數(shù)學(xué)文精選歷年真題及名校模擬試題匯編提分訓(xùn)練等差數(shù)列

1、 等差數(shù)列高考試題考點(diǎn)一 等差數(shù)列的概念與性質(zhì) 1.(2013年遼寧卷,文4)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題:p1:數(shù)列an是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為()(a)p1,p2(b)p3,p4(c)p2,p3(d)p1,p4解析:因?yàn)閐>0,所以數(shù)列an是遞增數(shù)列,p1為真命題;若等差數(shù)列為-10,-9,-8,則1×a1>2a2,所以p2為假命題;若等差數(shù)列為1,2,則=1, =,所以p3為假命題;又因?yàn)閍n+1+3(n+1)d-(an+3nd)=an+d+3nd+

2、3d-an-3nd=4d>0,所以p4為真命題,故選d.答案:d2.(2012年遼寧卷,文4)在等差數(shù)列an中,已知a4+a8=16,則a2+a10等于()(a)12(b)16(c)20(d)24解析:由等差數(shù)列的性質(zhì),若m+n=p+q(m,n,p,qn*),則am+an=ap+aq,得a4+a8=a2+a10=16.故選b.答案:b3.(2010年大綱全國卷,文6)如果等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于()(a)14(b)21(c)28(d)35解析:a3+a4+a5=12,a4=4,a1+a2+a7=×7×(a1+a7)=7a4=28

3、.故選c.答案:c4.(2011年重慶卷,文1)在等差數(shù)列an中,a2=2,a3=4,則a10等于()(a)12(b)14(c)16(d)18解析:在等差數(shù)列an中,公差d=a3-a2=4-2=2,則a10=a2+8d=2+16=18.故選d.答案:d5.(2010年重慶卷,文2)在等差數(shù)列an中,a1+a9=10,則a5的值為()(a)5(b)6(c)8(d)10解析:在等差數(shù)列an中,由性質(zhì)可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故選a.答案:a6.(2009年遼寧卷,文3)an為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d等于()(a)-2(b)-(c)(d)2解析:a7-2a4

4、=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,d=-.故選b.答案:b7.(2013年重慶卷,文12)若2,a,b,c,9成等差數(shù)列,則c-a=. 解析:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則9=2+4d,d=.故c-a=2d=.答案:8.(2012年北京卷,文10)已知an為等差數(shù)列,sn為其前n項(xiàng)和,若a1=,s2=a3,則a2=,sn=. 解析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,s2=a3,2a1+d=a1+2d,a1=d.又a1=,d=,a2=a1+d=1,sn=na1+=n2+n.答案:1n2+n9.(2011年天津卷,文11)已知an是等差數(shù)列,sn為其前n項(xiàng)和,nn*.若a3=16,s

5、20=20,則s10的值為. 解析:設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1,公差為d,由題意可得解得s10=10a1+×10×9d=10×20+×10×9×(-2)=110.答案:11010.(2011年遼寧卷,文15)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,s2=s6,a4=1,則a5=. 解析:由s2=s6得a3+a4+a5+a6=0,由等差數(shù)列性質(zhì)a3+a6=a4+a5,2(a4+a5)=0,1+a5=0,a5=-1.答案:-111.(2010年遼寧卷,文14)設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若s3=3,s6=24,則a9=. 

6、;解析:設(shè)等差數(shù)列公差為d,則s3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1,s6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8,聯(lián)立兩式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+8×2=15.答案:1512.(2009年山東卷,文13)在等差數(shù)列an中,a3=7,a5=a2+6,則a6=. 解析:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首項(xiàng)為a1,則解得所以a6=a1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.解:(

7、1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a2=a1+d,a3=a1+2d,由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)當(dāng)an=-3n+5時(shí),a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;當(dāng)an=3n-7時(shí),a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件.故|an|=|3n-7|=記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為sn.當(dāng)n=1時(shí),s1=|a1|=4;當(dāng)n=2時(shí),s2=|a1|+|a2|=5;當(dāng)n3時(shí),sn=s2+|a3|+|a4|+|an|=5+(3×3-7)+(3&#

8、215;4-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.當(dāng)n=2時(shí),滿足此式.綜上,sn=14.(2010年山東卷,文18)已知等差數(shù)列an滿足:a3=7,a5+a7=26,an的前n項(xiàng)和為sn.(1)求an及sn;(2)令bn= (nn*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n+1,sn=na1+d=n2+2n.(2)因?yàn)閍n=2n+1,所以-1=(an-1)(an+1)=4n(n+1),因此bn=(-).故tn=b1+b2+b

