相似判定和性質補充(含解析)

1、魔術學堂相似判定和性質補充一、選擇題1、如圖，已知：ABC、DEA是兩個全等的等腰直角三角形，BAC=D=90°，兩條直角邊AB、AD重合，把AD繞點A逆時針旋轉角（0°90°），到如圖所示的位置時，BC分別與AD、AE相交于點F、G，則圖中共有（）對相似三角形A1B2C3D42、ABC中，F(xiàn)是AC的中點，D、E三等分BC、BF與AD、AE分別交于P、Q，則BP：PQ：QF=（）A5：3：2B3：2：1C4：3：1D4：3：23、如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點，BF交AD的延長線于G，則圖中的相似三角形對數(shù)共有（ ）A8對；B6對；C4對；D

2、2對4、如圖所示，給出下列條件：B=ACD；ADC=ACB；=；=ADAB其中單獨能夠判定ABCACD的個數(shù)為( )A .1B .2C .3D .45、在ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），連結AD，作ADE=B=，DE交AC于點E，且cos=有下列結論：ADEACD； 當BD=6時，ABD與DCE全等；當DCE為直角三角形時，BD=8；3.6AE10其中正確的結論是( )A .B .C .D .6、如圖，ABC中，AE交BC于點D，C=E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，則DE的長等于（）ABCD7、如圖，已知ABAC，要使AEFACB，且EF與BC不

3、平行，還需補充的條件可以是（）AAEF=BBAFE=CCAFE=BDA=A8、如圖，ABC中，P為AB上一點，在下列四個條件中：ACP=B；APC=ACB；AC2=APAB；ABCP=APCB，能滿足APC與ACB相似的條件是（）ABCD9、如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中ABC相似的是（）ABCD10、如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，則SBDE：SACD=（）A1：16B1：18C1：20D1：2411、如圖，在ABC中，D是邊AC上一點，聯(lián)結BD，給出下列條件：ABD=ACB；AB2=ADAC；A

4、DBC=ABBD；ABBC=ACBD其中單獨能夠判定ABDACB的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個12、如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AFDE于點O，則等于（）ABCD13、下列判斷正確的是（）A在ABC 和DEF中，A=40°，B=70°；D=40°，F(xiàn)=80°；則可判定這兩個三角形相似B有一銳角對應相等的兩個直角三角形相似C所有的矩形都相似D所有的菱形都相似14、下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）ABCD15、如圖，ABC中，D、E分別為AC、BC邊上的點，ABDE，CF為AB邊上的中線，若AD=5，CD=3，DE=4

5、，則BF的長為（）ABCD二、填空題16、如圖，點D、E、F在ABC三邊上，EF、DG相交于點H，ABC=EFC=70°，ACB=60°，DGB=50°，圖中與GFH相似的三角形的個數(shù)是 _ 三、解答題17、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過點B作BECD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且BFE=C（1）求證：ABFEAD；（2）若AB=4，BAE=30°，AD=3，求AE和BF的長18、已知：O為四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點，將直角三角板的直角頂點與O點重合，轉動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點分別為M、N（1）若ABCD為

6、正方形，如圖，猜想：線段OM與ON間的大小關系，并證明你的結論；（2）若ABCD為矩形，如圖，且AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，求y與x之間的函數(shù)關系式19、如圖，已知ABC是等邊三角形，AB=4，D是AC邊上一動點（不與A、C點重合），EF垂直平分BD，分別交AB、BC于點E、F，設CD=x，AE=y（1）求證：AEDCDF；（2）求y關于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；（3）過點D作DHAB，垂足為點H，當EH=1時，求線段CD的長20、定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點C為線段AB的黃金分割點如圖2，ABC中，AB=AC=1，A=36°，BD平分

7、ABC交AC于點D（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；（2）求出線段AD的長21、已知：如圖，在ABC中，BAC=90°，AHBC于H，以AB和AC為邊在RtABC外作等邊ABD和ACE，求證：DHHE22、如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFE=B（1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長23、如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點，且滿足=DBCE（1）說明：ADBEAC；（2）若BAC=40°，求DAE的度數(shù)。試卷 第23/23頁魔術

8、學堂相似判定和性質補充的答案和解析一、選擇題1、答案：D試題分析：根據已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到答案試題解析：ABC與DEA是兩個全等的等腰直角三角形，BAC=EDA=90°，C=B=DAE=E=45°，CFA=B+FAB，GAB=FAG+FAB，CFA=BAG，CAFBGA，BGAAGFCAF；還有ABCDEA，相似三角形共有4對故選：D2、答案：A試題分析：過F作FNBC，交AE于M，AD于N，根據相似三角形性質和判定求出FQ=BF，PQ=BF，BP=BF，代入求出即可試題解析：過F作FNBC，交AE于M，AD于N，F(xiàn)為AC中點，F(xiàn)M是AEC中位線，M

