2-21.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案1

1、精品資源課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利潤最值【例1】 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格 p(元/噸)之間的關(guān)系式為p=24 200-lx2,且生產(chǎn)X噸的成本為 R=50 000+200X元.問該廠每月生產(chǎn)多少噸5產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？解：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為f(x)=(24 200- 1 x2)x-(50 000+200X)5x3+24 000x-50 000(x >0)由 f ' (x)= 3 x2+24 000=0 ,5解得 xi=200,x2=-200 (舍去).因f(x)在0,+ 8內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn) x=200使f ' (x) =0,故它就是

2、最大值點(diǎn)，且最大值為f(200)=- 1 (200)3+24 000 200-50 000=3 150 000.答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤達(dá)到最大，最大利潤為 315萬元.溫馨提示0,求y'響根，求出最值點(diǎn),用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題，求最值一般方法是求導(dǎo)，使導(dǎo)數(shù)等于 最后寫出解答.二、生活中的優(yōu)化問題【例2】已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=25 000+200x+ 1 x2(元).40(1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品? 解：本題已經(jīng)直接給出了函數(shù)關(guān)系式，可用導(dǎo)數(shù)求最值的方法直接求解(1)設(shè)平均成本為y元，則y=12250

3、00 200x x2 40x25000xy，(十200 十一)x4025000x+ 200 +(x>0),x4025000 xx240 .令 y' =0| x=1 000,x2=-1 000(舍去).當(dāng)在x=1 000附近左側(cè)時(shí)，y'v 0;在x=1 000附近右側(cè)時(shí)，y > 0; 故當(dāng)x=1 000時(shí)，y取得極小值由于函數(shù)只有一個(gè)點(diǎn)使 y' =0且函數(shù)在該點(diǎn)有極小值， 那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn) 1 000件產(chǎn)品.22(2)禾 I潤函數(shù)為 L=500x-(25 000+200x+ )=300x-25 000.40402.L

4、9; =(30X-25 000-3廠 =300x-4020令L' =0得x=6 000,當(dāng)x在6 000附近左側(cè)時(shí)，L'>0;當(dāng)x在6 000附近右側(cè)時(shí)L'v 0,故當(dāng)x=6 000時(shí)，L取得極大值.由于函數(shù)只有一個(gè)使 L' =0勺點(diǎn)，且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值，那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值.因此,要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn) 6 000件產(chǎn)品. 三、導(dǎo)數(shù)在生活中優(yōu)化問題的應(yīng)用【例3】 如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形.C歡迎下載(1)若渠中流水的橫斷面積為S,水面的高為h,當(dāng)水渠側(cè)邊的傾斜角為多大時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最??？(2)若被水浸濕的水渠側(cè)邊和水渠底面邊長

5、都等于a,當(dāng)水渠側(cè)邊傾斜角多大時(shí)，水流的橫斷面積為最大？解：(1)依題意，側(cè)邊 BC=h(sin勘"1,設(shè)下底AB=x ,則上底CD=x+2hcotO ,又 S= 1 (2x+2hcot )h=(x+hcot 山2，下底 x=S口h-hcot ，橫斷面被水浸濕周長2h,S、 2hhcos ：，s二l=十(一 一hcotG)一(0).sin。 hsin：，sin 小h2-Zhcos：，h i 二2 十 2.sin 注 sin 力令l i=0,解得cos,二.2 3根據(jù)實(shí)際問題的意義，當(dāng) 二色時(shí)，水渠橫斷面被水浸濕的周長最小.3(2)設(shè)水渠高為h,水流橫斷面積為 S,則1 / C =、，

6、12二S= (a+a+2acos)h= (2a+2acos ) asin (1+cos ) sin<(W(0 一 兀 口2).2 22 .S' =a -sin2+(1+cos )cos =a2(2cos m 1)(cos +1).令S' =0得cos=1或cos二1 (舍)，故在(0,")內(nèi)，當(dāng)="時(shí)，水流橫斷面積最大,223最大值為S=a2(1+cos-)sin- = 43334各個(gè)擊破類題演練1已知A、B兩地相距200千米，一只船從 A地逆水到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜 水中的速度為v千米/時(shí)(8V vW# .若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速