9、n=(1-)+(-)+(-)=(1-)=.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn=.考點(diǎn)二 等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式 1.(2013年安徽卷,文7)設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,s8=4a3,a7=-2,則a9等于()(a)-6(b)-4(c)-2(d)2解析:由s8=4a3得=4a3,即a1+a8=a2+a7=a3,所以公差d=a3-a2=a7=-2,a9=a7+2d=-2+(-4)=-6.故選a.答案:a2.(2013年陜西卷,文17)設(shè)sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若an為等差數(shù)列,推導(dǎo)sn的計(jì)算公式;(2)若a1=1,q0,且對(duì)所有正整數(shù)n,有sn=.判斷an是否為等比數(shù)列,并

10、證明你的結(jié)論.解:(1)設(shè)an的公差為d,則sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2sn=n(a1+an),sn=.(2)當(dāng)n=1時(shí),s1=1.當(dāng)n=2時(shí),s2=1+q,a1+a2=1+q,a2=q.當(dāng)n=3時(shí),s3=1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;初步斷定數(shù)列an為等比數(shù)列.證明如下:sn=,an+1=sn+1-sn=-=qn.a1=1,q0,當(dāng)n1時(shí),有=q,因此,an是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列.3.(2010年新課標(biāo)全國卷,文17)設(shè)等差數(shù)列an滿足a3=5,a10=-9.(1)求an

11、的通項(xiàng)公式;(2)求an的前n項(xiàng)和sn及使得sn最大的序號(hào)n的值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得可解得所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=11-2n(nn*).(2)法一由(1)知,sn=na1+d=10n-n2.因?yàn)閟n=-(n-5)2+25,所以當(dāng)n=5時(shí),sn取得最大值.法二由(1)知sn=na1+d=10n-n2,an=11-2n令an=0得n=5.5,a5=1,a6=-1,所以數(shù)列an前5項(xiàng)都為正數(shù),從第6項(xiàng)起都是負(fù)數(shù),因此sn的最大值是s5,s5=25.故當(dāng)n=5時(shí),sn取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等

12、差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,滿足s5s6+15=0.(1)若s5=5,求s6及a1;(2)求d的取值范圍.解:(1)由題意知s6=-3,a6=s6-s5=-8,所以解得a1=7,d=-3.所以s6=-3,a1=7.(2)因?yàn)閟5s6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8,所以d28,故d的取值范圍為d-2或d2.考點(diǎn)三 等差數(shù)列的綜合應(yīng)用 1.(2012年四川卷,文12)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)3+x-1,an是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,則a1+a2+a7

13、等于()(a)0 (b)7(c)14(d)21解析:an是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a1)+f(a2)+f(a7)=14,(a1-3)3+a1-1+(a2-3)3+a2-1+(a7-3)3+a7-1=14,(a1+a2+a3+a7)-7=14,a1+a2+a3+a7=21.故選d.答案:d2.(2011年湖北卷,文9)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為()(a)1升(b) 升(c)升(d)升解析:設(shè)自上而下各節(jié)容積成等差數(shù)列的公差為d,首節(jié)容積為a1,則由已知得解得第5節(jié)容積為a1+4d=(升

14、).故選b.答案:b3.(2011年陜西卷,文10)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊.現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào),為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小,樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為()(a)和(b)和(c)和(d)和解析:設(shè)樹苗放置在第n個(gè)坑,則各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)樹苗所走的總路程為s=201+2+3+(n-1)+201+2+3+(20-n)=20+=20×=20(n2-21n+210),對(duì)稱軸為n=10.5,又nn*,n=10或11.故選d.答案:d模擬試題考點(diǎn)一 等差數(shù)列的

15、概念與基本運(yùn)算 1.(2013山師大附中模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,a2、a4是方程x2-x-2=0的兩個(gè)根,s5等于()(a)(b)5 (c)-(d)-5解析:因?yàn)閍2、a4是方程x2-x-2=0的兩個(gè)根,所以a2+a4=1.又s5=.故選a.答案:a2.(2013貴州六校聯(lián)盟聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,已知a5=8,s3=6,則a9等于()(a)8(b)12(c)16(d)24解析:在等差數(shù)列中,a5=a1+4d=8,s3=3a1+d=3a1+3d=6,即a1+d=2,解得a1=0,d=2.所以a9=a1+8d=8×2=16.故選c.答案:c3.(20

16、13北京市東城區(qū)期末)已知an為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為sn,若a3=6,s3=12,則公差d等于()(a)1 (b) (c)2 (d)3解析:因?yàn)閍3=6,s3=12,所以s3=12=,解得a1=2,所以a3=6=a1+2d=2+2d,解得d=2.答案:c4.(2013云南師大附中檢測)已知數(shù)列an中,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n>1時(shí),sn+1+sn-1=2(sn+s1)都成立,則s15=. 解析:由sn+1+sn-1=2(sn+s1)得(sn+1-sn)-(sn-sn-1)=2s1=2,即an+1-an=2(n2),數(shù)列an從第二項(xiàng)起構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,s15=1+2+