9、F=CE，CE=2FM，BD=DE=CE，BE=2CE=4FM，F(xiàn)MBC，F(xiàn)MQBEQ，=，F(xiàn)N是ADC的中位線，F(xiàn)N=CD=CE=BD，F(xiàn)NBC，F(xiàn)NPBDP，=1，BP=PF，=，=，F(xiàn)Q=BF，BP=BF，F(xiàn)Q=BF，PQ=PF-QF=BF-BF=BF，BP：PQ：QF=（BF）：（BF）：（BF）=5：3：2故選：A3、答案：B試題分析：根據平行四邊形的性質，得到平行四邊形的對邊平行，即ADBC，ABCD；再根據相似三角形的判定方法：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊或另兩邊的延長線所構成的三角形相似，進而得出答案四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，BECGEA，ABEC

10、EF，GDFGAB，DGFBCF，GABBCF，還有ABCCDA（是特殊相似），共有6對故選：C4、答案：D試題分析：本題考查了相似三角形的判定，根據條件可依次判定是否為相似三角形B=ACD；A=AABCACD，故正確；ADC=ACB；A=AABCACD，故正確；=對應邊成比例ABCACD，故正確；=ADAB=對應邊成比例，ABCACD，故正確；故選：D.5、答案：C試題分析：根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；由BD=6，則DC=10，然后根據有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；依據相似三角形對應邊成比例即可求得。解：AB=AC，

11、B=C，又ADE=B，ADE=C，ADEACD；故正確；作AGBC于G，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BG=ABcosB，BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，BD=6，DC=10，AB=DC在ABD與DCE中，ABDDCE（ASA）故正確；當AED=90°時，由可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90°，ADC=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=，AB=10，BD=8當CDE=90°時，易證CDEBAD，CDE=90°，BAD=90°，B=且cos=，

12、AB=10，cosB=，BD=即當DCE為直角三角形時，BD=8或故錯誤；易證得CDEBAD，由可知BC=16，設BD=y，CE=x，=，=，整理得：-16y+64=64-10x，即=64-10x，0x6.4，AE=AC-CE=10-x，3.6AE10故正確故正確的結論為：故選：C6、答案：B試題分析：由ADC=BDE，C=E，可得ADCBDE，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案試題解析：ADC=BDE，C=E，ADCBDE，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，BD=5，DC=3，DE=故選：B7、答案：C試題分析：利用兩角法可判斷AEFACB，首先A=A，再添加一個即可試題解析

13、：EF與BC不平行，AFEC，AEFB，可添加AFE=B證明：A=A，AFE=C，AEFACB故選C8、答案：A試題分析：根據相似三角形的判定方法對各個條件進行分析，從而得到最后答案試題解析：A=AACP=B，APC=ACB時都相似；AC2=APABAC：AB=AP：AC相似；此兩個對應邊的夾角不是A，所以不相似所以能滿足APC與ACB相似的條件是故選A9、答案：B試題分析：本題主要應用兩三角形相似判定定理，三邊對應成比例，分別對各選項進行分析即可得出答案試題解析：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、只有選項B的各邊為1、與它的各邊對應成比例故選：B10、答案：C試題分析：設BD

14、E的面積為a，表示出CDE的面積為4a，根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后求出DBE和ABC相似，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出ABC的面積，然后表示出ACD的面積，再求出比值即可試題解析：SBDE：SCDE=1：4，設BDE的面積為a，則CDE的面積為4a，BDE和CDE的點D到BC的距離相等，=，=，DEAC，DBEABC，SDBE：SABC=1：25，SACD=25a-a-4a=20a，SBDE：SACD=a：20a=1：20故選：C11、答案：C試題分析：利用相似三角形的判定方法，兩角對應相等兩三角形相似；兩邊對應成比例，且夾角相等兩三角形相似；利用三角形三邊

15、對應比值相等兩三角形相似，進而判斷得出答案試題解析：ABD=ACB，A=A，ABDACB；AB2=ADAC=，A=A，ABDACB；過點B作BEAC，垂足為點E，過點D作DFAB，垂足為點F在RtAEB和RtAFD中，sinBAE=sinDAF，=，即=又ADBC=ABBD=，于是=RtBDFRtCBEABD=CABDACBABBC=ACBD，=，無法得出ABDACB；故選：C12、答案：D試題分析：利用DAO與DEA相似，對應邊成比例即可求解試題解析：DOA=90°，DAE=90°，ADE是公共角，DAO=DEADAODEA即AE=AD故選D13、答案：B試題分析：利用相

16、似圖形的定義進行判斷后即可確定正確的選項試題解析：A、不能得到兩對對應角相等，不能判定相似，故錯誤；B、有一對銳角對應相等，加上直角對應相等，這樣的兩個直角三角形相似，故正確；C、所有的矩形的對應角相等，但對應邊的比不一定相等，故錯誤；D、所有的菱形的對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故錯誤故選B14、答案：B試題分析：本題主要應用兩三角形相似的判定定理，三邊對應成比例，做題即可試題解析：設單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為，2，A、三角形三邊2，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤；B、三角形三邊2，4，2，與給出的三角形的各邊成正比例，故B選項正確；C、三角形三邊2