7、度的平方成正比，當(dāng)v=12千米/時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)為 720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度為多 少？解：設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為 y1，比例系數(shù)為k(k>0),則yi=kv2,當(dāng)v=12時(shí)，y=720. 720=k,122，得 k=5.設(shè)全程燃料費(fèi)為200y,由題思 y= y1v -81000v2v - 8222000v(v -8) -1000v2 1000v2 -16000vy22(v -8)2(v-8)2令 y' =0, v=16.當(dāng)v。16時(shí),v=16時(shí)全程燃料費(fèi)最省;2當(dāng)v0< 16時(shí)，即vC (8,v°)時(shí)y < 0,即y在(8,v01上為減函

8、數(shù)，當(dāng)v=v0時(shí)，ymin =v0 - 8綜上，當(dāng)v0>1的，v=16千米/時(shí)全程燃料費(fèi)最省，為 32 000元;當(dāng)v0<16時(shí)，則v=v0時(shí)全程燃料費(fèi)最省，為21000V0v0 -8變式提升1某種型號(hào)的電器降價(jià) x成(1成為10%)，那么銷售數(shù)量就增加 mx成(m C R+) .(1)某 商店此種電器的定價(jià)為每臺(tái)a元，則可以出售 b臺(tái).若經(jīng)降價(jià)x成后，此種電器營業(yè)額為y5元，試建立y與x的函數(shù)關(guān)系，并求 m=?時(shí)，每臺(tái)降價(jià)多少成其營業(yè)額最大？4解：由條件知降價(jià)后的營業(yè)額為 y=a(1-x)b(1+mx)=ab -mx2+(m-1)x+1 .當(dāng) m=5 時(shí)，y=ab(5x2+ 1

9、x+1).444-y =abq勺x+1).令v =0, x=,即x=-時(shí)，ymax= ab,即降價(jià)0.1成時(shí)，營業(yè)額最24101080大.類題演練2用邊長為120 cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋水箱，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90。角，再焊接成水箱.問：水箱底邊的長取多少時(shí)，水箱容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)水箱底邊長為x cm,則水箱高為h=60- > (cm).2x3水箱容積 V=V (x) =x2h=60x2- - (0<x< 120)(cm3).2V' (x)=120x3x2.2令 V' (x) =0,得 x=0(舍)或 x=80.當(dāng)x

10、在(0, 120)內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù) V' (x)的正負(fù)如下表:x(0,80)80(80,120)V' (x)+0-因此在x=80處，函數(shù)V (x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V (x)的最大值.將x=80代入V (x),得最大容積V=80 2X60- 80- =128 000 (cm 3).2答：水箱底邊長取80 cm時(shí)，容積最大.其最大容積為128 000 cm3.變式提升2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最省?,從而h=，即h=2R,所以當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí),所用材料最省22V 一一解：設(shè)圓枉的圖為h,底面半徑為R,則表面積S=2

11、兀Rh+2Tt R2,由V=7tR2h,得h=2 ,則S 二 RV 2 2V 22V一(R)=2ttR-yVy +2 兀=-V- +2兀亡 令 S' (R)=2V +4 Tt R=0,得 R=類題演練3如下圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱， 污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從 B孔流出，設(shè)箱體的長度為 a米，高度為b米.已知流出的水中該 雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與 a、b的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)， 經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計(jì))？y=,其中k>0為比例系數(shù) abk 于是y= ab解：設(shè)y為流出的

12、水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則依題意，即所求的 a、b值使y值最小.根據(jù)題設(shè)，有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)30 a得 b=(0<a< 30),2 akk(2 a)TZ 2 _ 230a - a30a - a2 a=0 時(shí)，a=6 或 a=-10 (舍去)(30 -a -a2)2k(30 -a2) -k(2 a)(300-2a)由于本題只有一個(gè)極值點(diǎn)，故a=6, b=3為所求.變式提升3有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的兩側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足 D與A相距50 km ,兩廠要在此岸邊合建一 個(gè)供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？解：設(shè)/ BCD=）,貝U BC= 4°-,CD=40 - cot 叱（0< ）,sin 2 .AC=50-40cot 0 .a5 - 3 cosisin f40設(shè)總的水管費(fèi)用為 f（。依題意，有f（。）=3釀