必修二圓的方程

1、圓的方程一、標(biāo)準(zhǔn)方程1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，例如教材例2 利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無(wú)需記，關(guān)鍵能理解）條件 方程形式圓心在原點(diǎn) 過(guò)原點(diǎn) 圓心在軸上 圓心在軸上 圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn) 圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn) 與軸相切 與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 二、一般方程1.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材例42.常可用來(lái)求有關(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)

2、在圓上；點(diǎn)在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值（2）圓內(nèi)一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值 思考：過(guò)此點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直）四、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒(méi)有公共點(diǎn)（2）相切只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）相交有兩個(gè)公共點(diǎn)這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切（1）知識(shí)要點(diǎn)基本圖形主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等問(wèn)題：直線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見(jiàn)題型求過(guò)定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù) 點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上一條；點(diǎn)在圓內(nèi)無(wú) 求切線方程的方法及注意點(diǎn)i）點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)，圓：，第

3、一步：設(shè)切線方程第二步：通過(guò)，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對(duì)存在有效，當(dāng)不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬(wàn)不要漏了！如：過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程._ii）點(diǎn)在圓上1） 若點(diǎn)在圓上，則切線方程為2） 若點(diǎn)在圓上，則切線方程為 由上述分析，我們知道：過(guò)一定點(diǎn)求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長(zhǎng)：利用基本圖形，求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程3.直線與圓相交（1）求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題垂徑定理及勾股定理常用弦長(zhǎng)公式：（暫作了解，無(wú)需掌握）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題例：若圓上

4、有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_. 4.直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時(shí)）五、對(duì)稱問(wèn)題1.若圓，關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).變式：已知點(diǎn)是圓:上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)_.2.圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程是_.變式：已知圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為_(kāi).3.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程是_.4.已知直線：與圓：，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)使自發(fā)出的光線被直線反射后與圓相切于點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，試說(shuō)明理由.六、最值問(wèn)題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實(shí)數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2

5、）的最小值；（3）的最大值和最小值2.已知中，點(diǎn)是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以，為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.3.設(shè)為圓上的任一點(diǎn)，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 七、圓的參數(shù)方程，為參數(shù)，為參數(shù)八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線（，），始終平分圓的周長(zhǎng)，則的取值范圍是_.2.已知圓：，問(wèn)：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫(xiě)出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由. 3.已知圓：，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).4.已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求其中弦長(zhǎng)最短的直線方程.5.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值

6、范圍.6.已知圓與直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離 （2）外切（3）相交 （4）內(nèi)切（5）內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.3圓系問(wèn)題（1）過(guò)兩圓：和：交點(diǎn)的圓系方程為（）說(shuō)明：1）上述圓系不包括；2）當(dāng)時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）（2）過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為（3）有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4）兩圓公切線的條數(shù)問(wèn)題相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線；相外切時(shí)，有三條公切

7、線；相交時(shí)，有兩條公切線；相離時(shí)，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過(guò)已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.例：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.（3）相關(guān)點(diǎn)法（平移轉(zhuǎn)換法）：一點(diǎn)隨另一點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng) 動(dòng)點(diǎn) 主動(dòng)點(diǎn)特點(diǎn)為：主動(dòng)點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn)動(dòng).1.如圖，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交于，當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.2.已知圓：，點(diǎn)，、是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、呈逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，且，求的重心的軌跡方程.參數(shù)法的本質(zhì)是將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的和都用第三個(gè)變量（即參數(shù)）表

8、示，通過(guò)消參得到動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，通過(guò)參數(shù)的范圍得出，的范圍.（4）求軌跡方程常用到的知識(shí)重心，中點(diǎn)，內(nèi)角平分線定理：定比分點(diǎn)公式：，則，韋達(dá)定理.典型例題例1：圓的圓心到直線l：的距離 。例2：若圓心在軸上、半徑為的圓位于軸左側(cè)，且與直線相切，則圓的方程是（）a bc d例3： 求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)a（-1，4），b（3，2）且圓心在y軸上的圓的方程。例4：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，二次函數(shù)f(x)x22xb(xr)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為c.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓c的方程；(3)問(wèn)圓c是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論.例5：已知點(diǎn)p(0,5)及圓c：x2y2

9、4x12y240.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)p且被圓c截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；(2)求圓c內(nèi)過(guò)點(diǎn)p的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.例6：若實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)(x4)2(y3)2的最大值和最小值.拔高強(qiáng)化1.已知圓的方程為x2y26x8y0，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為ac和bd，則四邊形abcd的面積為()a.10b.20 c.30d.402.直線與圓相交于m，n兩點(diǎn)，若|mn|，則的取值范圍是（）a b cd3.（湖北卷理9文9）若直線y=x+b與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）a b c d 4.（上海卷理5文7）圓的

10、圓心到直線l：的距離 。5.（江蘇卷9）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_6.已知一圓過(guò)p(4，2)、q(1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求圓的方程.7.已知圓c：(x1)2(y2)225及直線l：(2m1)x(m1)y7m4 (mr).(1)求證：不論m為何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)；(2)判斷直線l與圓c的位置關(guān)系；(3)求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.課后作業(yè)(高考題初涉)1、 （廣東卷理12）已知圓心在x軸上，半徑為的圓o位于y軸左側(cè)，且與直線x+y=0相切，則圓o的方程是 2、 （全國(guó)新卷

11、文13）圓心在原點(diǎn)上與直線相切的圓的方程為 。3、 （天津卷理13）已知圓c的圓心是直線與x軸的交點(diǎn)，且圓c與直線x+y+3=0相切，則圓c的方程為 4、 （四川卷理14文14）直線與圓相交于a、b兩點(diǎn)，則 .5、 （全國(guó)新卷理15）過(guò)點(diǎn)a（4，1）的圓c與直線x-y=0相切于點(diǎn)b（2，1），則圓c的方程為_(kāi) _ 6、 （山東卷理16）已知圓c過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y=x-1被圓c所截得的弦長(zhǎng)為，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線方程為_(kāi).7、 （山東卷文16）已知圓c過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .8 （2013

12、年高考天津卷（文）已知過(guò)點(diǎn)p(2,2) 的直線與圓相切, 且與直線垂直, 則（）ab1c2d 9（2013年高考陜西卷（文）已知點(diǎn)m(a,b)在圓外, 則直線ax + by = 1與圓o的位置關(guān)系是（）a相切b相交c相離d不確定10 （2013年高考廣東卷（文）垂直于直線且與圓相切于第一象限的直線方程是（）ab cd 11（2013年高考江西卷（文）若圓c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0),且與直線y=1相切,則圓c的方程是_.12（2013年高考浙江卷（文）直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長(zhǎng)等于_. 13（2013年高考山東卷（文）過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓的弦,其中最短的弦長(zhǎng)為_(kāi)14.已