理論力學(xué)A(2)基本知識點(diǎn)

1、剛體的平面運(yùn)動剛體的平面運(yùn)動 平面圖形在其自身平面的運(yùn)動平面圖形在其自身平面的運(yùn)動平面圖形在其自身平面的運(yùn)動平面圖形在其自身平面的運(yùn)動v 選選輪心輪心A 為基點(diǎn)為基點(diǎn)車輪的平面運(yùn)動車輪的平面運(yùn)動隨基點(diǎn)隨基點(diǎn)A 的平動的平動繞基點(diǎn)繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動剛體的平面運(yùn)動剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨基可以分解為隨基點(diǎn)的點(diǎn)的平動平動和繞基和繞基點(diǎn)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。+ 牽連運(yùn)動牽連運(yùn)動 相對運(yùn)動相對運(yùn)動絕對運(yùn)動絕對運(yùn)動點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度yxABvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvASreavvv BAABvvv ABvBA 兩個分量式，兩個分量式， 求解兩個未知量求解兩個未知量平面矢量式平面矢量式ABvBA

2、標(biāo)量式，標(biāo)量式， 求解一個未知量求解一個未知量 cos cosBAvvABvBvAvBAS點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度vAABBAABAABBvvv)()()( ABAABBvv)()( 速度投影定理速度投影定理可以通過剛體的定義直接得到！可以通過剛體的定義直接得到！+ 牽連運(yùn)動牽連運(yùn)動 相對運(yùn)動相對運(yùn)動絕對運(yùn)動絕對運(yùn)動AvAvA AvAP?BPAAPvvv PAB90o90oPABP90o90oAB90o90oPAB90o90oBAvv 0 APvA 0, 0 BAaAaB點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度BAaAanBAaAatBAreaaaa BAABaaa BAnBAABaaaa 2 AB ABAB AB 平面

3、矢量式平面矢量式 兩個分量式，兩個分量式， 求解兩個未知量求解兩個未知量確定速度瞬心位置的方法確定速度瞬心位置的方法AAAABBBBAvAvAvAvBvBvBvBv（a）（b）（c）（d）ABBvAv已知已知A、B兩點(diǎn)的速度方向，兩點(diǎn)的速度方向，試確定速度瞬心的位置。試確定速度瞬心的位置。瞬時平移瞬時平移Fdtrdm22zyxFdtzdmFdtydmFdtxdm222222 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的三種形式一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的三種形式直角坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式矢量形式矢量形式bntFmFvmFdtdvm02自然軸形式自然軸形式1.第一類基本問題第一類基本問題已知運(yùn)動已知運(yùn)動, 求作用力求作用力積分常

4、數(shù)由初始條件初始條件決定2.第二類基本問題第二類基本問題已知作用力已知作用力, ,求運(yùn)動求運(yùn)動 常力常力 F = 常數(shù) 重力 力是時間的函數(shù)力是時間的函數(shù) F = f(t) 電磁力 力是位置坐標(biāo)的函數(shù)力是位置坐標(biāo)的函數(shù) F = f(x) 彈性力，萬有引力 力是速度的函數(shù)力是速度的函數(shù) F = f(v) 介質(zhì)阻力 微分問題微分問題 積分問題積分問題vpmiiim vp mmiiiC rrmmiiiC vvCm vp czzcyycxxmvpmvpmvp 質(zhì)系的動量質(zhì)系的動量oPLMoMvO質(zhì)點(diǎn)系動量是反映質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動量是反映質(zhì)點(diǎn)系隨質(zhì)心平動的運(yùn)動量隨質(zhì)心平動的運(yùn)動量0vo 0P oMvP 2L

5、MP ooMvOoMvP MRPPPPeRFdpd t21dFppeR12ttteReReRdd,dd,ddzzyyxxFtpFtpFtp 0eRF, 0eR xFCmv iiim vp eRFaCmeReReRzCzyCyxCxFmaFmaFma,0eRF0FeRzeRiFaaiCiCmm質(zhì)心運(yùn)動守恒定律質(zhì)心運(yùn)動守恒定律若作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢恒等于零，則若作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢恒等于零，則質(zhì)心的質(zhì)心的位置或者位置或者靜止靜止或者做或者做勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動若作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某個軸上的投影恒若作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某個軸上的投影恒等于零，則等于零，則質(zhì)心位置在該軸上的質(zhì)心位置在

