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文檔簡介
1、排列組合公式排列組合公式 排列組合公式排列組合公式 非降路徑問題非降路徑問題 組合恒等式組合恒等式1學校教課排列與組合 從五個候選人中選出選出兩個代表 把5本不同的書安排安排在書架上 從五個候選人中選出兩個代表時,有10種可能的結(jié)果。 把5本不同的書安排在書架上有120種方法 選出-組合;安排-排列2學校教課一、排列排列組合組合公式 排列問題:從某個集合中有序有序地選取若干個元素的問題 組合問題:從某個集合中無序無序地選取若干個元素的問題 注意:可以重復 不能重復3學校教課排列 無重排列 可重排列 從1,2,9中選取數(shù)字構(gòu)成四位數(shù),使得每位數(shù)字都不同,有多少個? 從1,2,9中選取數(shù)字構(gòu)成四位
2、數(shù),使得不同數(shù)位上的數(shù)字可以相同,有多少個?4學校教課1、 無重排列 n個元素的r-無重排列無重排列數(shù): 排列的長度r 計算(一般情形):乘法原理 r=n時,n個元素的全排列 r=0時 rn時5學校教課2、可重排列 n個元素的r-可重排列可重排列數(shù) 計算(乘法原理)6學校教課例題 在1和10,000,000,000之間的一百億個數(shù)中,有多少個數(shù)含有數(shù)碼1?又有多少個數(shù)不含數(shù)碼1? 不含1:910 含1:1010-910+17學校教課例題 一個二元序列是由一些0和1所組成的序列。n碼二元序列指該序列中數(shù)碼的個數(shù)為n。試問,含有偶數(shù)個0的n碼二元序列的個數(shù)是多少? 2n-1 考慮n碼四元序列,即以
3、0,1,2和3為其數(shù)碼的序列。則含0和1的總個數(shù)為偶數(shù)的序列有多少個? 4n/28學校教課例題 求n碼四元序列中含有偶數(shù)個0的個數(shù)?9學校教課放球問題 設(shè)nr,把r個不同的球放入n個不同的盒子,這里每一盒最多只能裝一物,允許空盒。放球的方法數(shù)為多少? 第一個球有n種選法,第二個球有n-1種,等等,乘法原理 p(n,r) 10學校教課放球問題 把r個不同的球放入n個不同的盒子,一個盒中可以放多個球,也允許空盒。放球的方法數(shù)為多少? 第一個球有n種選法,第二個球有n種,等等,乘法原理 nr 這里n和r的大小沒有限制11學校教課放球問題 把r個不同的球放入n個不同的盒子,一個盒中可以放多個球,也允許
4、空盒??紤]每個盒子中球的次序。放球的方法數(shù)為多少? 把這樣一個方法設(shè)想為r個不同的球和n-1個相同的盒間板的一個有序安排。 c(r+n-1,n-1)=c(r+n-1,r)=f(n,r) 另解:有n種方法放第一個球,第一個球放入一個盒后,可以把這個球當成是一個添加的隔板,它把該盒分成兩個盒,因此放第二個球有n+1種方法。等等12學校教課放球問題:例題 今欲在五根旗桿上懸掛七面不同的旗子,全部旗都得展示出來,但并非所有的旗桿都得使用,問有多少種安排的方法? 七部汽車通過五間收費亭的方式數(shù)?13學校教課組合 無重組合 可重組合 從a,b,c中選取2個不同元素,選法數(shù)是多少? 從a,b,c中選取5個元
5、素,元素可以相同,選法數(shù)是多少?14學校教課3、無重組合(combination) n個元素的r-無重組合無重組合數(shù) 無重組合數(shù)與無重排列數(shù)的關(guān)系 計算 r=0時 r=n時 rn時15學校教課組合數(shù)的推廣rnc)!( !rnrn!) 1() 1(rrnnnrnrnc)!( !rnrn!) 1() 1(rrnnnrnczrr,0, 00, 10,!) 1() 1(rrrrrr16學校教課幾個記號) 1() 1(nxxxxn下階乘函數(shù)上階乘函數(shù)) 1() 1(nxxxxn) 1() 1(nn!) 1() 1(!nnnncnn17學校教課計算3213210215318學校教課例題 如果一個凸十邊形無
