必修二圓的方程

1、圓的方程一、標準方程1.求標準方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)：往往已知圓上三點坐標，例如教材例2 利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點的連線垂直直線相交：利用到點到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標準方程設法（無需記，關(guān)鍵能理解）條件 方程形式圓心在原點 過原點 圓心在軸上 圓心在軸上 圓心在軸上且過原點 圓心在軸上且過原點 與軸相切 與軸相切 與兩坐標軸都相切 二、一般方程1.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材例42.?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍三、點與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點在圓內(nèi)；點

2、在圓上；點在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值（2）圓內(nèi)一點，圓上一動點，討論的最值 思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）四、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒有公共點（2）相切只有一個公共點（3）相交有兩個公共點這一知識點可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切（1）知識要點基本圖形主要元素：切點坐標、切線方程、切線長等問題：直線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見題型求過定點的切線方程切線條數(shù) 點在圓外兩條；點在圓上一條；點在圓內(nèi)無 求切線方程的方法及注意點i）點在圓外如定點，圓：，第

3、一步：設切線方程第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當不存在時，應補上千萬不要漏了！如：過點作圓的切線，求切線方程._ii）點在圓上1） 若點在圓上，則切線方程為2） 若點在圓上，則切線方程為 由上述分析，我們知道：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是判斷點與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長：利用基本圖形，求切點坐標：利用兩個關(guān)系列出兩個方程3.直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應用問題垂徑定理及勾股定理常用弦長公式：（暫作了解，無需掌握）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過定點，而定點恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點的個數(shù)問題例：若圓上

4、有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_. 4.直線與圓相離會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時）五、對稱問題1.若圓，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值為_.變式：已知點是圓:上任意一點，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，則實數(shù)_.2.圓關(guān)于直線對稱的曲線方程是_.變式：已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則直線的方程為_.3.圓關(guān)于點對稱的曲線方程是_.4.已知直線：與圓：，問：是否存在實數(shù)使自發(fā)出的光線被直線反射后與圓相切于點？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由.六、最值問題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2

5、）的最小值；（3）的最大值和最小值2.已知中，點是內(nèi)切圓上一點，求以，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值.3.設為圓上的任一點，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 七、圓的參數(shù)方程，為參數(shù)，為參數(shù)八、相關(guān)應用1.若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值范圍是_.2.已知圓：，問：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線的方程，若不存在，說明理由. 3.已知圓：，點，設點是圓上的動點，求的最值及對應的點坐標.4.已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個交點；（2）求其中弦長最短的直線方程.5.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值

6、范圍.6.已知圓與直線交于，兩點，為坐標原點，問：是否存在實數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離 （2）外切（3）相交 （4）內(nèi)切（5）內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.3圓系問題（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）說明：1）上述圓系不包括；2）當時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）（2）過直線與圓交點的圓系方程為（3）有關(guān)圓系的簡單應用（4）兩圓公切線的條數(shù)問題相內(nèi)切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切

7、線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動點坐標的關(guān)系式軌跡方程.例：過圓外一點作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點的軌跡方程.（3）相關(guān)點法（平移轉(zhuǎn)換法）：一點隨另一點的變動而變動 動點 主動點特點為：主動點一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運動.1.如圖，已知定點，點是圓上的動點，的平分線交于，當點在圓上移動時，求動點的軌跡方程.2.已知圓：，點，、是圓上的兩個動點，、呈逆時針方向排列，且，求的重心的軌跡方程.參數(shù)法的本質(zhì)是將動點坐標中的和都用第三個變量（即參數(shù)）表

8、示，通過消參得到動點軌跡方程，通過參數(shù)的范圍得出，的范圍.（4）求軌跡方程常用到的知識重心，中點，內(nèi)角平分線定理：定比分點公式：，則，韋達定理.典型例題例1：圓的圓心到直線l：的距離 。例2：若圓心在軸上、半徑為的圓位于軸左側(cè)，且與直線相切，則圓的方程是（）a bc d例3： 求經(jīng)過兩點a（-1，4），b（3，2）且圓心在y軸上的圓的方程。例4：在平面直角坐標系xoy中，二次函數(shù)f(x)x22xb(xr)與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過三個交點的圓記為c.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓c的方程；(3)問圓c是否經(jīng)過定點(其坐標與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論.例5：已知點p(0,5)及圓c：x2y2

9、4x12y240.(1)若直線l過點p且被圓c截得的線段長為4，求l的方程；(2)求圓c內(nèi)過點p的弦的中點的軌跡方程.例6：若實數(shù)x，y滿足(x2)2y23.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)(x4)2(y3)2的最大值和最小值.拔高強化1.已知圓的方程為x2y26x8y0，設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為ac和bd，則四邊形abcd的面積為()a.10b.20 c.30d.402.直線與圓相交于m，n兩點，若|mn|，則的取值范圍是（）a b cd3.（湖北卷理9文9）若直線y=x+b與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）a b c d 4.（上海卷理5文7）圓的

10、圓心到直線l：的距離 。5.（江蘇卷9）在平面直角坐標系xoy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_6.已知一圓過p(4，2)、q(1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程.7.已知圓c：(x1)2(y2)225及直線l：(2m1)x(m1)y7m4 (mr).(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點；(2)判斷直線l與圓c的位置關(guān)系；(3)求直線l被圓截得的弦長最短時的弦長及此時直線的方程.課后作業(yè)(高考題初涉)1、 （廣東卷理12）已知圓心在x軸上，半徑為的圓o位于y軸左側(cè)，且與直線x+y=0相切，則圓o的方程是 2、 （全國新卷

11、文13）圓心在原點上與直線相切的圓的方程為 。3、 （天津卷理13）已知圓c的圓心是直線與x軸的交點，且圓c與直線x+y+3=0相切，則圓c的方程為 4、 （四川卷理14文14）直線與圓相交于a、b兩點，則 .5、 （全國新卷理15）過點a（4，1）的圓c與直線x-y=0相切于點b（2，1），則圓c的方程為_ _ 6、 （山東卷理16）已知圓c過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y=x-1被圓c所截得的弦長為，則過圓心且與直線l垂直的直線方程為_.7、 （山東卷文16）已知圓c過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：被該圓所截得的弦長為，則圓c的標準方程為 .8 （2013

12、年高考天津卷（文）已知過點p(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則（）ab1c2d 9（2013年高考陜西卷（文）已知點m(a,b)在圓外, 則直線ax + by = 1與圓o的位置關(guān)系是（）a相切b相交c相離d不確定10 （2013年高考廣東卷（文）垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是（）ab cd 11（2013年高考江西卷（文）若圓c經(jīng)過坐標原點和點(4,0),且與直線y=1相切,則圓c的方程是_.12（2013年高考浙江卷（文）直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于_. 13（2013年高考山東卷（文）過點(3,1)作圓的弦,其中最短的弦長為_14.已