6、該軸上的投影投影或者或者靜止靜止，或者做或者做勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動。對于剛體或剛體系統(tǒng)，其質(zhì)心容易確定，應(yīng)用對于剛體或剛體系統(tǒng)，其質(zhì)心容易確定，應(yīng)用動量定理時，主要采用質(zhì)心運(yùn)動形式動量定理時，主要采用質(zhì)心運(yùn)動形式質(zhì)心運(yùn)質(zhì)心運(yùn)動定理。動定理。 在爆破山石時，土石碎塊向各處飛落，在尚無碎石落地前，所有土石碎塊為一質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的運(yùn)動與一個拋射質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動相同。 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，可以在采取定向爆破時，預(yù)先估計大部分土石塊堆落的地方。 質(zhì)心運(yùn)動定理說明：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動，質(zhì)心運(yùn)動定理說明：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動。CvP動量定

7、理 建立了作用力作用力與動量變化動量變化之間的關(guān)系，揭示了質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的一個側(cè)面（平動效應(yīng)），而不是全貌。 例如，圓輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動時，無論它怎樣轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動，圓輪的動量都是零，動量定理不能說明這種運(yùn)動規(guī)律。動量矩定理: 則是從另一個側(cè)面，揭示出質(zhì)點(diǎn)系相對于某一定點(diǎn)或質(zhì)心的運(yùn)動規(guī)律（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）。vrvMmmO)()()(xyzzmMmMvv xyzq qOmvMO(mv)Mz(mv)r mvxy)()(vvMmMmzzOiiioiiiiOmm)(vMvrLm1mnmim3m2iiizzmML)(vzzOLL質(zhì)點(diǎn)系對于某軸（質(zhì)點(diǎn)系對于某軸（z軸）的軸）的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對于同一動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對于

8、同一 z 軸軸的動量矩的代數(shù)和的動量矩的代數(shù)和質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對定點(diǎn)O 的動量矩等于質(zhì)的動量矩等于質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)定點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)定 O 的動的動量矩的矢量和（主矩）量矩的矢量和（主矩） 將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，平動剛體作為一個質(zhì)將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，平動剛體作為一個質(zhì)點(diǎn)來計算其點(diǎn)來計算其viOrivcCrc平動剛體平動剛體: )(iiiovmrL iiivrm)(vMrc ccMvr iiiiOzrvmL)(rimiiiizrmJ2 iiiirrm)( ozzLJ2()i iim rFvtmd)(dFrvrtmd)d(vrvrvrmttmmtddddd)()(d )( , 0dd

9、FMFrvvvrOmmt而)F(M)v(Mdd , Fr)vr(ddOOmtmt ei)(ddiiiiiiimtFrFrvrm1mnmim3m2iiiiiiiiiimteiddFrFrvr0iiiiFriiiiiiimteddFrvreddOOtML 21deO12ttOOtMLLeeedd,dd,ddOzOzOyOyOxOxMtLMtLMtL 21deOx12ttxxtMLL，0eOMCL O=常矢量常矢量, 0e xM=常量常量ziiiiiiiiOzJrrmrvmL)()(eddOzOzMtLzzzzzzMJMJMJ rimi 2222121 mldxlmxJllz 202 31 mldx

10、lmxJlz VzdmrJ2 iiizrmJ2mJzz z2zzmJ221MRJz zMR 均質(zhì)圓盤或圓柱均質(zhì)圓盤或圓柱 質(zhì)量質(zhì)量M，半徑，半徑R2MRJz 均質(zhì)均質(zhì)環(huán)環(huán) 質(zhì)量質(zhì)量M，半徑，半徑R)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJ，dyyxxiiii , iiiiiiymddmyxm2 )()(222CzzO/ )(22dyxmJiiiz 0Ciimyym2mdJJzCz 式中式中 ZC軸為過質(zhì)心軸為過質(zhì)心C且與且與 Z 軸平行的軸，軸平行的軸，d為為Z與與ZC軸之間的距離。軸之間的距離。盤盤桿桿OOOJJJ 222221)(2131RlmRmlm)423(