6、三條對角線在這個十邊形的內(nèi)部交于一點,問這些對角線被它們的交點分成多少條線段?19學校教課多邊形20學校教課例題 對角線的條數(shù)為c(10,2)-10=45-10=35 任選兩條對角線,可能相交在多邊形內(nèi)部,可能交點為多邊形的頂點,可能無交點(交點在多邊形外) 任選四個頂點,對應(yīng)一個交點,每個對角線分成兩段 每個對角線是一段 35+c(10,4) 2=45521學校教課例題c(5,2)-5+c(5,4) 2=15c(10,2)-10+c(10,4) 2=455c(4,2)-4+c(4,4) 2=422學校教課4、可重組合 n個元素的r-可重組合可重組合 例子 計算 一一對應(yīng)的思想23學校教課推論
7、 方程x1+x2+xn=r 的非負整數(shù)解的個數(shù)。 nr時,此方程的正整數(shù)解的個數(shù) n元集合的r-可重組合數(shù),要求每個元素至少出現(xiàn)一次。 正整數(shù)r的n-長有序分拆的個數(shù) 求x1+x2+x3+x4=20的整數(shù)解的數(shù)目,其中x1 3, x2 1,x3 0,x4 5。24學校教課例題 從為數(shù)眾多的一分幣、二分幣、一角幣和二角幣中,可以有多少種方法選出六枚來? f(4,6)=c(4+6-1,6)=c(9,6)=8425學校教課例題 某糕點廠將8種糕點裝盒,若每盒有一打糕點,求市場上能買到多少種該廠出品的盒裝糕點? 某糕點廠將8種糕點裝盒,若每盒有一打糕點,且要求每種糕點至少放一塊。求市場上能買到多少種該
8、廠出品的盒裝糕點?26學校教課例題 搖三個不同的骰子的時候,可能的結(jié)果的個數(shù)是多少? 63=216。 如果這三個骰子是沒有區(qū)別的,則可能結(jié)果的個數(shù)是多少? 從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)中允許重復地選出三個數(shù)。 f(6,3)=c(6+3-1,3)=56 將r個骰子擲一次,總共可以擲出多少種不同結(jié)果? f(6,r)=c(6+r-1,r)=c(r+5,r)=c(r+5,5)27學校教課有約束條件的排列:引例 用兩面紅旗、三面黃旗依次懸掛在一根旗桿上,問可以組成多少種不同的標志?28學校教課5、有約束條件的排列 設(shè)有k個元素a1,a2,ak,由它們組成一個n-長的排列,其中對1ik,ai出現(xiàn)的次數(shù)
9、為ni,n1+n2 + +nk=n,求排列的總數(shù)。 求解方法1 求解方法229學校教課例題 五條短劃和八個點可以安排成多少種不同的方式? 如果只用這十三個短劃和點中的七個,則有多少種不同的方式?! 8 ! 5!13! 7 ! 0! 7+! 6 ! 1! 7+! 5 ! 2! 7+! 4 ! 3! 7+! 3 ! 4! 7+! 2 ! 5! 730學校教課例題 證明對任意正整數(shù)k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 提示:k!個物體,其中k個物體屬于第一類,k個物體屬于第二類, ,k個物體屬于第(k-1)!類。31學校教課推論 多項式(x1+x2+xr)n的展開式中有 項,其中項 的系數(shù)為
10、 。rnrnnxxx21216321)532(xxx23231xxxnrxxx)(21rrrnrnnnnnnnnnrxxxnnnn21212121,21為非負整數(shù)32學校教課例題 數(shù)1400有多少個正因數(shù)? 1400=23 52 7 (3+1)(2+1)(1+1)=2433學校教課放球問題 設(shè)nr,把r個相同的球放入n個不同的盒子使得每盒至多裝一個球,方法數(shù)? 選盒子即可 c(n,r)34學校教課放球問題 把r個相同的球放入n個不同的盒子,每盒可以裝任意多個球,方法數(shù)? 放這r個球,等價于從n個盒中選出r個來裝這r個球而允許諸盒重復選取。 f(n,r)=c(n+r-1,r) 另解:把分配這r個