17、4+6+8+28=211.答案:2115.(2013云南昆明一中檢測)已知公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若a10=s4,則等于. 解析:由a10=s4,得a1+9d=4a1+d=4a1+6d,即a1=d0.所以s8=8a1+d=8a1+28d=36d,所以=4.答案:46.(2012萊蕪檢測)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,a1=,sn=n2an-n(n-1),n=1,2,(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求sn;(2)設(shè)bn=,求證b1+b2+bn<.解:(1)由sn=n2an-n(n-1)知當(dāng)n2時(shí),sn=n2(sn-sn-1)-n(n-1),即(n2-1)sn-n2s

18、n-1=n(n-1),sn-sn-1=1,對(duì)n2成立.又s1=1,是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.sn=1+(n-1)·1,sn=.(2)bn=(-),b1+b2+bn=(-+-+-+-)=(-)<.考點(diǎn)二 等差數(shù)列的最值問題 1.(2013北大附中河南分校調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且滿足s15>0,s16<0,則,中最大的項(xiàng)為()(a)(b)(c)(d)解析:由s15=15a8>0,得a8>0.由s16=<0,得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0.所以數(shù)列an為遞減的數(shù)列.所以a1,a8為正,a9,an

19、為負(fù),且s1,s15>0, s16,sn<0,則<0, <0, <0, >0, >0,又s8>s1,a1>a8,所以>>0,所以最大的項(xiàng)為.答案:d2.(2012青島高三期末檢測)在等差數(shù)列an中,已知a1=-6,an=0,公差dn*,則n(n3)的最大值為()(a)7(b)6(c)5(d)8解析:an=a1+(n-1)d=0,d=,又dn*,n(n3)的最大值為7.答案:a3.(2012安徽質(zhì)檢)在等差數(shù)列an中,a1=13,s3=s11,試求sn的最大值.解:法一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可以看做是關(guān)于n的二次函數(shù).s3=s11,=

20、7,n=7時(shí),sn最大.又由s3=s11得a4+a5+a11=0,4(a7+a8)=0,又a1=13,從而可知d=-2,s7=49,即sn的最大值為49.法二由已知得d=-2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,可知n,由nn*可知n=7時(shí),sn最大.s7=7a1+×d=49,故sn的最大值是49.考點(diǎn)三 等差數(shù)列與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用 1.(2011泉州模擬)“點(diǎn)pn(n,an)(nn*)都在直線y=x+1上”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的() (a)充分但不必要條件(b)必要但不充分條件(c)充要條件 (d)既不充分也不必要條件解析:若an=n+1,則an為等差數(shù)列,反之顯然不成立,故

21、選a.答案:a2.(2011廣東梅縣模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若=a1+a200,且a、b、c三點(diǎn)共線(該直線不經(jīng)過點(diǎn)o),則s200等于()(a)100(b)101(c)200(d)201解析:=a1+a200,且a、b、c三點(diǎn)共線,a1+a200=1.s200=100.答案:a3.(2012安徽江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos x,x(0,2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1、x2,且方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根x3、x4,若把這四個(gè)數(shù)從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)m等于()(a)(b)-(c)(d)-解析:簡圖如圖所示,若m>0,則公差d=-=,顯然不成立,所以m&l

22、t;0.則公差d=.所以m=cos(+)=-.答案:d4.(2012安徽皖南八校聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn(nn*),a1=3,s3=39.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使得這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列,求的前n項(xiàng)和tn.解:(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0),a1=3,s3=39,q1,=39,1+q+q2=13,q2+q-12=0,q=3,q=-4(舍去).故an=3n.(2)an=3n,則an+1=3n+1,由題意知an+1=an+(n+1)dn,則dn=.則=,所以tn=+=+tn=+-得tn=+(

23、+)-=+×-=-,所以tn=-.綜合檢測1.(2012福建師大附中模擬)已知等差數(shù)列an的前13項(xiàng)之和為39,則a6+a7+a8等于() (a)6(b)9(c)12(d)18解析:s13=13a7=39,a7=3,又a6+a7+a8=3a7=9,故選b.答案:b2.(2013北京海淀區(qū)期末)數(shù)列an滿足a1=1,an+1=r·an+r(nn*,rr且r0),則“r=1”是“數(shù)列an成等差數(shù)列”的()(a)充分不必要條件(b)必要不充分條件(c)充分必要條件(d)既不充分也不必要條件解析:若r=1,則an+1=an+1,即an+1-an=1,所以數(shù)列an成等差數(shù)列.若數(shù)列an成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則an+1-an=r·an+r-(r·an-1+r)=r(an-an-1),即d=dr,若d0,則r=1,若d=0,則an+1=an=a1=1,即1=r+r=2r,此時(shí)r