11、213122221lRlRmlmzLMz22)2(121lMMlJz 231Ml OJ 求：求： .ld已知：桿長為已知：桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 . .1m2m21JJJz2222112121RmRm222mR l211mR l其中其中2212 ()l RRm由由 ，得得)(222121RRmJz 44121 ()2zJl RR222212121 ()()2l RRRR21,RRm已知已知： 。zJ 求求 ： . .思考：思考：如圖所示復(fù)擺如何確定對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量？如圖所示復(fù)擺如何確定對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量？將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 O O 上，作微幅擺

12、動上，作微幅擺動. .mglJTo2由由lm,ToJ其中其中 已知已知, , 可測得，從而求得可測得，從而求得 . .質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理1 1對質(zhì)心的動量矩對質(zhì)心的動量矩CCiiiiiLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvCiiCiiirLrmvrmv( )0iiCiiCrmvmrvxyz x y zCCrOimiriririivmr?0()OCiiLrrmv)CiiiirmvrmvCvmCLCCCOLvmrL 質(zhì)點(diǎn)系（剛體）對任意定質(zhì)點(diǎn)系（剛體）對任意定O O 點(diǎn)的動量矩等于質(zhì)點(diǎn)的動量矩等于質(zhì)點(diǎn)系（剛體）隨質(zhì)心平移的動量對定點(diǎn)系（剛體）隨質(zhì)心平移

13、的動量對定O O 點(diǎn)之矩加上質(zhì)點(diǎn)之矩加上質(zhì)點(diǎn)系（剛體）對質(zhì)心的動量矩：點(diǎn)系（剛體）對質(zhì)心的動量矩：CCCOLvmrL 投影式：投影式： ZCCZZLvmML xyz x y zCCrOimirir eddddOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相對質(zhì)心的動量矩定理相對質(zhì)心的動量矩定理 eeCiiirFrFddddddCCCCCrLmvrmvtttCv0( )eiF eddCiiLrFt ed()dCCiLMFt質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的用于質(zhì)點(diǎn)系的外

14、力對質(zhì)心的主矩主矩. .xyz x y zCCrOimirir eiCeiiCFMFrLdtd質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心相對于質(zhì)心的動量矩定理：的動量矩定理： 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心相對于質(zhì)心的動量的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對點(diǎn)系的外力對質(zhì)心質(zhì)心的主矩。的主矩。這一表達(dá)式只有將質(zhì)心取為矩心才是正確的。這一表達(dá)式只有將質(zhì)心取為矩心才是正確的。當(dāng)外力對質(zhì)心的主矩為當(dāng)外力對質(zhì)心的主矩為0 0 時：時：CCLeCMdLdCt CL CeFaCm )F(ddeiCCMtL)F(e222222 iCCycxcMdtdJFdtydmFdtxdm 平面運(yùn)動平面運(yùn)動

15、隨隨牽連牽連平移平移繞繞相對相對轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動基點(diǎn)基點(diǎn) CCJL )F(e iCCeCyexCxMJFmaFmay 補(bǔ)充方程方程(運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué))221mv iiivmT221永為正值的標(biāo)量永為正值的標(biāo)量22221)(2121CCiiimvvmvmT 221 zJT222121 CCJmvT 221 PJT )(2121222122121 kkxkxdxWF(幾種常見力的功幾種常見力的功) 重力的功重力的功PhzzPPdzWzzP )(2121 彈性力的功彈性力的功原長L0 , 初變形初變形 1未變形未變形 2彈簧剛性系數(shù)k 轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功 dFmWzM)(21 力偶的功力偶

16、的功 摩檫力的功摩檫力的功)(12 MWMCFmz )()()(12 FmWz作負(fù)功作負(fù)功psFsWrdF 0dvF tps 光滑固定面約束光滑固定面約束 活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承 聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）)d( 0dNNrFrFWrFrFddW0ddrFrF理想約束理想約束rdO0 rdFFrdFrdFW)( FrdOFrd剛性二力桿剛性二力桿2F1F1rd12rd2AB2211rdFrdFW2211 coscosdrdr 21FF 0222111 coscosdrFdrF)cos(cos222111drFdrF1F2F