11、球入n個盒子設(shè)想為這r個球和n-1個隔板的一個排列。球是相同的,隔板也是相同的。 c(n+r-1,r)35學校教課放球問題 設(shè)r n,把r個相同的球放入n個不同的盒子中,盒子中可以放入任意多個球,但不允許空盒,方法數(shù)? 現(xiàn)在每個盒中放入一個球,再放剩下的r-n個球 c(r-n)+n-1,r-n)=c(r-1,r-n)=c(r-1,n-1)36學校教課放球問題 設(shè)r n,把r個相同的球放入n個不同的盒子中,要求每一盒至少包含q個球,方法數(shù)? 現(xiàn)在每個盒中放入q個球,再放剩下的r-qn個球 c(r-qn)+n-1,r-qn)=c(n-nq+r-1,r-nq)= c(n-nq+r-1,n-1)37學
12、校教課放球問題:例題 今有五封不同的信要經(jīng)由一個訊道傳送。又有總共15個空白要插在這些信之間而使得每兩封信之間至少有三個空白。有多少種方法安排這些信和空白? 信的安排5! 對一種信的安排,有4個信件位置,安排15個空白,要求每個信件位置至少有三個空白。 5!c(4-4 3+15-1,4-1)=5!c(6,3)38學校教課放球問題 有n個球,其中第一種顏色n1個,第二種顏色n2個, ,第k種顏色nk個。將這n個球放入n個不同的盒中,每一個盒裝一個球。問分配方案數(shù)? 等價于這n個球的排列數(shù)。 另解:選盒子裝每種顏色的球。39學校教課放球問題 有r個球,其中第一種顏色n1個,第二種顏色n2個, ,第
13、k種顏色nk個。將這r個球放入n個不同的盒中,每一個盒裝一個球(rn)。問分配方案數(shù)? 方法一:先選盒子,再分配球。 方法二:針對每種顏色的球選盒子。40學校教課多重集合 通常的“集合”具有無重性。 在多重集中,同一個元素可以出現(xiàn)多次。 1,2,3是一個集合,而1,1,1,2,2,3不是一個集合,而是一個多重集,簡記為31,22,13。 計算多重集的勢時,出現(xiàn)多次的元素則需要按出現(xiàn)的次數(shù)計算。上面多重集的勢為6。 可重組合與可重排列可以看作是多重集的組合與排列問題。41學校教課可重排列與可重組合 n個元素a1,a2, ,an的r-無重組合(排列)可以看做多重集1a1, 1 a2, , 1 an
14、的r-組合(排列) 。 n個元素a1,a2, ,an的r-可重組合(排列)可以看做多重集a1, a2, , an的r-組合(排列) 。 有限制的排列問題可以看做多重集n1a1, n2 a2, ,nk ak的全排列。42學校教課分組與分堆 固定分組: 無序分組:分堆 不定分組 固定分組與分堆的區(qū)別是講不講組間的次序,只在各組元素個數(shù)相等時有區(qū)別 固定分組與不定分組的區(qū)別是每個組的元素個數(shù)是不是確定,只在各組元素個數(shù)不等時才有區(qū)別。43學校教課區(qū)分 將12本書平均分給a,b,c,d四個學生,每人三本,有多少種分法? 將12本書平均分成四堆有多少種分法? 將12本書平均分給a,b,c,d四個學生,使
15、得每人各得三本,有多少種分法?44學校教課區(qū)分 將12本書分給四個學生,使得a,b各得四本,c,d各得2本,有多少種分法? 將12本書分成四堆,有兩堆各4本,另外兩堆各2本,有多少種分法? 將12本書分給a,b,c,d四個學生,使得有兩個學生各得4本,有兩個學生各得2本,有多少種分法?45學校教課區(qū)分 將12本書分給四個學生,a得5本,b得4本,c得2本, d得1本,有多少種分法? 將12本書分成四堆,其本數(shù)分別為5,4,2,1,有多少種分法? 將12本書分給a,b,c,d四個學生,使得有1人得5本,有一人得4本,有1人得兩本,有1人得1本,有多少種分法?46學校教課限距組合:引例 書架上有1
16、-24共24卷百科全書,從其中選5卷使得任何兩卷都不相繼,這樣的選法有多少種?47學校教課6、限距組合 設(shè)a=1,2,n,它的任一r-無重組合均可以依自然順序排出a1,a2, ,ar,其中a1a2 ar 。設(shè)k是非負整數(shù),用f(k,n,r)表示a的一切滿足條件ai+1-aik+1(1ir-1)的r-無重組合數(shù),求f(k,n,r)。 求解思想:一一對應(yīng) k=0時48學校教課例題 書架上有1-24共24卷百科全書,從其中選5卷使得任何兩卷都不相繼,這樣的選法有多少種?49學校教課7、圓排列 n個元素的r-無重圓排列數(shù) 圓排列與線排列的區(qū)別 計算50學校教課例題例1把20個不同的釘子釘在鼓表面一周,
