4階子式全為零. 對(duì)于行階梯形矩陣 它的秩就等于非零行的行數(shù). 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理1 若AB 則R(A)R(B). 根據(jù)這一定理 為求矩陣的秩 只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)因?yàn)?解 41461351021632305023A 例2 求矩陣A的秩 并求A的一個(gè)最高階非零子式 其中 4146135

5、1021632305023A. 00000840001134041461 所以R(A)3. 為求A的最高階非零子式 考慮由A的 1、2、4 列構(gòu)成的矩陣 1615026235230A. 因?yàn)锳0的子式0502623523 所以這個(gè)子式是A的最高階非零子式. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)注 以B為增廣矩陣的線性方程組Axb是無(wú)解的 這是因?yàn)樾须A梯形矩陣的第3行表示矛盾方程01. 例3 求矩陣A及B(A b)的秩 其中 6063324208421221A 4321b. 對(duì)B作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣 設(shè)B的行階梯形矩陣為B0(A0 b0) 則A0就是A的行階梯形矩陣 故從B0(A0 b0)中可同時(shí)

6、看出R(A)及R(B). 解 46063332422084211221B00000100000120011221 因?yàn)樗訰(A)2 R(B)3. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例4 設(shè) 已知R(A)2 求與的值. 6352132111A 解 6352132111A因R(A)2 故 458044302111015044302111 0105 即0105 即15. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) (6)R(AB)R(A)R(B). (5)maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特別地 當(dāng)Bb為列向量時(shí) 有R(A)R(A b)R(A)1. (4)若P、Q可逆 則R(PAQ)R(A). 這是

7、因?yàn)?AB B)(A B) 于是下頁(yè)R(AB B)R(A B)R(AB)R(A)R(B).v矩陣秩的性質(zhì) (1)0R(Amn)minm n. (2)R(AT)R(A). (3)若AB 則R(A)R(B).上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v矩陣秩的性質(zhì) (8)若Amn BnlO 則R(A)R(B)n. (7)R(AB)minR(A) R(B). (6)R(AB)R(A)R(B). (5)maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特別地 當(dāng)Bb為列向量時(shí) 有R(A)R(A b)R(A)1. (4)若P、Q可逆 則R(PAQ)R(A). 下頁(yè) (1)0R(Amn)minm n. (2)R(AT)R(A). (3)若AB 則R(A)R(B).上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示