17、1rd2rd21O不可伸長細(xì)繩不可伸長細(xì)繩為剛體上所受各力作功的代數(shù)和。為剛體上所受各力作功的代數(shù)和。為力系向質(zhì)心簡化所得的力與力偶作功之和。為力系向質(zhì)心簡化所得的力與力偶作功之和。 平面運(yùn)動剛體上力系的功平面運(yùn)動剛體上力系的功當(dāng)當(dāng)C：C1C2時時, 2121dMrdFWCCCCR該結(jié)論同樣適用于作一般運(yùn)動的剛體，基點(diǎn)也可以是該結(jié)論同樣適用于作一般運(yùn)動的剛體，基點(diǎn)也可以是剛體上任一點(diǎn)。剛體上任一點(diǎn)。 計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。 21 : 重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力力F F 作功

18、，將力作功，將力F F 向質(zhì)心簡化，得向質(zhì)心簡化，得解：解：2CWF sMFsCFSPFNFFMc tWPd MddMdttWPdt)21d(2mvFdtdvm vFvdtdvm P Pmvdt)21d(21212 WTT PdtdT PtTdd W dTvF tdrdF 若作用力分類若作用力分類(內(nèi)力和外力內(nèi)力和外力)時時當(dāng)當(dāng)0 ABr 內(nèi)內(nèi)外外PPtTdd 約約主主PP 約約主主WW內(nèi)內(nèi)外外 WWTT12內(nèi)內(nèi)外外 WW dT 約約主主WW 0約約W 主主PdtdT 主主WTT12理想約束條件下理想約束條件下0 iW內(nèi)內(nèi) 剛體的內(nèi)力功之和等于零剛體的內(nèi)力功之和等于零 但變形體內(nèi)力功之和不為零

19、但變形體內(nèi)力功之和不為零eRFdpdt21dFppeR12ttt0eRF 21deO12ttOOtMLLeddOOMtL0MeOCL OtTdd約主PP12TT 約主WWdT約主WWeFaCm )F(ddeiCCMtL矢量式矢量式,矢量式矢量式求大小和方向求大小和方向保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒0MecCL c描述隨質(zhì)心運(yùn)動及相對質(zhì)描述隨質(zhì)心運(yùn)動及相對質(zhì)心運(yùn)動中動能的變化心運(yùn)動中動能的變化只有外力無內(nèi)力只有外力無內(nèi)力有外力和作功內(nèi)力有外力和作功內(nèi)力理想約束不作功理想約束不作功只有外力無內(nèi)力只有外力無內(nèi)力作用點(diǎn)作用點(diǎn)：在施力物體上：在施力物體上IFma maFFI大小大?。?FI =

20、 ma定義定義：由于物體具有慣性，抵抗其：由于物體具有慣性，抵抗其 運(yùn)動狀態(tài)改變，而給予外界運(yùn)動狀態(tài)改變，而給予外界 的一種反作用力的一種反作用力。方向方向： FI與與a的方向相反的方向相反(達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理)1. 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)FImvaFR質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理 作用在質(zhì)點(diǎn)的主動力、約束力和作用在質(zhì)點(diǎn)的主動力、約束力和虛加的慣性力虛加的慣性力在在形形式上式上組成平衡力系組成平衡力系. . 2.質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系niF,F,F,F21niNN2N1NF,F,F,FIIIiInF ,F ,F ,F12iNiIiiiiFFF0OiONiOIiiiiM ( F )M ( F )M ( F )0eiIiiiFF 0eOiOIiiiM ( F )M ( F ) 00iNiIiFFF記記eiF為第為第i個質(zhì)點(diǎn)上的外力個質(zhì)點(diǎn)上的外力.IRIiiiCiiFF(m a )M a慣性力系向任一點(diǎn)的簡化慣性力系向任一點(diǎn)的簡化IooIiMm ( F ) 主矢主矢主矩主矩 平動平動(向質(zhì)心點(diǎn)簡化向質(zhì)心點(diǎn)簡化)虛加點(diǎn)虛加點(diǎn)：剛體質(zhì)心：剛體質(zhì)心C上上ICCFma 大小