17、訂釘子的方式有 種。例2把20個不同的珍珠串成項鏈,串項鏈的方式有 種。項鏈問題項鏈問題51學校教課例 從1到300間取出3個不同的數(shù),使它們的和被3整除,有多少種取法?提示:將1到300這300個整數(shù)按照除以3的余數(shù)分成3組,考慮選出的3個數(shù)屬于哪些組。52學校教課例 下圖中有多少個矩形?53學校教課映射的個數(shù) n元集x到m元集a的映射的個數(shù) 將x看作物件的集合,a看作盒子的集合。則一個映射表示把物件放入盒子的一種安排。 要求(1)每個物體都要放入某個盒子;(2) 一個物體不得放入兩個盒子;(3) 允許多個物體放入同一盒子;(4) 可以剩有空盒子。 若將x看作有標號的位置的集合,a看作排在這
18、些位置的字母的組合,則一個映射對應(yīng)一個長為n的字。 則(1)字長必須為n;(2)一個位置只能放一個字母;(3)多個位置可以重復出現(xiàn)同一字母;(4)有些字母有可能不出現(xiàn)。54學校教課例題 n元集合x到m元集合a的映射的個數(shù)? 將n個物體放在m個的盒子中的不同放法? n元集合x到m元集合a的單射的個數(shù)? 把n個物體放入m個盒子,每個盒子至多放一個物體的安排有多少種? 3個物體分放到4個不同的盒子中,要求每個盒子至多放一個物體的放法數(shù)?55學校教課映射 設(shè)映射f:1,2, ,n 1,2, ,m(nm) (1) 若f是嚴格遞增的,則不同的f有多少個? (2) 若f是不減的,則不同的f有多少個?56學校
19、教課例題1、從a=a,b,c中任取兩個不同的字母構(gòu)成的字共有多少個?2、m元集合的n元子集的個數(shù)?3、平面上任三點都不共線的25個點,可形成多少條直線?可形成多少個三角形?57學校教課例題 用26個英文字母能構(gòu)成多少個含有3個、4個或5個元音的長為8位的單詞?(其中,一個字母出現(xiàn)在單詞中的次數(shù)不限)58學校教課例題 從一副52張撲克牌中任取13張得一手牌,在每一手牌中不考慮這13張牌的次序,則總共有多少手不同的牌? 把一副52張撲克牌分給4個人,每人得13張,則總共有多少種不同的牌局?59學校教課例題 用4個a,4個b,2個c和2個d這12個字母能組成多少個具有12個字母的字? 用字母a,b,
20、c組成5個字母的字,每個字中a至多出現(xiàn)2次,b至多出現(xiàn)1次,c至多出現(xiàn)3次。這種字的個數(shù)是多少?60學校教課例題 單詞mississippi中字母的排列數(shù)為? 求多重集3a,2b,4c的8排列的個數(shù)?61學校教課例題 求26個英文字母的全排列中,任意兩個元音字母都不相鄰的方案數(shù)?62學校教課例題 banach火柴盒問題:某數(shù)學家隨身攜帶a,b兩盒火柴,要用火柴時就隨意從其中一盒中取出一根。假定開始兩個火柴盒各放有n根火柴,問在某一次當數(shù)學家發(fā)現(xiàn)拿出的那一個火柴盒變空時,另一盒中尚剩p(pn)根火柴的概率是多少?63學校教課例題 10個人排成一排,其中有2個人不愿彼此挨著,求所有不同的排列的數(shù)目
21、。 10!-29!或 8!a(9,2)=2903040 10個人圍一圓桌入座,其中有2個人不愿彼此挨著就座,求所有不同的圓排列的數(shù)目。 9!-28!或7!a(8,2)=28224064學校教課例題 安排10個男生和5個女生排成一排,使任意2個女生都不相鄰的排法有多少種? a(10,10)a(11,5) 安排10個男生和5個女生圍成圓圈入座,使任意2個女生都不相鄰的坐法有多少種?65學校教課例 從給定的6種不同的顏色中選不同的顏色將一個正方體的六個面染色,要求每個面染一種顏色,具有相同棱的面染成不同的顏色,則不同的染色方案有多少種?分析:一種顏色?兩種顏色?三種顏色?相對的面染成相同的顏色,只有