17、，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；D、三角形三邊，4，與給出的三角形的各邊不成比例，故D選項錯誤故選：B15、答案：B試題分析：由ABDE可得CDECAB，再由AD=5，CD=3，DE=4，可求AB的長又CF為AB邊上的中線，則F為AB的中點，問題可求ABDE，CDECAB，AD=5，CD=3，DE=4，AC=CD+AD=8，AB=；又CF為AB邊上的中線，F(xiàn)為AB的中點BF=故選B二、填空題16、答案：試題分析：首先根據已知的條件，求出各三角形的內角度數(shù)，然后根據相等角去找對應的相似三角形試題解析：ABC=EFC=70°，HFDB；GBDGFH；在BDG中，B=EF

18、C=70°，DGB=50°，則GDB=60°；在ABC中，B=70°，ACB=60°，則A=50°；ABCGFHDGB=A=FEC=50°，EFC為公共角EFCGFH；綜上所述，圖中與GFH相似的三角形的個數(shù)是3故答案是：3三、解答題17、答案：試題分析：（1）由平行的性質結合條件可得到AFB=EDA和BAE=AED，可證得結論；（2）由平行可知ABE=90°，在RtABE中，由直角三角形的性質結合勾股定理可求得AE，然后根據相似三角形的性質即可得到結論試題解析：（1）證明：ADBC，C+ADE=180°

19、，BFE=C，AFB=EDA，ABDC，BAE=AED，ABFEAD；（2）ABCD，BECD，ABE=90°，AB=4，BAE=30°，AE=2BE，由勾股定理可求得AE=，ABFEAD，即，BF=18、答案：試題分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，易證得AONBOM，然后由全等三角形的性質，證得OM=ON；（2）首先過點O作OEAB于點E，作OFBC于點F，易證得FOMEON，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得y與x之間的函數(shù)關系式試題解析：（1）OM=ON證明：四邊形ABCD是正方形，OA=OB，OAN=OBM=45°，AOB=90°，AON+

20、BON=90°，BON+BOM=90°，AON=BOM，在AON和BOM中，AONBOM（ASA），OM=ON；（2）過點O作OEAB于點E，作OFBC于點F，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=6，OE=AD=3，OF=AB=2，OEOF，EOM+FOM=90°，EON+EOM=90°，EON=FOM，OEN=OFM=90°，F(xiàn)OMEON，OM：ON=OF：OE=2：3，OM=x，ON=y，y與x之間的函數(shù)關系式為：y=x19、答案：試題分析：（1）易證BEFDEF，則有EDF=EBF=60°，由A=C=EDF=60°即

21、可證到AEDCDF；（2）由AEDCDF可得DF=，CF=，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解決問題；（3）在RtAHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，A=60°，運用三角函數(shù)可求得y=3-x，從而有=3-x，解這個方程就可解決問題試題解析：（1）證明：如圖1，EF垂直平分BD，EB=ED，F(xiàn)B=FD在BEF和DEF中，BEFDEF（SSS），EBF=EDFABC是等邊三角形，A=ABC=C=60°，EDF=60°，ADE+FDC=180°-60°=120°又AED+ADE=180°-60°

22、=120°，AED=FDC，AEDCDF；（2）ABC是等邊三角形，AC=BC=AB=4CD=x，AE=y，AD=4-x，ED=EB=4-yAEDCDF，=，=，DF=，CF=DF+CF=BF+CF=BC=4，+=4，整理得：y=（0x4）；（3）如圖2，在RtAHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，A=60°，cosA=，y=3-x，=3-x，整理得：x2-14x+24=0，解得：x1=2，x2=12，0x4，x=2，即CD的長為220、答案：試題分析：（1）利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出ABC=C=72°，ABD=CBD=36

23、6;，BDC=72°，則可得到AD=BD=BC，然后根據相似三角形的判定方法易得BDCABC，利用相似比得到BC2=CDAC，于是有AD2=CDAC，則可根據線段黃金分割點的定義得到結論；（2）設AD=x，則CD=AC-AD=1-x，由（1）的結論得到x2=1-x，然后解方程即可得到AD的長試題解析：（1）證明：AB=AC=1，ABC=C=（180°-A）=（180°-36°）=72°，BD平分ABC交AC于點D，ABD=CBD=ABC=36°，BDC=180°-36°-72°=72°，DA=DB，BD=BC，AD=BD=BC，易得BDCABC，BC：AC=CD：BC，即BC2=CDAC，AD2=CDAC，點D是線段AC的黃金分割點；（2）設AD=x，則CD=AC-AD=1-x，AD2=CDAC，x2=1-x，解得x1=，x2=，即AD的長為21、答案：試題分析：首先根據BAC=90°，AHBC于H，判斷出ABH=CAH，進而判斷出DBH=EAH；然后根據相似三角形的判定方法，判斷出ABHCAH，即可判斷出，再根據AB=BD，AH=AE，判斷出，據此判斷出BDHAEH，推得BHD=AH