22、一種方式c(6,3)66學校教課四種顏色:五種顏色:六種顏色:c(6,4) c(4,2)c(6,5) c(5,1)3!/2c(6,6) c(5,1)3!67學校教課例 試求由1,3,5,7組成的數(shù)字不重復出現(xiàn)的整數(shù)的總和。分析:一位數(shù)1,3,5,7兩位數(shù)個(十)位數(shù)為1的兩位數(shù)的個數(shù)三位數(shù)個(十、百)位數(shù)為1的三位數(shù)的個數(shù)四位數(shù)個(十、百、千)位數(shù)為1的四位數(shù)的個數(shù)68學校教課例 假定把全部的5碼數(shù)印刷在紙條上,而一張紙條上印一個數(shù)。所謂5碼數(shù)是由0,1,2,9這十個數(shù)字中的5個數(shù)字組成的數(shù),開頭的一個或者幾個可以為0,例如00102,00000都是5碼數(shù),顯然有100000個這樣的5碼數(shù)。然
23、而由于數(shù)字0,1,6,8,9被倒過來就成了0,1,9,8,6。而一張紙條可以從上下兩個方向正看和倒看,所以有些5碼數(shù)可以共用一張紙條,如89166與99168。于是我們的問題是要用多少個不同的紙條才能做出這些5碼數(shù)?69學校教課0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 101 倒過來 8 8 6 9 9 670學校教課1357813578倒過來 89166681898916668189不是5碼數(shù)仍是5碼數(shù)仍是5碼數(shù)但不是自己而且是自己71學校教課5碼數(shù)共105個倒過來仍是5碼數(shù)的有55個倒過來不再是5碼數(shù)的有10555個一個數(shù)一張紙條倒過來是自己的有3x52個倒過來不是自己的有553x52個一
24、個數(shù)一張紙條兩個數(shù)共用一張紙條72學校教課所以紙條的個數(shù)為(10555)+ 3x52+ (553x52)/2105(553x52)/2=9847573學校教課例 甲、乙兩方各有7名隊員,按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽。雙方先由1號參加比賽,負者被淘汰,勝者再與對方2號隊員比賽,直到有一方全部被淘汰,另一方獲得勝利,形成一種比賽過程。那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為多少?74學校教課甲乙1a1b2a2b3a3b4a4b5a5b6a6b7a7b箭頭指向誰,表示誰負甲方贏:甲方贏:5a7a5a5a5a5a7a這是1234567,a a a a a a a的一個7-可重組合75學校教課5a7a5
25、a5a5a5a7a甲乙1a1b2a2b3a3b4a4b5a5b6a6b7a7b76學校教課甲乙1a1b2a2b3a3b4a4b5a5b6a6b7a7b6a6a6a6a6a6a7a77學校教課1a甲乙1a1b2a2b3a3b4a4b5a5b6a6b7a7b1a1a1a1a1a1a78學校教課例 某車站有6個進站口,今有9人進站,有多少種不同的進站方法?進站口人2abcdef13456789任務(wù):給每個人選擇進站口,選擇進站的次序?79學校教課安排 :abcdef16種方式1安排 :27種方式222安排 :38種方式3333安排 :914種方式進站方式種數(shù)為6 7 814 145!=!方法一:80
26、學校教課123456取213456789的一個全排列,和5個213456789對應(yīng)的進站方式為:913456872方法二:81學校教課abcdef進站方式為:913456872213456789對應(yīng)的排列為:82學校教課進站方式種數(shù)為141!1!1!5!!145!=!213456789的排列5個或14個位置取5個放方框(不講順序),剩下的放人(將順序)5149!c 149!59! !14=5!83學校教課方法三: 先選車站,a b c d ef 的9-可重組合aaaccdeef再排人,213456789的排列213456789對應(yīng)的進站方式為:abcdef91345687284學校教課對比 例
27、 某車站有6個進站口,今有9人進站,有多少種不同的進站方法? 今欲在六根旗桿上懸掛九面不同的旗子,全部旗都得展示出來,但并非所有的旗桿都得使用,問有多少種安排的方法?85學校教課例 8個人 兩兩配對分成4組有多少種方式?128,a aa方法一 給每個人配對方法二 一對一對地選,注意會重復推廣:2n個人兩兩配對分成n組有多少種方式?86學校教課非降路徑問題從點 到達點 的非降路徑非降路徑(0,0)(2,3)87學校教課非降路徑數(shù) 由(0,0)到(m,n)的非降路徑數(shù)為 。 由(a,b)到(m,n)的非降路徑數(shù)為 。 由(0,0)到(m,n),再到(a,b) 的非降路徑數(shù) 。88學校教課例題 從點
28、(0,0)到達點(m,n),其中mn,要求中間所經(jīng)過的路程上的點(a,b)都滿足ab。問有多少種不同的路徑?89學校教課分析從(0,0) 到(m,n) 的非降路徑 過對角線必過對角線一一對應(yīng):反射(0,0) (0,1) (m,n)(0,0) (1,0) (m,n)不過對角線90學校教課反射:從上向下看,找路徑與對角線交點的第一個點,關(guān)于對角線反射左下邊路徑,與右上的路徑組合成一條路徑。91學校教課例題 求從點(0,0)到達點(n,n)且不與直線y=x相交的非降路徑數(shù)? 分析:上一例題的特殊情況92學校教課例題 一場音樂會的票價為50元/張,排隊買票的顧客中有n位持有50元的鈔票,m位持有100
29、元的鈔票,售票處沒有準備50元的零錢。試問有多少種排隊的方法,使購票能順利進行,不出現(xiàn)找不開錢的狀況,假定每位顧客限買一張,每位顧客僅買票一張,而且nm。93學校教課例題 用(m+n)維0,1-行向量(a1,a2, ,am+n) 表示一種購票排隊狀態(tài),其中ai=1表示第i位持50元的鈔票, ai=0表示第i人持100元的鈔票。 這樣的行向量有m個0,n個1,所以這樣的行向量共有c(m+n,m)個,每個行向量可以對應(yīng)從點(0,0)到點(m,n)的非降路徑。當ai=1時,對應(yīng)路徑中的第i步沿y軸向上走一格,當ai=0時,對應(yīng)路徑中的第i步沿x軸向右走一格。 為了使購票順利進行,每個路徑中的點(a,
30、b)應(yīng)滿足ab。也就是每個路徑在直線y=x的上方且不穿過直線 y=x,可以有交點。94學校教課 由于nm ,也就是在直線y=x-1上方的所有路徑。 從(0,0)到(m,n)的在直線y=x-1上方的非降路徑 從(0,1)到(m,n+1)的在直線y=x上方的非降路徑 從(0,0)到(m,n+1)的在直線y=x上方的非降路徑1yx=-第n個catalan數(shù)1mnmmnmnm 122nnnn95學校教課catalan數(shù) 第n個catalan數(shù)122nnnncnnnn21196學校教課catalan數(shù)的組合學意義97學校教課例題 n個+1和n個-1所組成的序列中所有其前k項(k=1,2, ,2n)之和不
31、小于0的序列的數(shù)目是多少? 滿足條件的序列為好序列,不滿足條件的為壞序列。 好序列數(shù)=序列總數(shù)-壞序列數(shù)。 n個+1和n個-1所組成的壞序列與n+1個+1和n-1個-1所組成的序列一一對應(yīng)。98學校教課例題 對每個壞序列,總可以找到最小的正奇數(shù),使得ak=-1且ak之前的+1和-1的個數(shù)相等。將這個壞序列中前k項的每一項取反號,其余部分保持不變。所得序列為n+1個+1和n-1個-1組成的序列。 -1,-1,1,1,-1,1變?yōu)?,-1,1,1,-1,1 反之, 對任一由n+1個+1和n-1個-1組成的序列,從左到右掃描,當+1的個數(shù)第一次比-1的個數(shù)多1時就把這些掃描到的項全部取反號,其余項不變,結(jié)果得到滿足要求的壞序列。 1,-1,1,1,-1,1變?yōu)?1,-1,1,1,-1,199學校教課二項式定理nyx)( )(yxnrxxx)(21nx)1 ( 100學校教課組合恒等式組合數(shù)組合恒等式:由組合數(shù)構(gòu)成的恒等式組合數(shù)的大小關(guān)系knn為奇數(shù)n為偶數(shù)101學校教課1.證明一:計算證明二:組合分析法knk
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